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이 게시글은 2022년 4월 13일 수요일에 치른 경기교육청이 주관한 2022년 4월 고3 전국연합학력평가 오답률 TOP 10 기하선텍 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 등급컷 원점수/표준점수/백분위 1등급(상위 4%) 80/137/95 2등급(상위 11%) 69/127/88 3등급(상위 23%) 57/117/76 4등급(상위 40%) 41/103/60 5등급(상위 60%) 26/090/40 작년부터 시험 형식이 바뀌었지요. 문이과 통합에 따라 공통문항이 1번부터 22번까지 22개 문항이고,,, 확률과 통계, 미적분, 기하 각 8개 문항은 23번부터 30번까지이고 선택으로 치르고 있습니다. 작년 3월부터 지난 3월까지,,, 바뀐 형식으로 치른 학평, 모평, 수능의 오답률 TOP 10 기출 문항 및 고난도 문항에 대한 배치를 종합한 통계표와 기출문제의 풀이 및 해설을 아래 게시글에서 안내하고 있으니 참조하십시오. [수지수학학원 진산서당] 4월 13일 고3 전국연합학력평가 대비 기출 해설 안내 선택 8개 문항 중에서 보통 2 ~ 4개 문항이 TOP 10에 들어 왔는데,,, 지난 3월 학평 기하선택에서는 4개 문항이 오답률 TOP 10에 올랐고, 이번에는 3개입니다. 이 포스팅에서는 이 3개 문항에 대해서만 풀이 및 해설합니다. 공통문항과 타 선택문항의 풀이에 대해서는 아래 게시글을 참조하십시오. 오답률 4위(87.0%) 30번 문제의 풀이 이 공식으로 주어진 쌍곡선에 접하는 기울기 3인 직선을 구해 보면 두 접선 l1, l2의 x절편은 y = 0일 때이므로 x = ±5√3/3이고, 따라서 선분 Q1Q2의 길이는 10√3/3
오답률 5위(86.0%) 29번 문제의 풀이 포물선의 성질에 의하여 점 P에서의 접선은 초록색 이등변삼각형의 수직이등분선입니다. 이를 삼각형의 중점연결정리와 엮으면 초록색 마름모를 얻을 수 있고, 직사각형의 성질과 엮으면 정삼각형을 얻을 수 있고... 포물선의 이런 성질과 관련해서는 아래 게시글의 앞 부분을 조금 참조하시면 됩니다. [이차곡선] 포물선의 성질 모음 - 수지수학학원 진산서당 다른 풀이입니다... 위 그림과 비교할 수 있도록 포물선 y2 = 4px (p > 0) 위의 점 P의 x좌표를 k = a/2라고 두고, 점 P에서의 접선을 공식으로 구하면 위 직사각형을 생각하면 점 Q와 R의 좌표는 접선이 점 Q를 지나므로 사각형 PQRF에서 변 QR의 길이는 p + k = 4k이고, 변 PF와 FR은 포물선의 정의에 의하여 역시 4k. 변 PQ의 길이만 피타고라스의 정리로 얻어서 네 변을 모두 더해 주면 됩니다. 따라서 사각형 PQRF의 둘레의 길이 = 20k = 10a 『극선의 방정식』 개념을 이용한 풀이 위 애니메이션에서 점 P와 R에서 그은 두 접선의 교점은 직사각형의 대각선의 교점입니다. 이 점의 좌표를 S(-k, 0)로 두면, 점 S의 타원에 대한 극선 PR의 방정식은 0 × y = 2p(x - k)와 같으므로 직선 PR의 방정식 x = k를 곧바로 얻을 수 있습니다. 그렇다면, 직사각형 성질에 의해 (k + k) + 2k = p + k이므로 p = 3k가 되지요... 『극선의 방정식』 교과서에 명시적으로 등장하는 개념은 아닙니다만,,, 극점 S에서 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선이 극선인데, 이 극선의 방정식 공식이 접선의 방정식 공식과 마침 똑같은 꼴이라서 기억하기도 편하지요... 극점 및 극선의 뜻과 극선의 방정식 공식의 유도과정에 대해서는 아래 게시글을 참조하십시오. [카이스트 심층구술면접] 2016학년도 카이스트 심층구술면접 기출문제 풀이 및 해설 [수능 1등급] 2017년 3월 고3 학평(서울) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [인하대 수리논술] 2016학년도 인하대학교 자연계열 1차 모의논술고사 기출문제 풀이 및 해설 [건국대 수리논술] 2017학년도 건국대학교 수시모집 논술우수자전형 수리논술 기출문제 오답률 10위(56.0%) 26번 문제의 풀이 따라서 정답은 오지선다형 ⑤번 다른 풀이... [문제 30]에서 언급한 이차곡선에 접하는 기울기가 m인 직선의 방정식의 일반 공식으로 주어진 타원에 접하는 기울기 1인 직선을 구해 보면 또 다른 풀이... 앞에서 언급한 『극선의 방정식』 개념에 의하여 y축 위의 점 S(0, n)의 타원에 대한 극선 PQ의 방정식은 0 × x / 8 + ny = 1 즉, y = 1/n이죠... 따라서 점 Q의 좌표는 (n - 1/n, 1/n)이고 타원 식에 대입해서 n을 구하면 따라서 선분 PQ의 길이는 2 × (3 - 1/3) = 16 / 3 10위와 오답률이 같아서 한 문제 더... 오답률 11위(56.0%) 28번 문제의 풀이 아래 애니메이션에서 두 가지 풀이를 한꺼번에 보여 주고 있는데,,, 먼저,,, 첫 번째 풀이... 첫 번째 풀이는 주황색으로 표시한 부분과는 전혀 상관이 없습니다. 타원의 정의에 의하여 파란색 두 선분의 길이의 합과 보라색 두 선분의 길이의 합은 5k로 같고,,, 이등변삼각형 조건을 삼각형 FF'Q가 직각삼각형의 외심의 역성질과 엮으면 내각 Q가 90˚가 됩니다... 이를 핑크색으로 확인할 수 있고요... 그 다음은 타원의 정의와 큰 직각삼각형 PF'Q에 피타고라스의 정리를 엮으면 k의 값을 알 수 있고, 그 다음, 다시 직각삼각형 FF'Q로 돌아 와서 빗변 F'F = 2c이므로 한 번 더 피타고라스의 정리로 c의 값을 구하면 됩니다. 다음,,, 두 번째 풀이... [다른 풀이]라고 적힌 주황색 부분과 선분 PF의 길이를 돌려치기로 구하고 있는 애니메이션 부분요... 주황색 정사각형에서 시작하여 접선의 성질을 적용해서 돌려치기 해보면 x의 값을 얻을 수 있습니다. k의 값을 얻으면, 그 이후는 첫 번째 풀이와 동일합니다. 그리고,,, 두 풀이 모두에서 삼각형 PF'Q의 넓이 식에서,,, 뽀개기 공식 = 초딩 공식으로 놓는 것은 잘 아실 거구요... 이상에서,,, 정답은 오지선다형 ③번 이상입니다... 에서는 최근 출제 경향에 따른 오답률 베스트 5와 탑10, 수학1등급 등 이들 고난도 문제에 대한 다양한 풀이와 쉬운 해설을 계속하여 포스팅하고 있습니다. 대학 수능 기출문제 뿐만아니라, 평가원 모의평가고사, 교육청이 주관하는 전국연합 학력평가고사도 다루고 있습니다. 월별, 고사별 카테고리(바로가기 클릭) 수리논술 및 제시문기반 심층면접에 대한 기출문제의 풀이 및 해설도 다루고 있지요... 함께 참조하십시오. 수학의 힘 ! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 4월 13일 수요일에 치른 경기교육청이 주관한 2022년 4월 고3 전국연합학력평가 수학 오답률 TOP 10 공통 문항에 대한 풀이 및 해설입니다. 오답률과 등급컷은 확통, 미적, 기하의 각 선택 과목을 기준으로 작성되며, 이 데이터와 선택 과목의 풀이 및 해설은 아래 별도의 게시글을 참조하십시오. [오답률 탑10-기하] 2022년 4월 고3 학평(경기) 기하선택 기출문제의 풀이 해설 [오답률 탑10-미적] 2022년 4월 고3 학평(경기) 미적선택 기출문제의 풀이 해설 [오답률 탑10-확통] 2022년 4월 고3 학평(경기) 확통선택 기출문제의 풀이 해설 작년부터 문이과 통합에 따라 새로운 형식으로 시험을 치르고 있으며 올해 들어 두 번째입니다. 이 시험 전에 포스팅한 게시글 [수지수학학원 진산서당] 4월 13일 고3 전국연합학력평가 대비 기출 해설 안내 에서, 작년 1년 동안 치른 학평, 모평, 수능, 그리고 올 3월 학평의 오답률 TOP 10 문항의 배치를 종합한 통계표와 새 형식의 기출문제에 대해 그 풀이 및 해설을 안내하고 있으니 참조하십시오. 그리고, 최근년도 수능 수학 고난이도 기출문제 전체의 풀이 및 해설에 대한 링크를 이 포스팅의 맨끝에 모두 수록해두었습니다. 함께 참조하십시오. 오답률 98.0% 21번 문제의 풀이 및 해설 등차수열,,, 그것도 모든 항이 정수이고 공차 d가 자연수로 증가하고 있는 빤한 수열이다 싶은데,,, 오답률이 1위네요... 처음이라능 ㅎ 조건 (나)에서 a2m = -am이라고 했습니다. 두 항의 값이 모두 음의 정수이거나 모두 양의 정수라고 가정해보면 모순이죠... 그렇다면, am < 0 < a2m (∵ d > 0, an ≠ 0) 이때, m에서 2m까지면 항의 개수 m +1은 짝수일까요? 홀수일까요? 0 = am + a2m = am + (am + md) = 2am + md에서 md = -2am이므로 m과 d중 적어도 하나는 짝수입니다. m을 짝수라고 가정해 볼까요... m = 2n에서 a4n = -a2n이고, a4n = a3n + nd a3n = a2n + nd 두 식을 변변 빼면 a4n - a3n = a3n - a2n에서 a4n + a2n = 2a3n인데, a4n + a2n = 0이므로 a3n = 0이 되어 조건 (가)에 모순입니다. 따라서 m은 홀수이고, 공차 d는 짝수. m에서 2m까지 항의 개수는 짝수. m = 2n - 1로 두면 a4n-2 = -a2n-1이고, a4n-2 = a3n-1 + (n - 1)d a3n-2 = a2n-1 + (n - 1)d 두 식을 변변 빼면 a4n-2 - a3n-2 = a3n-1 - a2n-1에서 a4n-2 + a2n-1 = a3n-2 + a3n-1인데, a4n-2 + a2n-1 = 0이므로 a3n-2 = -a3n-1이 됩니다. 그렇다면,,, a3n-2 = -d/2, a3n-1 = d/2가 되는군요... 결국, 아래 그림에서 보듯이 0을 기준으로 좌우 대칭으로 2n개의 항들이 배치됩니다. 0을 기준으로 왼쪽이 많을까 오른쪽이 많을까라고 생각하여, 가운데에 있다고 보이는 항인 a3n, a3n-1, a3n-2의 값과 오른쪽 끝항 및 왼쪽 끝항의 값을 비교함으로써 이 결론에 도달하게 되었습니다. 좌우대칭이면 ㅎ,,, 쉬운 문제인거죠... 마무리하겠습니다. 공차 d가 짝수입니다. 그리고 128 = 27 n = 1일 때 d = 128이죠... 항수 = 2 ㅎ n = 2일 때 d = 32이죠... n = 4일 때 d = 8 n = 8일 때 d = 2 따라서 d의 총합 = 128 + 32 + 8 + 2 = 170
오답률 97.0% 22번 문제의 풀이 및 해설 g(0) = 0, g'(x) = f'(x + a) × f'(x - a) 함수 f(x)가 삼차함수이므로 함수 g'(x)는 사차함수, 함수 g(x)는 오차함수입니다. 조건에 의하여 2개의 극값만을 가지며 최고차항의 계수가 양수인 오차함수... 이차방정식 f'(x + a) = 0이 최대 2개의 실근이고, 이차방정식 f'(x - a) = 0도 최대 2개의 실근이죠... 오차함수 g(x)의 극값은 최대 4개가 되고요. 그런데, 2개라고 했습니다. 조건을 충족하기 위해서는 이차방정식 f'(x) = 0이 허근이나 중근을 가져야 한다 싶은데,,, 아닌가요? 허근이나 중근을 가지는 경우는 모든 실수 x에 대하여 f'(x) ≥ 0이므로 g'(x) ≥ 0이 되어 오차함수 g(x)는 단순 증가함수가 되어 버립니다. 극값이 전혀 없게 되죠... 그렇다면, 이차방정식 f'(x) = 0은 일단은 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 이차방정식 f'(x) = 0의 서로 다른 두 실근 α, β (α < β)에 대하여 사차방정식 f'(x + a) × f'(x - a) = 0을 만족하는 해 x는 x + a = α or β 이거나 x - a = α or β이므로 x = α - a or β - a or α + a or β + a가 됩니다. 상수 a가 양수죠... α < β이고요. 그렇다면, 사차방정식 g'(x) = 0의 네 실근의 크기 관계가 α - a < β - a or α + a < β + a가 되겠는데,,, 이 크기 관계에 의하여 오차함수 g(x)의 극점은 4개가 될 수도 2개가 될 수도 있겠네요... 꼭짓점이 x축 아래에 있는 아래로 볼록인 이차함수 f'(x)의 그래프를 x축 방향으로 ±a만큼 평행이동한 두 그래프를 머리 속에 떠올리면서 f'(x)의 부호 즉, g(x)의 증감을 따져보면, 오차함수 g(x)의 극점이 2개가 되기 위해서는,,, x = α - a에서 극대, x = β - a = α + a에서 변곡(☞ 수학백과), x = β + a에서 극소가 되는 것이 확실해보입니다... 이렇게 찍어서 마무리해보면,,, α - a = 1/2, β + a = 13/2, β - a = α + a이므로 a = 3/2, α = 2, β = 5 ∴ f'(x) = 3(x - 2)(x - 5) = 3x2 - 21x + 30 f(0) = -1/2이므로 f(x) = x3 - (21/2)x2 + 30x - 1/2에서 f(1) = 20 ∴ a × f(1) = 3/2 × 20 = 30 아래는 해설 참조용입니다... 오답률 92.0% 20번 문제의 풀이 및 해설 f(-x) = -f(x)이면 원점에 대하여 대칭인 기함수죠... 그렇다면, 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)는 f(x) = x3 - ax꼴... 아래 애니메이션에서 검은색 그래프가 a = 1일 때인데, (±1, 0)에서 접선의 기울기가 2이므로 t = 1일 때의 파란색 마름모에 접하고 있습니다. 이때를 기준으로 해서, 보라색은 a가 1이하일 때이고 주황색은 a가 1보다 클 때인데,,, 검은색 그래프와 비교해보면, 보라색 그래프는 어떤 경우에도 파란색 마늘모와는 항상 두 점에서만 만납니다. 이는 a가 음수일 때도 당근이고요... 따라서 a > 1인 경우인 주황색 그래프에 대해서만 따져 주면 되네요... 아래 애니메이션에서 이를 관찰하여 아래쪽에 g(t)의 그래프를 그려 주었고, 오른쪽에서 불연속이 될 때의 수량관계를 살폈습니다. 주황색 접선의 기울기가 2임을 생각하여 접선의 방정식을 먼저 작성한 후 x절편 8을 적용하였는데,,, x절편이 8이고 기울기가 2인 직선 y = 2x - 16이 곡선에 접한다고 생각하면,,, 마찬가지네요... EBSi의 풀이를 보니 이 교점의 x좌표를 임시로 p로 두고 연립방정식으로 해결하고 있네요... 이게 깔끔하네요... ㅎ α 대신에 p를 먼저 구한셈인데,,, 치환으로 변수를 더 잡으면 아무래도 식 전체를 살피면서 보다 계산량이 적은 쪽으로 풀이 방향을 잡을 것이기 때문에 일방향으로 밀고 나가는 것보다는 유리할 때가 많지요... 오답률 74.0% 13번 문제의 풀이 및 해설 x → 2일 때 분모 x - 2 → 0이므로 분자에 해당하는 적분식의 극한이 0이어야 0/0 꼴이 되면서 극한값이 3이 될 수가 있습니다. 분자의 극한이 0이 아니게 되면 발산하니까요... 다음,,, 극한값 3. 분자의 적분식을 F(x)라 두면 F(2) = 0에서 미분의 정의에 의해 좌변이 F'(2)가 되므로 F'(2) = 3. 정적분으로 정의된 함수의 미분법(이를 정적분과 미분의 관계라고 부르기도 하고, 미적분학의 제2 기본정리라고도 합니다. 참조 링크 클릭)에 분자의 적분식 F(x)를 미분하면 이 결과를 핑크색 식 (※)에 적용하면 다 되었습니다. 파란색 결과 ①과 보라색 결과 ②를 목표식에 대입해서 마무리하시면 되지요... 정답은 오지선다형 ⑤번 오답률 74.0% 15번 문제의 풀이 및 해설 정답은 오지선다형 ⑤번 오답률 71.0% 14번 문제의 풀이 및 해설 연속성과 미분가능성에 대한 판정 문제는 늘 까다롭습니다만, 하나씩 하나씩... <보기> ㄱ 먼저, k = 0일 때 g(x) = | f(x) |를 그려 보아야 겠습니다. x = 3일 때만 불연속. 그렇다면, 일반적으로 보라색 함수 g(x) = | f(x - k) |의 그래프는 k = 0일 때의 g(x)의 그래프를 k만큼 x축 방향으로 평행이동하므로 불연속점도 k만큼 평행이동,,, 따라서 x = k + 3에서 불연속이지요... 아래 애니메이션은 왼쪽으로 3만큼 평행이동하는 것을 보여 주고 있습니다(해설 참조용). x = 0에서 좌극한과 함숫값이 같으므로 <보기> ㄱ은 참. <보기> ㄴ <보기> ㄱ이 힌트죠... 보라색 함수 g(x) = | f(x - k) |는 x = k + 3에서만 불연속입니다. 그렇다면, x = k + 3 = 0에서 k = -3일 때만 g(x)는 x = 0에서 불연속이 됩니다. k ≠ -3일 때는 x = 0에서 연속. 이제, x = 0에서 g(x)가 연속인 경우와 불연속인 경우로 나누어서 살피면,,, 먼저, g(x)가 x = 0에서 불연속인 경우 주황색 그래프 h(x)는 참조용입니다. 함수 h(x) = f(x) + g(x)가 x = 0에서 점에서의 연속의 정의를 충족하는지만 살펴 주시면 됩니다. 다음, g(x)가 x = 0에서 연속인 경우 보라색 함수 g(x)가 k ≠ -3일 때 x = 0에서 연속이므로, x = 0에서 f(x)의 연속 여부에 의해 f(x) + g(x)의 연속성이 결정됨 ! f(x) 불연속이므로 f(x) + g(x)는 불연속 따라서 f(x) + g(x)가 x = 0에서 연속이 되도록 하는 정수 k는 존재하지 않습니다. 따라서 <보기> ㄴ은 거짓 <보기> ㄷ <보기> ㄴ에서와 마찬가지로, x = 0에서 g(x)가 연속인 경우(k ≠ -3)와 불연속인 경우(k = -3)로 나누어서 살펴야 겠습니다. 미분가능하려면 일단은 연속이어야지요. 먼저, g(x)가 x = 0에서 불연속인 경우 다음, g(x)가 x = 0에서 연속인 경우 움직이는 보라색과 같이 | f(x) |의 그래프를 x축 방향으로 k만큼 평행이동할 때 보라색 그래프가 원점을 통과하는 경우에 p(x) = f(x)g(x)는 x = 0에서 연속입니다. k = 0일 때 y = | f(x) |가 연속이면서 x축과 만날 때가 x = 4, 1 ≤ x < 3, x = -1이죠... 이를 k만큼 평행이동하여 원점에서 만나게 하는 k값은 0 = 4 + k, 1 + k ≤ 0 < 3 + k, 0 = -1 + k죠... 따라서 k = -4, -3 < k ≤ -1, k = 1일 때, f(-k) = 0이고 이때 p(x)는 x = 0에서 연속이 됩니다. 자~~~ 이제, 미분가능성. 조사해보아야 할 정수 k의 후보는 -4, -2, -1, 그리고 1이네요... 아래와 같이 각각의 k에 대해서, x = 0의 좌우에 대해서만 y = g(x)의 그래프를 그린 후 f(x)와 g(x)의 곱이 어찌될 지를 따져보면 됩니다. k = -2일 때는 x = 0의 좌우에서 f(x)g(x) = 0이므로 x = 0에서 미분가능하고, 따라서 함수 p(x) = f(x)g(x)가 x = 0에서 미분가능하도록 하는 정수 k의 값은 -4, 1, -2이고, 모든 정수 k 값의 합은 -4 + 1 - 2 = -5이므로 <보기> ㄷ은 참. 이상에서,,, <보기> 중에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이고 정답은 오지선다형 ④번 오답률 67.0% 18번 문제의 풀이 및 해설 준식의 양변에 0을 대입하면, 30 = F(0) = 2f(0)이므로 f(0) = 15입니다. F'(x) = f(x)죠... 준식의 양변을 미분하면 f(2)의 값은 위와 같이 얻을 수 있겠습니다만,,, f(-2)는 얼마일까요라고 물으면? F(x)가 다항함수라는 조건이 문제에 있으므로 f'(x), f(x)가 모두 다항함수이고 보라색 등식은 x = -2일 때도 성립합니다. 파란색 등식만을 놓고 보면 x = -2일 때 f'(2)가 얼마인지는 알 수 없지만, 아래와 같이 극한을 잡아 보면 f'(-2)와 같지요... 이는 x = -2에서 f(x)가 연속이고 미분가능하기 때문입니다. 오답률 52.0% 19번 문제의 풀이 및 해설 이상입니다...
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이 게시글은 2021년 4월 14일 수요일에 치른 경기도교육청이 주관한 2021년 4월 고3 전국연합학력평가 수학 오답률 TOP 10 고난도 문항에 대한 풀이 및 해설입니다. 확률과 통계 선택은 이 게시글에서 다루고 있고, 기하 또는 미적분 선택은 별도의 게시글 [이과 오답률 탑 10] 2021년 4월 고3 학평(경기) 수학 기출문제의 풀이 및 해설을 참조해 주십시오. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 등급컷 원점수/표준점수/백분위 1등급(상위 4%) 82/135/96 2등급(상위 11%) 74/128/88 3등급(상위 23%) 62/118/77 4등급(상위 40%) 48/106/60 5등급(상위 60%) 32/092/40 링크한 게시글 [이과 오답률 탑 10] 2021년 4월 고3 학평(경기) 수학 기출문제의 풀이 및 해설에서 공통 문항을 오답률이 높은 순서로 풀이 및 해설하고 있으므로 이 포스팅에서는 생략합니다. 해서,,, 이하에서는 확통 선택의 3개 문항만을 풀이 및 해설하도록 하겠습니다.
오답률 1위(0.0%) 30번 문제 풀이 및 해설 홀수 x1, x3가 가질 수 있는 값은 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13이고, 짝수 x2, x4가 가질 수 있는 값은 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14이지요... 홀수 x1과 x3의 합이 짝수입니다. 이 합 x1 + x3 = 2z라 두고, 짝수 x2 = 2y2, x4 = 2y4라 두면, 2z + 2y2 + 2y4 = 34에서 z + y2 + y4 = 17이고, 여기서, y2, y4가 가질 수 있는 값은 1부터 7까지 자연수이고, z가 가질 수 있는 값은 1부터 13까지 자연수. z가 가지는 값을 기준으로 경우를 나누어서 조사해도 되겠는데,,, 14가지... 너무 경우가 많다 싶고요 ㅠㅠㅠ 중복조합으로 밀고 나가기 위해서 파란색 부정방정식을 일단 아래와 같이 바꾸어 봅니다. z' + y2' + y4' = 14이고, 여기서, y2', y4'가 가질 수 있는 값은 0부터 6까지 정수, z가 가질 수 있는 값은 0부터 12까지 정수. y2', y4', z'가 0부터 14까지 모두 가질 수 있다고 가정하고 모든 음이 아닌 정수해의 개수를 중복조합으로 얻은 후 제외해 나가는 방식으로 밀고 가야 겠는데,,, z'가 가지는 값에 따라 x1, x3의 조합을 또 조사해야 하는 부담이 있네요... 다시,,, 처음부터... 아예 변수 z를 두지말고, 짝수 x2 = 2y2, x4 = 2y4로 두듯이 홀수 x1 = 2y1 - 1, x3 = 2y3 - 1로 둡니다. 34 = x1 + x2 + x3 + x4 = 2(y1 + y2 + y3 + y4) - 2에서 y1 + y2 + y3 + y4 = 18 여기서, y1, y2, y3, y4 모두 1부터 7까지 자연수이죠... 다시, yi' = yi - 1로 치환하여 음이 아닌 정수 조건 부정방정식으로 바꾸면 y1' + y2' + y3' + y4' = 14 여기서는, y1', y2', y3', y4' 모두 0부터 6까지 정수입니다. 한결 가벼워 졌습니다. 네 yi'들이 0부터 14까지 정수 모두를 가질 수 있다고 가정하면, 4H14 = 17C14 = 17C3 = 680 이제, 이 680 가지의 해 (y1', y2', y3', y4') 중에서 yi'가 7 이상의 값을 가지는 경우는 모두 제외해 주면 끝!!! y1' + y2' + y3' + y4' = 14를 만족시키는 7 이상의 값을 가지는 yi'는 한 개이거나 두 개여야만 합니다. ① 두 개일 때 둘 모두 7이어야 하고, 나머지 두 yi'는 0의 값을 가질 때이죠... 따라서 4 개의 yi'에서 2 개를 택하는 경우의 수인 4C2 = 6가지만 있겠고... ② 한 개뿐일 때, 이 yi'를 택하는 경우의 수가 우선 4C1 = 4이고,,, 일반성을 잃지 않고 7 이상의 값을 가지는 변수를 y1'라고 가정하고 y1'' = y1' - 7로 치환하면, 결국, y1'' + y2' + y3' + y4' = 7을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같게 됩니다. 여기서, y2', y3', y4'는 모두 0부터 6까지 정수이고, y1''는 0부터 7까지 정수이죠... 앞에서와 마찬가지로 네 변수 모두가 0부터 7까지 정수를 가질 수 있다고 가정하고 중복조합으로 음이 아닌 정수해의 개수를 얻은 후 제외해 주는 방식으로... 모두 4H7 = 10C7 = 10C3 = 120가지가 있고, y1''가 7인 경우는 괜찮지만, y2', y3', y4'가 7인 세 가지 경우는 제외해 주어야 겠죠? 따라서 4C1 × (4H7 - 3)= 4 × 117 = 468 이상에서,,, 정답은 680 - (6 + 468) = 206 정수조건 부정방정식의 음이 아닌 정수해의 개수, 자연수의 해의 개수 등을 중복조합으로 해결하는 개념에 대해서는 아래 그림을 참조하십시오. 실력 정석에서 인용했습니다. 오답률 3위(82.9%) 29번 문제 풀이 및 해설 원순열 ! 아래 그림에서 보듯이 여학생 C의 위치를 제일 위쪽에 고정시켜 놓고 생각하는 것이 좋을 듯 하네요. 여학생 C의 좌우 두 자리에는 반드시 남학생이 앉아야 겠죠? 남학생 A와 B를 한 묶음으로 일단 생각하면, 여학생 C의 좌우에 ① A, B가 아닌 다른 남학생이 앉는 경우 ② A, B 묶음과 다른 남학생이 앉는 경우 로 나누어서 생각해 봅니다. 먼저, ①의 경우 A, B가 아닌 남학생 2명을 C의 좌우에 앉히는 방법의 수가 2가지이고,,, 남은 5개의 자리에 A,B 묶음과 C가 아닌 여학생 3명을 이제 앉히는 방법의 수를 생각하면 되겠는데, 일렬로 나열하는 방법의 수가 4!에 묶음인 A, B의 자리를 바꾸는 2!을 곱해 주면 되지요... 따라서 2 × 4! × 2! = 96 다음, ②의 경우 A, B가 아닌 남학생 2명중 한 명을 택하는 방법의 수가 2C1 A, B묶음과 택한 1명을 C의 좌우에 오게 하는 방법의 수가 역시 2가지이고,,, 이제 남은 4개의 자리에 C가 아닌 여학생 3명과 A, B가 아닌 남학생 1명을 일렬로 배치해주면 되겠고 4!이죠... 물론 그 전에 A,B 자리를 바꾸는 2!을 곱해 주어야 하구요... 따라서 2C1 × 2 × 2! × 4! = 192 이상에서,,, 정답은 96 + 192 = 288 오답률 7위(60.6%) 28번 문제 풀이 및 해설 오른쪽으로 5회, 위로 3회, 아래로 3회 이동할 때가 최단거리이죠... 아래에서 보듯이 크게 ①, ②, ③ 세 경로로 나눌 수 있습니다. 각 경로에서 직사각형을 통과하는 최단 경로의 수에 대해서는 여러가지 처리 방법이 있겠는데, 이에 대해서는 게시글 [수지경시학원 진산서당] 직사각형 및 직육면체에서 최단 경로 길잡이 문제를 일독해 주십시오. 이상에서,,, 정답은 오지선다형 ⑤번
아래는 최근 2021학년도 이전의 수능 수학 나형 30번, 29번, 21번 등 고난도 기출문제의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다. 그리고, 최근 출제 경향에 맞추어서 오답률 베스트 5, 10 문제도 소개하고 있습니다. [오답률 탑 10] 2021학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설 [오답률 베스트 10] 2020학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설 [수학1등급] 다시 보는 2019 대학수능 수학 나형 오답률 베스트 10 - 난도의 재구성 [오답률 베스트 5] 2019학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설 [수능30번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2018학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2018학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2017학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설 [수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 A형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2016학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 28번 기출문제 풀이 해설 [수학1등급] 2015학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설 [수학1등급] 2014학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설 [수학1등급] 2013학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설 [수학1등급] 2012학년도 대학수능 수학 나형 21번, 28번, 30번 기출문제 풀이 해설 대학 수능 고난도 킬러 문제, 수능 30번, 수능 29번, 그리고 수능 21번... 그리고 최근 출제 경향에 따른 오답률 베스트 5와 탑10, 수학1등급. 에서는 이들 고난도 문제에 대한 다양한 풀이와 쉬운 해설을 계속하여 포스팅하고 있습니다. 대학 수능 기출문제 뿐만아니라, 평가원 모의평가고사, 교육청이 주관하는 전국연합 학력평가고사도 다루고 있습니다. 수학의 힘 ! 용인수지 수학학원 진산서당(☏031-276-5536) |