|
|
이 게시글은 2023년 11월 4일 토요일에 치른 제37회 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 2차 오후 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 4개 문항에 제한시간 3시간 오전 문제는 별도의 게시글 [KMO2023기출] 37회 중등부 2차(2023.11.4) 오전 기출문제의 풀이 및 해설을 참조하십시오. [문제 5]의 풀이 및 해설입니다... 아래 그림과 같이 5 간격으로 같은 색을 칠해 보면,,, 따라서 가능한 양의 정수 n은 5의 배수. [문제 6]의 풀이 및 해설입니다... x, y를 실수라 가정하고 파란색 y에 관한 이차 절대부등식의 성립 조건을 판별식으로 해결한 다음 ①, ②, ③, ④ 네 경우별로 살피면 실수 A의 최댓값은 √7 - 1입니다. 그런데, x, y가 자연수이므로 만족하는 A의 최댓값은 √7 - 1보다 큰 어떤 유리수가 될 것입니다... 이상의 검토로부터 핑크색 부등식을 만족하는 실수 A의 최댓값은 5/3라고 가정할 수 있고, 5/3보다 더 작은 어떤 값은 x, y가 자연수일 때 식의 값이 될 수 없음을 보이면 되겠습니다. 모든 자연수 x, y에 대하여 A = 5/3일 때 준 부등식이 항상 성립하는 것을 보이는 것으로 충분하므로,,, ① 6y = 5x인 경우 x는 짝수이므로 좌변의 최솟값은 x = 2일 때 162 = 256이므로 성립. 실제는 x = 6, y = 5일 때 최소이고 좌변이 이보다 더 큼. ② 6y ≠ 5x인 경우 (6y - 5x)2 ≥ 1, (23x - 30)2 ≥ 72에서 좌변의 최솟값은 x = 1, y = 1일 때 23 + 49 = 72로 성립... 이상으로부터 <조건>을 만족하는 가장 큰 실수 A의 값은 5/3 [문제 7]의 풀이 및 해설입니다... N = 3일 때 A = { 3, 2 }, B = { 1, 4 }이면 주어진 세 조건을 모두 만족합니다. N = 5일 때 A = { 5, 4 }, { 1, 8 }, N = 6일 때 A = { 6, 4 }, B = { 2, 8}, N = 7일 때 A = { 7, 2, 4 }, B = { 1, 4, 8}, N = 9일 때 A = { 9, 8 }, B = {1, 16 } …… 세 조건 모두 만족하고 있습니다. 2의 거듭제곱수가 아닌 자연수 N = 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, … 등에 대하여, 세 조건 모두를 만족하지는 못하는 가장 작은 자연수 N을 찾는 문제인데... 2의 거듭제곱수가 아닌 N을 이진법 전개식으로 나타내어서 아래와 같이 변형하면 2의 거듭제곱수와 N으로 이루어진 원소의 개수와 합이 같은 서로 다른 두 집합 A, B를 일반적으로 뽑아 낼 수 있습니다. 위 수식에서 k는 2 이상의 자연수이고,,, A, B ⊆ { 2k | k = 0, 1, 2, …, 2023 } ∪ { N }임을 생각하면, ak ≤ 2022이므로 위 수식을 만족하는 N의 최댓값은 22023 - 1. 이상,,, 3 이상 22023 - 1 이하의 2의 거듭제곱수가 아닌 자연수 N에 대해서는 세 조건 모두를 만족하는 서로 다른 두 집합 A, B가 항상 존재합니다. 이제,,, 22023 + 1 이상의 2의 거듭제곱수가 아닌 자연수 N에 대해서 찾아야 겠습니다. 1 + 2 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1임을 생각하면 1부터 22023까지의 총합이 22024 - 1이고, 또 22023의 절반이 22022이므로 22023 + 1부터 22023 + 22022 - 1까지 2의 거듭제곱수가 아닌 자연수 N에 대해서도 앞에서와 비슷한 방법으로 항상 성공함을 보일 수 있을 것 같습니다... 위 수식에서 k는 1 이상의 자연수이고, ak + 1 ≤ 2022 ⇒ ak ≤ 2021이어야 하므로 N의 최솟값은 22023 + 1, 최댓값은 22023 + 22022 - 1이 되겠습니다. 그렇군요... 자 ~ 그렇다면, 2의 거듭제곱수가 아닌 그 다음 자연수 N = 22023 + 22022는 실패하겠죠? A, B ⊆ { 2k | k = 0, 1, 2, …, 2023 } ∪ { 22023 + 22022 } 먼저, N ∉ A, N ∉ B인 경우에 조건을 만족하는 서로 다른 두 집합 A, B가 존재한다고 가정해보면 다음, N ∈ A, N ∈ B인 경우 위 논리에 의해 A - { N } = B - { N }에서 A = B가 되므로 조건을 만족하는 서로 다른 두 집합 A, B는 존재하지 않으며,,, 이제, 일반성을 잃지 않고 N ∈ A, N ∉ B인 경우에 조건을 만족하는 서로 다른 두 집합 A, B가 존재하지 않음을 보이면 되겠습니다. k = 0일 때 A = { N } = { 22023 + 22022 } ≠ { 2b0 } = B에서 22023 + 22022 = 2b0을 만족하는 자연수 b0가 존재하지 않음은 자명하고, k = 1일 때 A = { N, 2a1 } = { 22023 + 22022, 2a1 } ≠ { 2b0, 2b1 } = B에서 원소의 합이 같기 위해서는 22023 + 22022 + 2a1 = 2b0 + 2b1이어야 하는데, 이진법 전개식의 유일성에 의하여 불가. k = 0일 때 22023 + 22022 = 2b0도 풀어 적어 보면 22023 + 22022 = 22022×2 + 22022×1 = 22022 × 3이므로 2b0와 같을 수가 없지만, 진법 전개식의 유일성 관점에서 보아도 두가지로 표현될 수는 없지요... 따라서 N ∈ A, N ∉ B인 경우도 조건을 만족하는 서로 다른 두 집합 A, B는 존재하지 않습니다. 이상으로부터,,, 2의 거듭제곱수가 아닌 자연수 N 중에서, 세 조건을 모두 만족하는 서로 다른 집합 A, B가 존재하지 않는 가장 작은 자연수 N = 22023 + 22022. [문제 8]의 풀이 및 해설입니다... 이게 기하 문제? 조합문제는 아닐테고. 4개 영역별로 한 문제씩은 꼭 출제되는 걸 생각하면 기하 문제라고 해야겠는데, 고전적인 순수 논증기하와는 결을 달리하는 조합기하 부문의 기하 문제라고 해야 겠습니다... 아래 애니메이션에서 보듯이 빨간색 정삼각형을 모두 덮을 수 있는 세 개의 파란색 정삼각형의 한 변의 길이 c의 최솟값이 2/3라는 것은 누구나 추측할 수 있는 문제입니다. 손을 대기조차 까다로운 문제가 배치되는 마지막 문제라는 걸 생각하면 아주 쉬운 문제라고 해야... 남은 관건은 늘 그렇지만 서술... c < 2/3일 때도 조건을 만족하는 파란색 삼각형이 존재한다고 가정하고 모순임을 보이는 방식으로 밀고 나가야 겠습니다. 아래 그림에서 점 D, E, F, G, H, I는 각각 변의 삼등분점입니다. c < 2/3 < 1이므로 꼭짓점 A, B, C를 포함하는 파란색 정삼각형은 서로 다르며, 여섯 개의 삼등분점 중 점 D와 I는 A를 포함한 정삼각형만이, 점 E와 F는 B를 포함한 정삼각형만이, 점 G와 H는 C를 포함한 정삼각형만이 포함할 수 있습니다. 세 파란색 정삼각형 중 어느 하나는 중심 O를 포함해야하므로 일반성을 잃지 않고 점 A를 포함한 파란색 정삼각형 PQR이 점 O를 포함한다고 가정하겠습니다. 빗금친 빨간색 마름모를 포함해야 겠고,,, c가 최소일 때이므로 마름모의 꼭짓점이 변 위에 오겠는데, 일반성을 잃지 않고 A, O, I가 변 위의 점이라 가정하겠습니다. 사각형 AEOI의 내각 E = 60°, 대각 I = 120°에서 내접사각형의 성질에 의해 점 A, E, O, I가 공원점이고, 이 보라색 원은 삼각형 AIO의 외접원기도 하죠. 원의 중심 D가 외심. 호 AI의 중심각이 60°이므로 원주각 AQI = 30°이고 정삼각형의 내각 P = 60°에서 변 PR과 선분 QI가 수직이 됩니다. 그렇다면, 반직선 QD와 변 PR의 교점을 K라고 하면 ∠QIK = 90°에서 교점 K는 보라색 원 위의 점이 되므로 보라색 선분 QK는 이 원의 지름... 지름 QK가 변 QR보다 클 수는 없고 지름의 길이가 2/3이므로, 파란색 정삼각형 PQR의 한 변의 길이는 2/3보다 작지는 않게 되네요... 모순이죠. 위 애니메이션에서도 파란색 정삼각형의 한 변의 길이가 2/3보다 작게 될 때는 보라색 각 θ의 크기가 60°보다 작거나 120°보다 클 때인데, 이때 파란색 정삼각형이 빗금친 빨간색 마름모를 포함하지 못하게 되는 것을 관찰할 수 있지요... 아래에서와 같이 빗금친 두 보라색 삼각형에 사인법칙을 적용해서 c가 2/3보다 작을 수 없음을 보일 수도 있습니다... 이상입니다... 수지수학학원 진산서당에서는 중등 KMO, 초등 KJMO 기출문제에 대한 풀이 및 해설을 계속하여 제공하고 있습니다. 아래 링크한 포스팅에 최근년도 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 2023년 12월 3일 일요일에 치른 인하대학교 2024학년도 논술우수자(일반)전형 자연계열(오전) 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 이 해설을 참조하시기를 권장합니다.
(자연-오전) 2024학년도 인하대학교 논술고사 문제.pdf
파일 다운로드
(자연-오전) 2024학년도 인하대학교 논술고사 해설.pdf
파일 다운로드
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 직선식을 f(x) = ax + b라 했을 때 f(x) ≤ ex를 만족하는 실수 a, b에 대하여 2a + b가 최대가 될 때는 f(2)가 최대일 때임을 발상해 내는 것이 문제 해결의 열쇠... [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-1], [문제 1-2], [문제 1-3]의 다른 접근법입니다... 앞 풀이에서는 기본적으로 곡선이 아래로 볼록인 증가함수이므로 부등식이 충족되기 위해서는 부등식의 좌변 직선이 접선의 위쪽으로 오지는 말아야 한다는 기하적 관계에 의존하고 있습니다... 여기서는 이를 모두 수식으로 해결해 보겠습니다. 앞 풀이의 두 그래프를 참조하면 공통접선의 기울기는 a = 2일 때... a = 2일 때 두 주황색 식 2a + b의 최댓값이 6 - 2ln2로 같고, 그밖의 경우는 어느 한 부등식이 충족되지 않거나 2a + b가 이 값보다 작을 때이므로 2a + b의 최댓값은 6 - 2ln2.
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... r'(t) = 0 ⇔ lnt + t2 = 0 ⇔ t2 = -lnt > 0에서 0 < t < 1이고, 이 범위에서 y = t2은 증가, y = -lnt는 감소이므로 r'(t) = 0을 만족하는 t의 값은 유일하며, t → e-일 때 r(t) → 0, t → 0+일 때 r(t) → 0이고 r(t) > 0이므로 r'(t) = 0을 만족하는 t의 값 a에 대하여 r(t)는 t = a에서 유일한 극대이고 이때 최대. [문제 2-1]의 애니메이션에서 핑크색 원과 직선이 lnt + t2 = 0일 때이고, 이때 원점을 지나는 보라색 원의 반지름의 길이가 최대. [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다...
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-3]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [인하대 수리논술] 인하대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 인하대학교 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |