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이 게시글은 최근년도 중앙대학교 신입생 수시모집 논술전형 자연계열 기출문제의 풀이·해설 모음집입니다. ① 최근 순으로 기출문제 풀이/해설 링크 ② 해당년도 문제에 대한 요약 [이 부분은 편집중]
(update 중입니다.) 자연계열 I 논술고사 (준비중) 그동안은 수학 3문항 70점, 과학 1문항 30점이었으나, 2024학년도부터 과학은 폐지되면서 수학 4문항으로 바뀌었습니다. 시험시간은 그대로
적용 모집단위는 창의 ICT공과대학(전자전기공학부, 융합공학부), 경영경제대학 산업보안학과(자연), 약학대학 약학부, 의과대학 의학부
수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536)
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이 게시글은 2023년 11월 4일 토요일에 치른 제37회 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 2차 오전 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 4개 문항에 제한시간 3시간 오후 문제는 별도의 게시글 [KMO2023기출] 37회 중등부 2차(2023.11.4) 오후 기출문제의 풀이 및 해설을 참조하십시오. [문제 1]의 풀이 및 해설입니다... 유클리드 호제법에 의하여 (x+1, x2+x+1) = (x+1, x(x+1)+1) = (x+1, 1) = 1이므로 x+1과 x2+x+1은 서로소. 따라서 식 (※)에서 좌변이 제곱수이므로 x + 1, x2+x+1은 모두 제곱수. 그런데, x ≥ 1 범위의 정수 x 즉, 자연수 x에 대하여 x2 < x2+x+1 < (x + 1)2이므로 x2+x+1은 제곱수가 될 수 없습니다. 따라서 등식이 성립하려면 x = -1이거나 x = 0일 때뿐. 조사해보면 x = -1일 때 y = 0이면 등식 성립. x = 0일 때 y2 = 1이면 등식 성립. 이상으로부터 등식을 만족하는 정수 x, y의 순서쌍은 (-1, 0), (0, -1), (0, 1) [문제 2]의 풀이 및 해설입니다... 길이 조건이 없으므로, 원주각 성질, 접현각 성질, 내접사각형의 성질, 그리고 닮음으로 세 원을 엮어야 겠구나 생각할 수 있고, 검은색, 파란색 두 내접사각형으로부터 원주각의 역성질로 점선으로 표시한 주황색 원을 찾아내기만 하면 그 다음은 여러가지 방법으로 마무리할 수 있는 문제. 1, 2, 계속해서 쉬운 문제입니다. [문제 3]의 풀이 및 해설입니다... 조사해보면,,, 수열 { an }의 수를 아래와 같이 피보나치 수 F1 = 1, F2 = 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, F10 = 55, …를 사용해서 두 제곱수의 합으로 바꿀 수 있습니다... 이를 즉, 아래 핑크색 등식 ①을 일반적으로 증명할 수 있으면 수열 { an }이 두 제곱수의 합이므로 a2023 = x2 + y2을 만족하는 정수 x, y가 존재하게 되지요... 파란색 피보나치 항등식 ②의 증명 보라색 부분은 피보나치 점화식을 반복적으로 적용함으로써 얻을 수 있습니다. 가령, 이상의 파란색 항등식 ②의 증명에서 body부분(귀납증명 부분)의 idea는 일차적으로 녹색 부분을 소거하는데 있습니다. 첨자 k, k-2의 등식을 k, k-2, k-4의 등식으로 일단 바꾼 다음, 식의 조작과 피보나치 점화식을 교묘하게 엮어서 첨자 k+2의 식 그것도 제곱식을 얻는데 이르렀습니다... 파란색 항등식의 귀납증명 부분에 대한 재미있는 처리를 하나 더 소개합니다. 이 증명은 도중에 카시니 항등식을 사용하고 있는데, 이에 대해서는 게시글 피보나치 수열의 일반항과 성질 - 수지수학학원 진산서당의 TIP 덧붙이는 글에 있는 항등식 부분을 참조하십시오. 가정에 의해 주황색 부분은 2×(-1)k-1 + 2×(-1)k-2인데,,, (-1)k-1과 (-1)k-2가 하나가 1이면 다른 하나가 -1이므로 주황색 부분은 0. 피보나치 점화식으로 보라색 부분의 첨자를 가운데 쪽으로 모은 후 카시니 항등식을 적용하면 따라서 이므로 n = k(k ≥ 3)일 때도 본 풀이에 있는 파란색 피보나치 항등식 ②가 성립. 다른 풀이입니다... 피보나치 수열과 연관짓지 않고 인접 삼항간의 점화식만을 가지고 해결한 풀이입니다... 인접 삼항간 점화식(☞ 위키백과) an+2 = p(n)an+1 + q(n)an + r(n) 에서 r(n) = 0이고 계수 p(n), q(n)이 모두 상수인 경우는 특성 방정식(characteristic eqation) x2 = px + q의 근을 이용해서 일반항을 구할 수 있는데, 이에 대해서는 게시글 [수지수학학원 진산서당] 생성함수와 특성방정식을 이용한 인접 삼항간 점화식의 풀이를 참조하십시오. 지금과 같이 상수항이 존재하는 경우는 각각의 점화식에 따라 다양한 기법이 있을 수 있고, 경우에 따라서는 비선형 점화식으로 변형을 시도하기도 합니다. 이 풀이는 인터넷에서 가져온 것인데,,, 주어진 점화식으로부터 an+2an = (an+1 + 3)2 + 36을 이끌었는데, 어떻게 이런 발상을 하셨을까 궁금하기만 하네요... n = 1일 때 a3a1 = (7×25 - 5 - 6) × 5 = 164 × 5 = 820 = (25 + 3)2 + 36으로 성립합니다... n = k일 때 성립한다고 가정하고 n = k + 1일 때 성립하는지를 살펴 보면 이후 처리도 어렵습니다... 정수론 지존인듯요... 수열 { an }의 모든 항이 3으로 나눈 나머지가 2, 1, 2, 1, …인 mod3에 대한 주기 수열로써 3의 배수는 없으며,,, 『a, b가 서로소인 정수일 때 a2 + b2는 2 또는 4k + 1꼴의 소인수만을 가지며 또한(거꾸로) 이러한 수는 x2 + y2꼴로 표현할 수 있다』는 보조정리를 이용해서 a2023a2021 = (a2022 + 3)2 + 36에서 우변이 2와 4k + 1꼴의 소인수만을 가지므로 증명된다... 문제 해결의 방향을 잡기 위한 발상(發想)도 당황스럽지만, 정수론 지식에 대한 study가 많아야 이 풀이를 이해할 수 있다 싶습니다. 너무 압축적인 풀이라서 완전한 서술이라고는 할 수 없기는 한데, 무엇보다 저로서는 이 풀이가 맞는 풀이인지 조차 판단하기 어렵군요. 공부가 더 있어야 겠습니다. [문제 4]의 풀이 및 해설입니다... 파란색 삼각형이나 보라색 삼각형에서와 같이 한쪽 방향으로만 화살표를 얼마든지 그릴 수 있고, 이때 주황색을 한 변으로 하는 삼각형을 그려보면 한쪽 방향으로만 화살표를 그릴 수는 없게 됩니다... 파란색 삼각형의 세 꼭짓점을 A, B, C라 하고, A가 B를 이겼을 때 A → B와 같이 유향선분으로 연결한다치면, 파란색이나 보라색 삼각형은 A → B → C → A → B → …와 같이 시계방향 또는 시계반대방향으로 승부가 맞물려 돌아가는 모습이므로 정의에 따라 A, B, C 모두가 “실력자”입니다. 이 대회에서 실력자가 정확히 N명 나왔고, 가능한 N의 값 중 가장 작은 것을 구하라고 했습니다. 따라서 정답은 1도 아니고 2도 아니고 3이 아니겠나 싶은데,,, 이를 빼박으로 서술하는 것이 관건이죠... 만점 7을 받는 서술은 무엇일까요? 파란색 유향 그래프만을 생각하면 세 꼭짓점에 해당하는 세 선수 A, B, C 모두가 정의에 의해 “실력자”이므로, 2023C2개의 유향 선분을 모두 그린다고 했을 때, 파란색 유향 삼각형(A → B → C → A)과 같은 기본 꼴을 그리지 않고도 2023C2개의 유향선분을 모두 그리는 것이 가능하다면 최솟값 N = 0이 될 것이고, 2023C2개의 유향선분을 모두 그릴 때 적어도 하나 이상의 유향 삼각형을 반드시 그릴 수 밖에 없다면 최솟값 N = 3이상의 값이 됩니다. 2023개의 꼭짓점에 대하여 각 꼭짓점은 자기 자신을 제외하고 2022개의 유향 선분을 그리는 것은 항상 가능합니다. 화살표가 나가면 이기는 것이고 들어오면 지는 것이지요... 임의의 세 꼭짓점 A, B, C에 대하여 일반성을 잃지 않고 A → B → C인 유향선분 2개는 반드시 존재합니다. 존재하지 않는다면 모든 선수가 전패를 해야하는데 이는 모순이므로 누군가에게는 이기고 누군가에게는 진 선수가 반드시 존재하고, 따라서 A → B → C인 유향선분 2개는 반드시 존재합니다. 이때 A와 C를 잇는 유향선분의 방향이 C → A인 경우가 존재하지 않도록 그리는 것이 불가능함을 증명해야 겠습니다. C → A가 아니라면 A → C이므로 결국 A는 2022명의 선수를 모두 이겨야 하는데 조건에서 전승한 선수는 없다고 하였으므로 모순. 따라서 A → B → C → A 기본꼴은 반드시 존재하게 되므로 실력자 N의 최솟값은 0이 될 수 없습니다. 다음, A → B → C → A 기본꼴을 오직 한 개만 그리는 것이 가능해야 N의 최솟값이 3이고 불가능하면 3보다 큰 값이 됩니다. 위 그림에서 파란색, 보라색 네 꼭짓점의 선수가 정의에 의해 모두 실력자가 되므로 파란색 삼각형과 같은 기본 꼴을 하나 그렸을 때 더 이상의 기본꼴이 생기지 않게 그리는 것이 가능해야 N의 최솟값이 3이 되므로 이를 또 증명해 주어야 겠습니다. 기본꼴이 한 개만 그려진 상황에서 꼭짓점이 하나 추가될 때마다 추가된 꼭짓점이 전패가 되도록 화살표를 연결할 수 있고, 이때 N의 최솟값은 3. 이를 수학적 귀납법 스타일로 보일 수도 있지요... 꼭짓점이 3개일 때 N = 0이면 전승한 선수가 있으므로 모순. 따라서 모두가 일승일패이고 이때 N = 3. 꼭짓점 하나를 추가할 때마다 추가된 꼭짓점이 전패이면 N = 3이고, 이런 식으로 꼭짓점의 개수가 2023개일 때까지 전패 꼭짓점을 늘릴 수 있으므로 N의 최솟값 3은 보장됩니다. 이상입니다. 수지수학학원 진산서당에서는 중등KMO, 초등KJMO 기출문제에 대해 풀이 및 해설을 계속하여 제공하고 있습니다. 아래 링크한 포스팅에 최근년도 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |