|
|
2021년 4월 14일 수요일에 치른 경기도교육청이 주관한 2021년 4월 고3 전국연합학력평가 수학 오답률 TOP 10 고난도 문항에 대한 풀이 및 해설입니다. 지난 3월 학평에서 문이과 통합에 따른 형식으로 처음으로 모의고사 시험을 치르었고 이번 4월 학평이 그 두 번째입니다. 1번부터 22번까지 22개 문항이 공통 문항이고 23번부터 30번까지 8개 문항이 선택 문항이었죠. 오답률과 등급컷은 확통, 미적, 기하의 각 선택 과목을 기준으로 작성되었으며, 확통 선택 경우의 오답률 TOP 10은 공통문항에서 7개, 선택에서 3개였고, 미적 및 기하 선택의 경우는 공통문항에서 8개, 선택에서 각 2개씩이 오답률 TOP 10에 올랐습니다. 3월 학평에서 오답률 TOP 10에 오른 문항과 그 풀이 및 해설에 대해서는 아래 두 게시글을 참조하십시오. [이과 오답률 탑 10] 2021년 3월 고3 학평(서울) 수학 기출문제의 풀이 및 해설 [확통 오답률 탑 10] 2021년 3월 고3 학평(서울) 수학 기출문제의 풀이 및 해설 지난 3월과 마찬가지로,,, 기하 또는 미적 선택 경우의 오답률 TOP 10 문항에 대해 그 풀이 및 해설을 이 포스팅에서 모두 다루도록 하겠습니다. 확통 선택의 경우는 별도의 게시글 [확통 오답률 탑 10] 2021년 4월 고3 학평(경기) 수학 기출문제의 풀이 및 해설을 참조해 주십시오. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 등급컷 원점수/표준점수/백분위 1등급(상위 4%) 88/135/96 2등급(상위 11%) 79/128/88 3등급(상위 23%) 67/118/77 4등급(상위 40%) 52/106/60 5등급(상위 60%) 35/092/40 등급컷 원점수/표준점수/백분위 1등급(상위 4%) 85/135/96 2등급(상위 11%) 77/128/88 3등급(상위 23%) 65/118/77 4등급(상위 40%) 52/106/60 5등급(상위 60%) 36/092/40 지난 3월과 마찬가지로 오답률이 높은 순서로 공통 문항을 먼저 해설한 연후에,,, 선택 문항을 다루도록 하겠습니다.
오답률 96.9% 22번 문제의 풀이 조건 (가) : x축이 접선이 될 때는 언제? 주황색 줄... 실제로 적분해서 삼차방정식을 풀어 보아야 하나요? 위에서 녹색 부분은 정적분으로 정의된 함수의 미분법(☞ [수지수학학원 진산서당] 문과생을 위한 미적분 특강 - 정적분으로 정의된 함수의 미분)에 따른 것이고,,, 보라색 인수분해는 g(2) = 0임을 생각해서 조립제법으로 처리해본 것이고... 전개나 인수분해가 부담스러운 상황이네요... h'(x) = 0을 만족하는 x값을 구해 보려는 시도를 멈추고, 미분하지 않고 곧바로 밀고 나가 봅니다... f(t)가 일차이므로, 일차식 f(t)를 대입해서 곧바로 적분하면 g(x)는 삼차함수이죠... 위 실패한 풀이에서 보라색 부분이 g(x)입니다. 그렇다면, h(x) = f(x)g(x)는 사차함수이고 아래와 같이 되겠군요... 이 사차함수 y = h(x) 그래프 위의 어떤 점에서의 접선이 x축이라고 하였습니다. 그렇다면, h(x) = 3(x - p)2(x2 + ……)꼴로 인수분해되어야 합니다. 여기서, p는 x축이 접선이 되는 곡선 위의 어떤 점의 x좌표 값으로서 사차방정식 h(x) = 0의 이중근, 삼중근, 사중근 모두가 가능합니다. p = 2이거나 p = -a/3 또는 오른쪽 이차식의 중근이 p일 수가 있겠고,,, 각 경우별로 더 살펴 보아야 겠습니다. 그 전에... 조건 (나) : y = | h(x) |에 대해서 x축에 접하는 파란색 사차함수 y = h(x)의 그래프의 개형에 대해서 생각해 봅니다. 먼저, 극대점이 존재하지 않는다고 가정해 보겠습니다. 유일한 극소점이 x축 위에 놓이는 경우와 미분계수가 0인 변곡점이 x축 위에 놓이는 경우가 있겠는데,,, 유일한 극소점이 x축 위에 놓이는 경우는 y = | h(x) | = h(x)이므로 x축에 평행한 직선과 만나는 교점은 최대 2개 뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 못하며,,, 미분계수가 0인 변곡점이 x축 위에 놓이는 경우는 음수의 극솟값 부분이 y = | h(x) |에 의해 x축에서 꺾여 위로 올라 오면서 x축에 평행한 직선과 만나는 교점은 최대 4개가 되고 있습니다. OK ! 다음, y = h(x)가 한 극대점과 두 극소점을 모두 가지는 곡선인 경우를 생각해 봅니다. 이때, 극대점이 x축 위에 놓이는 경우의 y = | h(x) |의 그래프는 x축에 평행한 직선과 만나는 교점이 최대 6개가 되므로, 조건 (나)와 모순이 되고,,, 이제, 극소점이 x축 위에 놓이는 경우를 생각해 봅니다. 두 극솟값 중 큰 극솟값에 해당하는 극소점이 x축 위에 놓이는 경우도 교점이 최대 6개가 되므로 모순이고,,, 그렇다면, 두 극솟값 중 작은 극솟값에 해당하는 극소점이 x축 위에 놓여야만이 x축에 평행한 직선과의 교점이 최대 4개가 됩니다. 두 극솟값이 같아도 상관이 없네요... 이제,,, 세 경우별로 나누어서 조건 (나)가 만족되는 a값을 찾아 볼 차례... ① p = 2인 경우 3x + a = 3(x - 2)이거나 오른쪽 이차식이 x - 2의 인수를 가지거나... ① - ① 3x + a = 3(x - 2)에서 a = -6인 경우 h(x) = 3(x - 2)2(x2 - 10x +16) = 3(x - 2)3(x - 8)이므로 위에서 OK !라고 표시한 경우가 되고 있습니다. h(-1)의 최솟값을 구하는 문제이죠... 이 경우의 h(-1) = 729 ① - ② 오른쪽 이차식이 x - 2의 인수를 가지는 경우 22 + 4(a + 1) + (a + 2)2 = 0에서 a2 + 8a + 12 = (a + 2)(a + 6) = 0 a = -6인 경우는 ① - ①과 마찬가지가 될 것이며 a = -2인 경우는 h(x) = (3x - 2)(x - 2)(x2 - 2x) = x(x - 2)2(3x - 2)에서 x 절편이 크기 순서로 0, 2/3, 2이죠. 그렇다면, 0과 2/3 사이의 작은 극솟값이 음수이고 큰 극솟값이 x축 위에 놓이는 경우입니다. 위에서 살폈듯이 조건 (나)를 만족시킬 수 없겠고요... ② p = -a/3인 경우 a = -6인 경우는 ① - ①과 마찬가지이므로 a ≠ -6인 경우만 살펴 보면 되겠는데, 이때는 오른쪽 이차식이 x + a/3의 인수를 가져야 합니다. a = -3/2일 때이네요... 이때 로서, 마찬가지로 위에서 OK !라고 표시한 경우가 되고 있습니다. 이 경우의 h(-1) = 243/8 ③ 오른쪽 이차식의 중근이 p인 경우 a = -3/2일 때이네요... 바로 위 ②와 같은 경우이죠... 이상에서,,, h(-1)의 최솟값은 243/8이고, 서로소인 두 자연수 p, q에 대하여 243/8 = q/p에서 p = 8, q = 243이므로 정답 p + q = 251 여기까지 읽으셨다면,,, 그래프의 개형을 일일이 노트에 스케치하면서 추적해볼 수밖에 없는 상황이었죠... 아래 애니메이션에서 지금까지의 개형 추적에 필요한 그림을 한꺼번에 그려 보았습니다. 함께 참조하십시오. 오답률 4위(72.0%) 21번 문제 자연수 a1이 0이상의 수이므로 2를 빼준 수가 a2 a2 ≥ 0이면 2를 또 빼준 수가 a3이고, a2 < 0이면 5를 더해준 수가 a3 이런 식으로 수열 { an }의 어느 항의 값이 0이상이면 2를 빼주고 음수이면 5를 더해 줍니다. a15 < 0가 되게 하는 자연수 a1의 최솟값을 구하는 문제입니다. 특별한 규칙이나 풀이를 고민도 해보겠지만 그것보다는 실전에서는 일단 귀납적 방식으로 시도해 보는 것이 늘 지혜로울 때가 많지요... a1 = 1일 때의 수열 { an }의 항들을 적어 보면, 1, -1, 4, 2, 0, -2, 3, 1, -1, 4, … 1, -1, 4, 2, 0, -2, 3 일곱 개의 항을 순환마디로 하여 반복되겠군요... 그렇다면, a15 = a8= a1= 1 > 0 a1 = 2일 때의 수열 { an }의 항들을 적어 보면, 마찬가지로 2, 0, -2, 3, 1, -1, 4 일곱 개의 항을 순환마디로 하여 반복됩니다. 그렇다면, a15 = a8= a1= 2 > 0 a1 = 3일 때 3, 1, -1, 4, 2, 0, -2 일곱 개의 항을 순환마디로 하여 반복되고, a15 = a8= a1= 3 > 0 a1 = 4일 때 4, 2, 0, -2, 3, 1, -1 일곱 개의 항을 순환마디로 하여 반복되고, a15 = a8= a1= 4 > 0 a1 = 5일 때,,, 앞의 순환마디에서 나타나지 않던 수의 등장이네요... 5, 3, 1, -1, 4, 2, 0, -2, 3, …으로서 처음 5를 제외한 일곱 개의 항을 순환마디로 하여 반복되는군요... a15 = a8= -2 < 0 이상에서,,, 정답 a1의 최솟값은 5
오답률 5위(69.3%) 15번 문제 교점 A의 x 좌표 x1은 음수이고, 교점 B의 x좌표 x2는 양수이죠... 아래와 같이 연립방정식을 작성하여 <보기 ㄱ> 조건을 만족하는 k의 값을 확정할 수 있겠고... 점 A와 C에서는 두 로그함수의 그래프가 만나고, 점 B에서는 세 로그함수의 그래프가 만나죠... x1, x2, x3를 k 또는 m으로 나타낼 수 있고, 교점 B에서 m을 k로 나타낼 수 있고,,, x1 × x3를 계산해보면 아래와 같이 x22과 같게 됨을 확인할 수 있네요... 마지막으로 <보기 ㄷ>에 대하여,,, <보기 ㄴ>에서 확인한 관계식 x1x3 = x22으로부터 x2는 수열 x1, x2, x3 또는 x3, x2, x1의 등비중항이죠... x2/x1 = x3/x2 을 계산 편의상 공비 r로 두겠습니다. 세 점 A, B, C의 y좌표를 y1, y2, y3라 두고, 이 값을 세 점 모두를 지나는 파란색 함수 y = log2|kx|의 함숫값으로 얻는 것이 좋겠군요... 자~~~ 직선 AB와 직선 AC의 기울기의 합이 0... 공비 r은 음수이죠... r2 = 1 즉, r = -1이 가능한지 잠깐 살펴 보아야 겠군요... 공비 r은 -1보다 작고 r2은 1보다 큽니다. 분모는 문제가 없으며, 분자의 절댓값을 풀어서 정리하면 마무리하겠습니다. 따라서 <보기 ㄷ>은 거짓이고... 이상에서,,, 정답은 오지선다형 ③번 오답률 6위(64.4%) 14번 문제 n(n ≥ 4)이하의 네 자연수 a, b, c, d (b < a)에 대하여, 그림과 같이 삼각형 OAB가 직각이등변삼각형이 되게 하는 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수가 Tn입니다. 아래 애니메이션은 지문에 있는 아이디어를 보충하기 위해서 그려 본 것인데,,, a, b가 결정되면 c, d가 결정됩니다... 4 이상의 자연수 n에 대하여 b가 가질 수 있는 자연수 값이 결정되면 a의 개수가 결정되고 있음을 이용해서 Tn을 알아 내는 방식입니다. 위 애니메이션에서와 같이 n = 2m일 때 b = 1부터 m - 1까지의 자연수가 가능하고, 이때 b의 값을 k로 두면 a의 개수가 2m - 2k가 되므로 따라서 (가) = f(m) = m-1이고 (나) g(m) = m2 - m이죠... n = 2m+1일 때는 b < n/2 = m + 1/2이므로 b = 1부터 m까지의 자연수가 가능하고, 이때 b의 값 k에 대해 a의 개수는 n - 2k = 2m + 1 - 2k이지요... 따라서 이상에서, f(5) + g(6) + h(7) = 4 + 30 + 49 = 83이고, 정답은 오지선다형 ⑤번 n = 4부터 20까지 Tn의 총합을 614라고 하였는데, 검산 겸해서 확인해 볼까요? 오답률 59.0% 20번 문제의 풀이 다른 풀이입니다. 세 변의 길이의 비가 주어지면, 세 내각의 크기가 모두 결정되죠... 코사인 제2법칙으로 ∠B의 코사인 값을 구한 후, 앞 풀이에서와 마찬가지로 사인법칙으로 외접원의 반지름과 엮어 주면 되지요... 오답률 43.5% 19번 문제의 풀이 등비수열의 일반항 공식이 arn-1이죠... 오답률 40.6% 11번 문제의 풀이 정답은 오지선다형 ③번
오답률 1위(0.0%) 30번 문제 아래 계산 과정이 괜히 복잡한가요? 핑크색 비례식을 연립방정식으로 바꾸어 해결해주는 방식인데,,, 다른 마무리도 많을 것입니다. 그리고 위에서 주황색으로 표시한 닮음을 보지 못하더라도, EBS의 풀이에서처럼 주황색 삼각형 CF'P에서 수선 CQ를 공통변으로 하는 두 피타고라스의 정리 식을 세워서 엮어 주어도 되겠네요... 이상에서,,, 정답은 63 오답률 2위(97.4%) 29번 문제 아래 애니메이션에서처럼,,, 파란색 벡터 OP와 보라색 벡터 AQ를 각각 삼각형의 법칙으로 합성했을 때를 생각하면, 두 벡터의 합벡터는 원의 중심 O'를 시점으로 하는 주황색 벡터가 되고, 이 벡터의 크기가 최대가 될 때는 빨간색 벡터와 같이 점 Q는 점 C에 점 P는 벡터 OC와 같은 방향의 반원 위에 놓일 때이죠... 최댓값 M을 계산하면, 최소가 되는 상황은 두 벡터 OP와 AQ를 아래와 같이 각각 두 벡터의 합으로 합성한 후, 파란색 벡터 AP를 벡터 OP'로 평행이동하여 시점을 원점 O로 일치시켜서 생각해보면, 벡터 OP'가 영벡터이고 보라색 벡터 OQ가 최소가 될 때 두 벡터의 합벡터의 크기가 최소가 된다고 직관할 수 있습니다. 아래와 같이 마무리하면 정답은 115 보다 일반적으로는,,, 영벡터가 아닌 두 벡터 a, b가 이루는 각의 크기를 θ라고 하면, 아래와 같이 벡터의 내적으로 합벡터의 최대와 최소가 어떻게 되는지 관찰할 수 있습니다. 아직 내적은 배우기 전이지요... 두 벡터 a, b가 같은 방향일 때는 cos0° = 1이므로 합벡터의 크기가 최대가 되고, 반대 방향일 때 cos180° = -1이므로 합벡터의 크기가 최소가 되기도 하지만, 개별 벡터의 크기에 따라 달라지기도 하네요. 이 문제에서는 두 벡터가 반대 방향이 되는 경우가 딱 한 번 일어나지만 이 보다 더 작은 경우가 있습니다. 초록색 부분 참조. 어느 한 벡터가 영벡터가 될 수 있으므로 이때는 다른 한 벡터의 크기가 최소가 될 때 합벡터의 크기가 최소가 되지요... 오답률 8위(56.4%) 28번 문제 주어진 선분 PF의 길이로부터 아래 검은색 수식에서와 같이 점 P의 좌표 (4, 6)을 확정할 수 있고,,, 그 다음, 음함수 미분법으로 포물선 식을 미분하여 P(4, 6)에서 접선의 방정식을 작성하면 그 x절편인 초점 F'의 좌표 (-4, 0)을 얻을 수 있지요... 음함수 미분법 대신에 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식 공식(6 × y = 9 × (4+x)/2)을 곧바로 적용해도 되구요... 그 다음,,, 왼쪽으로 평행이동한 타원이기는 하지만,,, 이와 상관없이 (x-t)2/a2 + y2/b2 = 1을 만족하는 b의 값을 위 파란색 수식과 같이 계산해서 얻으면 단축의 길이를 알 수 있게 되지요... 이상, 정답은 오지선다형 ⑤번 다른 풀이입니다. 포물선 y2 = 9x = 4px에서 p = 9/4이고, 따라서 포물선의 초점은 (9/4, 0)으로 타원의 한 초점 F와 일치합니다. 이때 준선의 방정식은 x = -9/4이죠. 그렇다면 포물선 위의 점 P(x, y)에서 준선까지의 거리 x + 9/4가 포물선의 정의에 의하여 선분 PF의 길이 25/4와 같으므로 x = 4가 되고 제1사분면 위의 점 P의 좌표는 (4, 6)이 됨을 쉽게 얻을 수 있습니다. 그 다음은 앞 풀이와 동일.
오답률 1위(0.0%) 30번 문제 등비수열의 극한 개념에 따라 아래와 같이 x의 범위별로 함수 f(x)를 정의할 수 있어야 겠고,,, 아래 애니메이션에서 함수 y = f(x)의 그래프를 파란색으로 그려 주었습니다. 두 양수 a, b의 값에 따라 바뀌지요... 방정식 f(x) = 2(x-1) +m (m은 자연수)의 실근의 개수를 cm이라 할 때, ck = 5인 자연수 k가 존재한다... (1, m)을 지나는 보라색 직선 y = 2(x-1) + m에서 자연수 m을 고정시킨 후, 파란색, 보라색 두 그래프의 교점을 관찰해 보면, ck = 5인 자연수 k가 존재하기 위해서는 보라색 직선이 (1, f(1))과 (-1, f(-1))을 반드시 지나야 할 뿐만 아니라 x < -1일 때 파란색 곡선과 한 곳에서, -1 < x < 1일 때 파란색 직선 y = x/2와 한 곳에서, x > 1일 때 파란색 곡선과 한 곳에서 모두 만나야 가능함을 알 수 있습니다. 그렇다면, 먼저,,, 핑크색 교점이 5개가 되고 있는 m = k일 때의 a, b, k의 값이나 범위에 대해서 알아 보아야 겠습니다. 또한,,, 파란색 곡선 y = f(x)는 x = -1일 때 좌극한값은 f(-1)보다 작고 우극한값 -1/2은 f(-1)보다 커야 하며, 마찬가지로 x = 1일 때 좌극한값 1/2은 f(1)보다 작고 우극한값은 f(1)보다 커야합니다. a가 3의 배수여야 하죠? 만족하는 a = 3 뿐이네요. 그리고 이때 k의 값은 3. 이상에서, a = 3, b = 5, k = 3을 얻었습니다... 자~~~ 이제, 아래 무한급수의 값을 구할 차례... m = 3일 때 c3 = 5이죠... c1, c2, c4, c5, … 등의 값을 조사해 보아야 겠고,,, 이 무한급수가 특정값으로 수렴한다면 m이 점차 커짐에 따라 cm - 1 → 0이 되어야 겠죠? 아래 애니메이션에서 파란색 경계점들의 좌표를 구하여 이 점을 지나고 기울기가 2인 직선의 m 값을 계산해서 표시해 주었습니다. 자연수 m이 8이상일 때부터 핑크색 교점의 개수 cm은 항상 1이 되는군요... 그리고 c3 = 5이고, 그밖에 c1, c2, c4, c5, c6, c7 모두 2입니다. 이상에서,,, 아래와 같이 계산하여 정답은 13 오답률 3위(76.8%) 29번 문제 삼각형 DBC가 이등변삼각형이므로 밑각의 크기가 α로 같죠. 그렇다면, 삼각형 ABC의 내각의 총합 π = 2π/3 + β + 2α에서 β = π/3 - 2α. cos2α의 값이 주어져 있습니다. 그렇다면, 아래와 같이 덧셈정리로 cos2α의 값을 얻을 수 있고,,, 다음, 탄젠트의 덧셈정리로 tanβ의 값을 얻어서 마무리해주면 되는 쉬운 문제입니다. 도중에 아래 녹색 tan2α의 값은 2α가 예각이므로 cos2α의 값으로부터 피타고라스 직각삼각형을 생각해서 삼각비로 가볍게 처리하는 것이 간편하구요... 이상에서,,, 정답은 18 13, 18 등 이상한 수(?)들이 답이 되고 있다능 ㅎ 오답률 8위(57.2%) 28번 문제 도형 R1의 넓이 S1 = s1, 도형 R2의 넓이 S2 = s1 + s2, 도형 Rn의 넓이 Sn = s1 + s2 + … + sn 과 같이 둘 수 있고,,,,,, 이때 넓이의 비가 s2/s1 = sn+1/sn으로 일정하게 유지되는 자기 닮음인 프랙탈(☞ 네이버 재미있는 수학이야기) 도형이죠... 무한등비급수의 합 공식 a / 1-r로 마무리 짓는 문제입니다. 초기값 a = s1, 공비 r = s2/s1를 얼마나 빨리 구하느냐가 관건인 수능 단골 메뉴입니다. 그리고, 공비 r도 넓이로 접근하지 말고 닮은 두 도형에서 대응하는 선분의 길이의 비를 구해서 이를 제곱해주면 되지요... 큰 원의 반지름의 길이가 2이므로 작은 원의 반지름의 길이를 알아 내면 되겠군요... 아래 그림에서 주황색 수식은 초기값 s1을 구하는 과정을 보여 주고 있습니다. 지름의 원주각이 90˚이죠. 그렇다면, 직각삼각형 A1B1C1에서 점 D1은 직각인 꼭짓점 A1에서 빗변에 내린 수선의 발입니다. 이때 직각삼각형과 닮음 개념에 의하여 여러 선분 조각들의 길이를 구하는 방법은 정말 여러가지이지요... 어쨌든, 초기값 s1은 반원의 넓이 + 직각삼각형의 넓이 다음, 그 아래 핑크색과 보라색... 작은 원의 중심이 각 C1의 이등분선 위에 있고, 각의 이등분선의 정리에 의해 이 핑크색 각의 이등분선은 지름 A1B1을 3 : 5로 내분합니다. 계산하면 3/2... 그렇다면, 3/2 : 3 = 1 : 2 핑크색 직각삼각형들의 닮음비가 1 : 2이므로 작은 원의 반지름의 길이를 r로 두고,,, 이제,,, 보라색에서 두 원의 중심과 두 원의 접점이 일직선 위에 있음을 생각하여 빗금친 보라색 직각삼각형에서 피타고라스의 정리로 반지름 r의 값을 구할 수 있게 됩니다. 마무리하면, 정답은 오지선다형 ③번 오답률 9위(45.9%) 27번 문제 도형 관계를 이용해서 극한식을 작성한 후 삼각함수의 극한의 기본정리를 이용해서 극한값을 구하는 문제로서, 이런 유형도 역시 수능 단골 메뉴입니다. 삼각함수의 극한의 기본과 그 증명에 대해서는 게시글 [서울시립대 수리논술] 2009 서울시립대학교 모의 논술 - 미적분학의 기본정리에 있는 TIP 「삼각함수의 극한의 기본」을 참조하십시오. 핑크색 부분... 통분해서 분자에 켤레를 곱하는 방식으로 식변형하면 삼각함수의 극한을 적용할 수 있을 듯요... 정답은 오지선다형 ③번 이상입니다...
아래는 최근 2021학년도 이전의 수능 수학 가형 30번, 29번, 21번 등 고난도 기출문제의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다. 그리고, 최근 출제 경향에 맞추어서 오답률 베스트 5, 탑10 문제도 소개하고 있습니다. [오답률 탑10] 2021학년도 대학수능 수학 가형 기출문제의 풀이 및 해설 [오답률 베스트 5] 2020학년도 대학수능 수학 가형 기출문제의 풀이 및 해설 [오답률 베스트 5] 2019학년도 대학수능 수학 가형 기출문제의 풀이 및 해설 [수능29번] 2019학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2019학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2014학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2014학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2013학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수지수학학원 진산서당] 2013학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2012학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2012학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 대학 수능 고난도 킬러 문제, 수능 30번, 수능 29번, 그리고 수능 21번... 그리고 최근 출제 경향에 따른 오답률 베스트 5와 탑10, 수학1등급. 에서는 이들 고난도 문제에 대한 다양한 풀이와 쉬운 해설을 계속하여 포스팅하고 있습니다. 대학 수능 기출문제 뿐만아니라, 평가원 모의평가고사, 교육청이 주관하는 전국연합 학력평가고사도 다루고 있습니다. 월별, 고사별 카테고리(바로가기 클릭) 수리논술 및 제시문기반 심층면접에 대한 기출문제의 풀이 및 해설도 다루고 있지요... 함께 참조하십시오. 수학의 힘 ! 용인수지 수학학원 진산서당(☏031-276-5536)
공감
이 글에 공감한 블로거 열고 닫기
댓글
쓰기
이 글에 댓글 단 블로거 열고 닫기
|
2020년 5월 21일 목요일 치른 경기도교육청이 주관한 2020년 전국연합학력평가 수학나형(문과) 오답률 TOP 10 고난도 문항에 대한 풀이 및 해설입니다. 코로나19 파동으로 고3만이 5월 20일 개학하였고, 그 다음날 치른 시험입니다. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 먼저, 오답률 1위(96.8%) 30번 문제의 풀이 및 해설 보라색 식 g(t)가 구간 [0, t]에서 삼차함수 f(x)의 평균변화율 즉, 두 점을 연결한 직선의 기울기인데,,, 일단 이에 대한 기하적 해석이나 이를 이용한 처리는 보류하고,,, 어쨌든, 함수 g(t)는 이차함수입니다. 조건 (가)에서 g(t)의 최솟값이 0이면,,, g(t)는 x축에 접하는 아래로 볼록한 그래프이므로 완전제곱꼴일 것입니다. 이에 대한 처리도 잠시 보류하고... 조건 (나)의 방정식을 먼저 살펴 보면, 위 파란색 식이 항상 성립해야 하므로, 계수비교하여 상수 a, b의 값을 확정할 수 있게 됩니다. 그리고 이 값을 조건 (가)에 적용하면 상수 c의 값도 확정됩니다. 이제, 집합 Am에 대하여,,, 이차방정식의 근의 분리 개념으로 접근하면 됩니다. 두 근 모두 0초과 m이하의 범위에 있도록, 이차함수 h(x)를 잡아서 경계에서 y의 부호, 대칭축, 꼭짓점의 y좌표(또는 판별식) 들을 살펴 주면 자연수 m의 값을 확정할 수 있지요... 다른 풀이입니다. 조건 (가)에서 g(t)가 최솟값 0이 될 때의 t값을 k로 두면 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)는 x = k에서 극솟값 f(0)를 갖게 되므로 f(x) = x(x - k)2 + f(0)로 둘 수 있습니다. 아래 애니메이션에서 보듯이, g(t)가 두 점 (0, f(0)), (t, f(t))를 연결한 보라색 직선의 기울기이고 이 최솟값이 0이기 때문이지요... 이제, 이 f(x) 식을 미분하여 조건 (나)를 적용하면 k값을 얻을 수 있게 됨과 동시에 이차함수 g(t)를 확정할 수 있게 됩니다. 이 파란색 이차방정식의 해가 a(a > 5/3)와 5/3라고 하였으므로, 이제, 이를 가지고 집합 Am이하를 처리해 주면 되겠습니다. f'(x) = g(m)은 x에 관한 이차방정식입니다. 조건 (나)에서와 같은 식인데,,, 조건 (나)의 의미를 이 식을 가지고 다시 해석해보면 m = 5일 때 이 이차방정식의 해는 5/3와 5가 된다는 뜻이 됩니다. 그리고 이 두 근은 0 초과 5이하의 범위를 충족하므로 m = 5는 n(Am) = 2를 만족시키는 유효한 m값이 되고 있습니다. 그런데, 모든 자연수 m을 구하라고 하고 있습니다. m이 5가 아닐 때도 만족하는 x가 0 초과 m 이하 범위에서 2개가 있을 수 있다는 뜻이지요... 평균값 정리(☞ 위키백과)에 따르면, 두 점 (0, f(0)), (m, f(m))을 연결한 직선의 기울기와 같은 미분계수 f'(x)가 구간 (0, m)에 적어도 한 개는 존재합니다. 이 문제에서는 구간 (0, m] 범위에서 항상 2개가 되게 하는 m의 값을 잡아 보라는 것이겠는데요,,, 이차방정식 f'(x) = g(m)의 기하적 의미를 아래 애니메이션에서와 같이 살피면, 핑크색 접선의 기울기가 보라색 직선의 기울기와 같아 질 때인데, x의 값과 상관없이 항상 2개의 접선이 존재함을 알 수 있고,,, 또 x의 구간 (0, m]에서도 항상 2개가 되도록 하는 m의 값의 범위도 찾아낼 수 있습니다. 또 다른 풀이입니다. 바로 앞 풀이에서 얻은 f(x)와 g(t)를 가지고 계속해서 다른 방법으로 밀고 나가 보겠습니다. x에 관한 이차방정식 f'(x) = g(m)은 아래에서 보듯이 m의 값과 상관없이 항상 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 그런데, 0 < x ≤ m 범위에서도 이 이차방정식의 서로 다른 실근이 2개가 되도록 m의 값을 잡아야 합니다. 서로 다른 두 실근 c1, c2 가 0 < c1 < c2 ≤ m 이어야 한다는 것인데요... 일단, 근과 계수의 관계를 적용해보면 아래에서 보듯이 m의 범위를 확 좁힐 수가 있습니다. 첫번째 풀이에서는 근의 분리 개념으로 마무리를 했고, 바로 앞 풀이에서는 평균값 정리를 생각해서 해결했습니다만, 여기서는 두 이차함수 y = f'(x), y = g(x)의 그래프를 보면서 살펴 보겠습니다. 파란색 포물선 y = f'(x)와 x축에 평행한 보라색 직선 y = g(m)이 만나는 핑크색 두 교점의 x좌표가 0 초과 m 이하 범위에 놓이도록 자연수 m의 값을 결정해주면 됩니다. 다음, 오답률 2위(91.6%) 29번 문제의 풀이 및 해설 최단 경로의 개수 문제에 대한 기본 원리에 대해서는 게시글 [수지 경시학원 진산서당] 직사각형 및 직육면체에서 최단 경로 길잡이 문제를 참고하십시오. 아래 애니메이션에서는 A→C로 가는 최단 경로인 6가지 경우 각각에 대하여 C→A로 돌아올 때의 경로의 수를 일일이 조사하여 모두 더하는 모습을 보여 주고 있습니다. 대각선 AC에 대하여 대칭이죠... 오답률 3위(78.4%) 26번 문제 수직선 위를 움직이는 점 P의 속도함수 v(t)가 직선 식으로 주어졌습니다. 아래에서 보듯이 출발 후 3초 동안 움직인 거리는 두 삼각형의 넓이의 합이 됩니다. 출발 2초 후부터 속도가 음수가 되면서 수직선 위를 반대방향으로 움직이지요... 오답률 4위(74.8%) 28번 문제 y = -f(x)의 그래프와 y = f(x)의 그래프는 x축에 대하여 대칭입니다. 그렇다면, y축 방향으로 b만큼 평행이동한다 쳐도 삼차함수의 그래프는 꺾인 상태에서 평행이동하므로 꺾인 점에서는 미분이 불가능하죠... 따라서 꺾인 부분이 매끄럽게 처리되기 위해서는 미분계수가 0인 점에서 꺾여야 할 것입니다... 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 극점이 없는 경우와 두 극점이 모두 존재하는 경우로 나누어서 생각해 보아야 겠습니다. ① 극점이 없는 경우 y = f(x)의 그래프가 y = x3을 평행이동한 경우인데,,, f(x) = (x - 2)3 + q로 두고 생각해보면 되겠군요... x = 2에서 미분계수가 0이므로 이 점에서 꺾여야 겠습니다. 그런데, x = 3을 기준으로 g(x)가 따로 정의되는군요... 그렇다면, 이 경우는 g(x)를 실수 전체의 집합에서 미분가능하게 하는 방법은 없습니다. ② 두 극점이 모두 존재하는 경우 g(x)가 별도로 정의되고 있는 x = 3에서 함수 f(x)는 미분계수가 0이어야 꺾이더라도 매끄럽게 연결됩니다.
다른 풀이입니다... 삼차함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, x = 3을 경계로 별도로 정의된 삼차함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 x = 3에서만 미분가능하도록 별도로 처리해주면 됩니다. g'(3+), g'(3-) 기호는 각각 x = 3을 경계로 미분계수의 우극한과 좌극한을 나타내기 위해서 편의상 사용합니다. 사용해보니까 편하더라능... 다음, g(x)의 극솟값... 굳이 g(x)의 증감표를 작성해보지 않더라도, f(x)가 극소가 되는 x = 3에서는 g(x)가 매끄럽게 연결된 증가상태일 것이고(미분계수가 0인 상태에서 변곡점(變曲點 ☞과학백과사전)임), f(x)가 극대가 되는 x = 1에서는 g(x)가 극소가 될 것이므로 극솟값 g(1) = b - f(1) = 20 - 14 = 6. 오답률 5위(64.7%) 20번 문제 지수함수의 그래프... g(x)는 f(x)를 오른쪽으로 2만큼 평행이동하였지요... 그렇다면 조건 (가)에서 오려붙이면 평행사변형이 되므로 b = a + 3. 지수함수와 로그함수가 역함수이죠... 역함수를 구할 수 있어야 겠고, 로그의 성질로 마무리하면 됩니다. 오답률 6위(63.4%) 21번 문제 선분 AB의 길이가 2이므로 반지름의 길이가 t인 파란색 원 C 위의 동점 P에서 직선 AB에 내린 주황색 수선 PH의 길이가 자연수이면 보라색 삼각형 ABP의 넓이는 자연수가 됩니다. 직선 AB의 기울기가 -1입니다. 이 직선에 수직인 직선 y = x를 그은 후 1간격으로 직선 AB와 평행한 직선을 그어서 파란색 과의 교점을 핑크색으로 찍었습니다(직선 AB 위에 있는 초록색 점은 제외). 핑크색 점에 동점 P가 올 때 보라색 삼각형 ABP의 넓이가 자연수가 되므로, t의 범위별로 핑크색 점의 개수를 조사해 주면 되는 것이지요... <보기> ㄱ. f(1/2) = 2는 참. 반지름의 길이 t가 1보다 작을 때, 직선 y = -x와의 두 교점 위에 동점 P가 올 때 넓이는 1. <보기> ㄴ 1 < t < 2에서 f(t) = 4이고, f(1) = 3이므로 t = 1에서 함수 f(t)는 불연속입니다. 문제의 우극한값은 4이고요... 따라서 참. <보기> ㄷ 0 < t < 4에서 함수 f(t)가 불연속인 t의 값은 1, 2, 3. 따라서 참. 참고로 함수 f(t)의 그려 보면,,, 이상에서,,, <보기> ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이므로 정답은 오지선다형 ⑤번 오답률 7위(59.3%) 18번 문제 a, b, m, n모두 양수이므로 b의 m제곱근과 m제곱근 b를 구분할 필요가 없지요. 양수 b의 m제곱근 중에서 양수인 수가 m제곱근 b. 이는 c의 n제곱근도 마찬가지... 밑 a, b가 1이 아니므로 지수끼리 같아야 하고,,, mn = 18에서 m, n은 2이상의 자연수... 오답률 8위(57.5%) 16번 문제 정적분으로 정의된 함수의 미분에 대해서는 게시글 [수지수학학원 진산서당] 문과생을 위한 미적분 특강 - 정적분으로 정의된 함수의 미분을 참조하십시오. 양변에 x = 1을 대입하면, 우변 정적분이 0이므로 3f(1) = 2. 양변을 x에 관하여 미분하면, 3f(x) + 3xf'(x) = 9f(x) + 2. x = 1을 대입하면, 3f(1) + 3f'(1) = 9f(1) + 2. 2 + 3f'(1) = 6 + 2 = 8. 따라서 f'(1) = 2, 정답은 오지선다형 ⑤번 오답률 9위(48.0%) 27번 문제 수열의 귀납적 정의로부터, 일반항 an을 구하는 것이 여의치 않아 보입니다. n = 1부터 차례대로 대입하면, a5를 얻을 수 있겠죠? 오답률 10위(43.9%) 10번 문제 h → 0일 때, 분모 2h → 0인데, 분자 f(3+h)-4 → f(3)-4로 상수가 되고 있습니다. 만약 분자가 0이 아닌 상수라면 좌변은 분자의 부호에 따라 +∞ 또는 -∞로 발산하게 되므로, 극한값 1로 수렴할 수는 없습니다. 따라서, 문제의 극한이 1로 수렴하려면 f(3) - 4 = 0이어야 합니다. 그렇다면, 미분계수의 정의에 의하여 아래와 같이 f'(3) = 2 이상,,, f(3) = 4, f'(3) = 2이므로 f(3) + f'(3) = 6이고, 정답은 오지선다형 ①번 이상입니다. 수능 기출문제의 풀이 및 해설 링크 모음... 아래는 최근 수능 수학 나형 30번, 29번, 21번 등 고난도 킬러 문항의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다. [오답률 베스트 10] 2020학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설 [수학1등급] 다시 보는 2019 대학수능 수학 나형 오답률 베스트 10 - 난도의 재구성 [오답률 베스트 5] 2019학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설 [수능30번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2018학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2018학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2017학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 A형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2016학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 28번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2015학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2014학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2013학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2012학년도 대학수능 수학 나형 21번, 28번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 대학 수능 고난도 킬러 문제, 수능 30번, 수능 29번, 그리고 수능 21번... 그리고 또 오답률 베스트 5, 수학 1등급... 수지수학학원 진산서당 블로그 [대학수능] 카테고리에서는 이들 고난도 문제에 대한 다양한 풀이와 쉬운 해설을 계속하여 포스팅하고 있습니다. 대학 수능 기출문제 뿐만아니라, 평가원 모의평가고사, 교육청이 주관하는 전국연합 학력평가고사도 다루고 있습니다. 참고로, 이과 수능 고난도 킬러 문항 및 이과 모평, 학평 고난도 킬러 문항에 대한 풀이 및 해설은 이과수능21/29/30 카테고리(☞ 바로가기 클릭)나3,4월 학평 카테고리(☞바로가기 클릭)를 열어 보시기를... 전체 모두가 일목요연하게 정리되어 있다고 보시면 됩니다. 수학의 힘 ! 용인수지 수학학원 진산서당(☏031-276-5536) |
2020년 5월 21일 목요일 치른 경기도교육청이 주관한 2020년 전국연합학력평가 수학가형(이과) 오답률 TOP10 고난도 문항에 대한 풀이 및 해설입니다. 코로나19 파동으로 고3만이 5월 20일 개학하였고, 그 다음날 치른 시험이지요. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 먼저, 오답률 1위(95.5%) 30번 문제의 풀이 및 해설 조건 (가), (나)에서 { an }의 짝수항과 홀수항이 따로 정의 되고. n이 자연수이면 a1은? 조건 (다), (라)에서 { bn }의 짝수항과 홀수항이 따로 정의 되고. n이 자연수이면 b1은? 두 수열이 서로 물려 있습니다... 이른바 연립점화식이겠는데,,, 가끔은 소거를 통하여 각 수열의 일반항을 구하기도 하겠지만,,, 대부분의 경우에서는 일반항에 관심을 두지 말고 주어진 조건을 엮어서 실전적으로 문제의 답을 찾는데 초점을 맞추어야 겠습니다. 가령,,, a48 = 9로 주어졌습니다. 이로부터 우리가 귀납적으로 곧바로 알 수 있는 항은 조건 (가), (다)에 의하여 a48 → b24 → a12 → b6 → a3 순서로 그 값을 알게 되고, 이어서 조건 (나)에 의하여 b1의 값까지를 알게 됩니다. b32의 값을 묻고 있습니다. 거꾸로 적용하면, b32 ← a16 ← b8 ← a4 ← b2 ← a1이므로, a1의 값을 구하면 b32의 값을 얻게 됩니다. 다음,,, ∑ 총합식에서 an의 처음 63개 항의 총합과 bn의 처음 31개 항의 총합을 빼고 있는데,,, 63과 31이 2배 정도인 셈인데요... 어쨌든, 조건 (가)와 (나)를 변변 더하면 ∑an을 ∑bn으로 바꿀 수 있고, 또 조건 (다)와 (라)를 변변 더하면 ∑bn을 ∑an으로 바꿀 수 있음에 착안하면,,, 아래와 같이 이를 반복적으로 적용해서 이 등식을 a1, b1에 관한 식으로 바꿀 수 있습니다. 그렇다면, 문제가 해결된 것이지요... 앞에서 언급했듯이, a48 = 9로부터 귀납적으로 b1의 값을 알 수 있으므로 이제 이 관계식에 대입해서 a1을 얻게 되면, 다시 귀납적으로 b32 의 값을 얻게 되는 것이지요. 마무리하겠습니다. a48=9 → b24=7 → a12=3 → b6=1 → a3=1 → b1=2 따라서 빨간색 식에 의하여 a1 = 3 a1=3 → b2=7 → a4=9 → b8=25 → a16=27 → b32=79 이상,,,, 정답은 79 이를 보다 일반적으로 적어 보면,,, 다음, 오답률 2위(94.8%) 29번 문제의 풀이 및 해설 일단, 정수조건 부정방정식을 작성해서 문제의 뜻을 보다 분명히 하고, 중복조합으로 해결할 수 있을 지를 살펴 봅니다. 11이상의 해가 발생하는 데에 대해서 이를 제외해주는 처리가 복잡하겠군요... 또, d 또는 e가 0이 되는 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어서 처리해야 하니 이것도 깔끔하지 않고,,, 어쨌든,, 한꺼번에 중복조합으로 처리할 수는 없구요... 잠시 보류하고... 아래와 같이 함수 대응으로 접근해 봅니다. 정의역이 { 철학, 사회과학, 자연과학, 문학, 역사 }이고, 공역을 함숫값으로 가질 수 있는 책의 권수인 { 0 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }로 두면, 문학과 역사는 0을 가질 수 있지만, 철학, 사회과학, 자연과학은 0을 가질 수 없습니다. 그리고,,, 무엇보다도 함숫값의 총합이 24가 되어야 합니다. 0이 선택되는 경우를 제외하면, 세 수의 합이 24, 네 수의 합이 24, 다섯 수의 합이 24가 되는 경우의 수를 살피고, 이를 정의역의 원소에 할당해준다고 생각하면 되겠군요... 되었습니다. 자연수의 분할 내지는 조편성 개념이 되겠습니다. ① 세 수의 합이 24인 경우. 문학과 역사는 선택하지 않는 상황이며, 각 분할과 철학, 사회과학, 자연과학에 나누어 주는 가지수는 24 = 10 + 10 + 4 ⇒ 3 가지 24 = 10 + 9 + 5 ⇒ 6 가지(3!) 24 = 10 + 8 + 6 ⇒ 6 가지(3!) 24 = 10 + 7 + 7 ⇒ 3 가지 24 = 9 + 9 + 6 ⇒ 3 가지 24 = 9 + 8 + 7 ⇒ 6 가지(3!) 24 = 8 + 8 + 8 ⇒ 1 가지 모두 더하면 28 가지 ② 네 수의 합이 24인 경우 문학과 역사 중 하나는 선택하지 않은 상황이며, 각 분할과 나누어 주는 가지수를 먼저 조사한 후 두 배 24 = 10 + 6 + 4 + 4 ⇒ 12 가지(4!/2!) 24 = 10 + 5 + 5 + 4 ⇒ 12 가지(4!/2!) 24 = 9 + 7 + 4 + 4 ⇒ 12 가지(4!/2!) 24 = 9 + 6 + 5 + 4 ⇒ 24 가지(4!) 24 = 9 + 5 + 5 + 5 ⇒ 4 가지(4!/3!) 24 = 8 + 8 + 4 + 4 ⇒ 6 가지(4C2) 24 = 8 + 7 + 5 + 4 ⇒ 24 가지(4!) 24 = 8 + 6 + 6 + 4 ⇒ 12 가지(4!/2!) 24 = 8 + 6 + 5 + 5 ⇒ 12 가지(4!/2!) 24 = 7 + 7 + 6 + 4 ⇒ 12 가지(4!/2!) 24 = 7 + 7 + 5 + 5 ⇒ 6 가지(4C2) 24 = 7 + 6 + 6 + 5 ⇒ 12 가지(4!/2!) 24 = 6 + 6 + 6 + 6 ⇒ 1 모두 더하면 149, 2배하면 298 ③ 다섯 수의 합이 24 다섯 종류의 책 모두가 각 4권 이상씩 선택된 경우입니다. 24 = 8 + 4 + 4 + 4 + 4 ⇒ 5 가지(5C1) 24 = 7 + 5 + 4 + 4 + 4 ⇒ 20 가지(5!/3!) 24 = 6 + 6 + 4 + 4 + 4 ⇒ 10 가지(5C2) 24 = 6 + 5 + 5 + 4 + 4 ⇒ 30 가지(5! / 2!2!) 24 = 5 + 5 + 5 + 5 + 4 ⇒ 5 가지(5C1) 모두 더하면 70가지 이상에서 (가), (나), (다) 세 조건을 만족하면서 50권의 책에서 24권을 선택하는 경우의 수는 28 + 298 + 70 = 396 조편성(자연수 분할)의 경우가 많아서 큰 수부터 필터링하더라도 놓칠 위험이 있다 싶어요... 또, 너무 세분된 관계로 일일이 같은 문자가 포함된 순열이나 조합의 수로 계산해야하고 다시 더해야 하고... 보다 안전한 방법은 위 세 경우 각각에 대해서 그 조사를 웬만하면 중복조합으로 처리하면 좋습니다. 먼저, ③ 다섯 수의 합이 24인 경우를 보면 정수조건 부정방정식 a + b + c + d + e = 24 (4 ≤ a, b, c, d, e ≤ 10)에서 a, b, c, d, e 어느 것도 11이상의 값을 가질 수는 없지요. 따라서 a' + b' + c' + d' + e' = 4의 음이 아닌 정수해의 개수를 구해 주면 되므로 5H4 = 8C4 = 70 다음, ② 네 수의 합이 24인 경우는 정수조건 부정방정식 a + b + c + d = 24 (4 ≤ a, b, c, d ≤ 10)의 해의 개수와 a + b + c + e = 24 (4 ≤ a, b, c, e ≤ 10)의 해의 개수의 합... 하나만 풀어서 두 배해 주면 되겠는데,,, 4이상의 자연수 해의 개수에서 아래 경우의 해의 개수의 4배만을 제외해주면 된다능... a = 11, b + c + d = 13 a = 12, b + c + d = 12 마지막으로, ① 세 수의 합이 24인 경우는 정수조건 부정방정식 a + b + c = 24 (4 ≤ a, b, c ≤ 10)에서,,, 중복조합으로는 잘 되지 않습니다만, 아래와 같이 a를 순차적으로 확정한 후 계속하여 b + c = n에서 b를 순차적으로 확정하면 c가 한 가지씩 확정되므로 쉽게 규칙을 얻을 수가 있지요... a = 4, b + c = 20 ⇒ 1가지 a = 5, b + c = 19 ⇒ 2가지 a = 6, b + c = 18 ⇒ 3가지 …… a = 10, b + c = 10 ⇒ 7가지 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 이상, 모두 더하면 70 + 298 + 28 = 396 참고로, 음이 아닌 정수해의 개수를 중복조합으로 구하는데 대해서는 아래를 참조하십시오. 오답률 3위(81.8%) 21번 문제 위와 같이 <보기>ㄱ은 참입니다. <보기> ㄴ 위 빨간색 부분에서 n = 0일 때 두 자리 자연수 k = 12, 16, …, 96에 대하여 1은 집합 Ak의 원소가 되고 있음을 확인할 수 있습니다. 이때의 m의 값을 함께 적어 두었는데,,, 22개의 집합 Ak에 대해서 m이 다른 값을 가지면 이 집합에는 1이 아닌 다른 원소가 있게 되는 것이지요... n = 1일 때는 22개의 집합 Ak에 대하여, n = 0일 때의 m 값이 아닌 다른 m 값을 항상 가질 수 있음을 보여 주고 있고,,, 이는 n = 2, 3, …일 때도 마찬가지입니다. 어쨌든,,, 두자리 자연수 k에 대하여 1이 집합 Ak의 원소가 되도록 하는 k는 12, 16, …, 96 이렇게 22개 뿐입니다. 따라서 <보기> ㄴ은 참. <보기> ㄱ, ㄴ에서 주기함수 개념을 적용해 보는 것이 보다 일반적인 풀이라고 할 수 있겠는데,,, 아래와 같이 정의역이 자연수의 전체의 집합인 함수 f(m)을 정의하면, 이 함수의 주기는 k가 됩니다. 그렇다면, f(1), f(2), …, f(k)가 모두 집합 Ak의 원소가 될 수 있고, 서로 다른 것의 최대 개수는 k개라고 할 수 있습니다. 따라서, <보기> ㄱ에서 집합 A3의 원소로 가능한 것은 f(1), f(2), f(3) 이외에는 더 없겠고요... <보기> ㄴ에서 집합 Ak의 원소로 가능한 것을 최대로 잡으면 f(1), f(2), …, f(k)가 됩니다. <보기> ㄷ n(Ak) = 11을 만족하는 k로는 어떤 것들이 있을까요??? n(Ak) ≤ k (m = 1, 2, 3, …, k)였습니다. 그렇다면, k는 10보다는 큰 수들이겠군요... 어렵습니다. k = 1, 2, 3, 4, 5, … 등을 대입해서 집합 Ak의 원소의 개수에 대한 감을 좀 더 잡아 보아야 겠습니다. k = 1일 때 유효한 m의 값은 1뿐이므로 n(A1)= 1, A1 = { 0 } k = 2일 때 유효한 m의 값은 1, 2이고 A2 = { 0 }, n(A2) = 1 k = 3일 때 유효한 m의 값은 1, 2, 3이고 <보기> ㄱ에서 n(A3) = 3 k = 4일 때 유효한 m의 값은 1, 2, 3, 4이고 대입해보면 sin(0π/4), sin(2π/4), sin(4π/4), sin(6π/4)이므로 n(A4) = 3 k = 5일 때 sin(0π/5), sin(2π/5), sin(4π/5), sin(6π/5), sin(8π/5)이므로 sinx의 그래프에서 n(A5) = 5 k = 6일 때 sin(0π/6), sin(2π/6), sin(4π/6), sin(6π/6), sin(8π/6), sin(10π/6)이므로 sinx의 그래프에서 n(A6) = 3 k = 7일 때 sin(0π/7), sin(2π/7), sin(4π/7), sin(6π/7), sin(8π/7), sin(10π/7), sin(12π/7)이므로 sinx의 그래프에서 n(A7) = 7 k = 8일 때 sin(0π/8), sin(2π/8), sin(4π/8), sin(6π/8), sin(8π/8), …이므로 n(A8) = 9 k = 9일 때 sin(0π/9), sin(2π/9), sin(4π/9), sin(6π/9), sin(8π/9), sin(10π/9)…이므로 n(A9) = 9 ……… 흠~~~ 3이상의 k에 대하여, 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정k각형의 k개의 꼭짓점을 m = 1일 때 (1, 0)에서 시작하여 시계반대방향으로 2π/k씩 회전할 때마다 꼭짓점을 찍어 주면, m번째 꼭짓점의 높이가 사인값인 f(m)이군요... 따라서 <보기> ㄷ은 거짓. 이상에서, 정답은 오지선다형 ②번 오답률 4위(75.5%) 18번 문제 그림 R1에서는 초기값 S1을 구하는 과정을 보여 주고 있고, 그림 R2에서는 무한등비급수의 합 공식에서 요구되는 공비 r을 구하는 과정을 보여 주고 있습니다. 빨간색 평행사변형은 대각선이 각의 이등분선이 되고 있으므로 마름모가 됩니다. 이를 이용하면 닮은 두 등변사다리꼴의 길이의 비를 구할 수 있지요... 다른 풀이입니다. 아래는 EBSi의 풀이에 있는 아이디어의 핵심을 알기 쉽게 해설해 놓은 것입니다. 보라색에서 피타고라스의 정리를,,, 주황색, 핑크색에서 닮음에 주목한 풀이입니다. 오답률 5위(75.3%) 28번 문제 아래 애니메이션에서 알 수 있듯이 세 선분 OC, CA, AB의 길이가 같게 되도록 a, k의 값을 먼저 확정합니다. 그 다음은 별거 없습니다. 기본적으로 로그와 지수의 연산에 익숙해야겠습니다. 오답률 6위(73.8%) 19번 문제 원 C의 반지름의 길이가 일단 얻어지고,,, 원주각의 성질에 의해 중심각 BOC가 120°이므로 변 BC의 길이 7도 쉽게 얻어지네요... 원주각의 성질 대신에 사인법칙을 이용해도 되겠고... 원 위의 점 P에 대하여 빨간색 이등변삼각형 PAC의 넓이가 최대이다 싶은데,,, 그 다음이 여러 생각을 하게 하네요... 아직 변 AB의 길이 3을 적용하지 않고 있습니다만, 삼각형 ABC가 하나로 결정되지도 않고 있고... 이등변삼각형 OAB의 모양과 크기가 SSS로 결정되어 있으므로 꼭지각 O의 코사인 값을 구할 수 있고, 그렇다면, 이등변삼각형 OAC가 SAS로 결정되므로 밑변 AC, 높이 OM, PM 등을 알아 낼 수 있지요... 이 방향으로 밀고 나가 보겠습니다. 도중에 코사인의 덧셈정리와 코사인의 반각공식, 사인의 반각공식이 모두 사용되었습니다. 어쨌든, 정답은 오지선다형 ①번 다른 풀이입니다... 앞 풀이는 이등변삼각형 OAB가 SSS로 결정되는데 착안하여 꼭지각 AOB의 코사인 값을 코사인 제2법칙으로 알아 내는 데까지는 좋으나, 이로부터 중심각 AOC의 코사인 값, 중심각 AOC의 절반의 코사인 값 및 사인값 등을 얻는 처리가 계속해서 요청되는 풀이인지라 계산량이 많습니다... 사실,,, 미리 예상되고 있었지요... 비록 삼각형 ABC가 결정조건을 충족하지는 않고 있지만 헉!!! 외접원의 크기와 상관없이 ASS 조건만으로 삼각형이 결정되고 있습니다. 한 변의 길이가 3인 정삼각형을 그려서 따져보니 다른 한 변의 길이가 3보다 작은 경우는 결정되지 않지만 7처럼 3보다 큰 경우는 결정되어 버리는 군요... 흠~~~ 그리고,,, 세 변의 길이가 3, 7, 8인 삼각형에서 길이가 3, 8인 두 변이 이루는 각의 크기가 60°라는 사실도 재미있군요... 마무리하겠습니다. 82 > 72 + 32 이므로 삼각형 ABC는 내각 B가 둔각인 둔각삼각형이죠... 어쨌든, 외접원 위의 점 P에 대하여 삼각형 PAB의 넓이가 최대가 될 때는 점 P가 변 AC의 수직이등분선과 원이 만나는 두 점 중 변 AC의 중점 M에서 멀리 떨어져 있을 때입니다. 외접원의 중심을 O라 두고 피타고라스의 정리로 OM의 길이를 구하면 넓이가 최대가 되는 이 이등변삼각형 PAB의 높이가 반지름의 길이 + OM의 길이가 되므로, 오답률 7위(72.9%) 27번 문제 처음에 원의 방정식과 판별식으로 접근하면서 조금 혼란스러웠는데,,, 곧바로 방향 선회해서 아래와 같이 가볍게 처리했습니다. 음함수 미분법으로는 쉽게 되지 않겠나 싶어,,, 덧붙여 봅니다... 되었네요. 파란색, 보라색 두 식을 연립해서 풀면 됩니다. 중심이 (an, bn)인 원의 방정식에서 반지름의 길이로는 중심에서 (1, 0)까지의 거리를 곧바로 적용한 후, 음함수 미분하여 접점 (n, n)에서 접선의 기울기 y' = 1을 적용하여 파란색 식을 얻고, 계속해서 (n, n)이 원 위의 점임을 적용해서 보라색 식을 얻습니다. 오답률 8위(67.0%) 20번 문제 함수의 개수에 관한 완성형 문제인데,,, 함부로 일반화하는 것을 피해야 하면서도, 복잡한 상황을 계통별로 나누는 체계적인 사고가 필요하고 나아가 여러가지 순열과 조합, 그리고 곱의 법칙, 여사건 등을 적절히 구사하는 힘이 있어야 하는 문제입니다. 아주 괜찮은 문제이다 싶어요... 오답률 9위(52.8%) 15번 문제 조건 (가), (나)로부터 아래와 같이 이항분리하면 ∑총합에서 한 항씩 계속 소거되는 망원급수의 꼴로 식변형이 가능하다는 발상(發想)을 할 수 있어야 겠습니다. 그 다음은 일사천리... 마무리하면, 정답은 오지선다형 ⑤번 오답률 10위(49.2%) 17번 문제 그런데, 공비 r가 1인 경우는 합의 공식을 사용할 수가 없지요... 파란색 식에서 4a = 45 ⇒ a = 45/4이고, 보라색 식에서 6a = 189 ⇒ a = 63/2으로 모순입니다. 따라서 공비 r은 2이고, 파란색 식에서 15a = 45이므로 a = 3이 됩니다. 보라색 식쪽에서 검산해보면 189 = 63a에서 a = 3. 이상에서,,, a3 = ar2 = 12이고 정답은 오지선다형 ①번 1이 아닌 공비 r을 구하는 과정은 아래와 같이 먼저 인수분해할 수도... 이상입니다... 수능 기출문제의 풀이 및 해설 링크 모음... 아래는 최근 수능 수학 가형 30번, 29번, 21번 등 고난도 기출문제의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다. 그리고, 최근 출제 경향에 맞추어서 오답률 베스트 5, 10 문제도 조금씩 소개하고 있습니다. [오답률 베스트 5] 2020학년도 대학수능 수학 가형 기출문제의 풀이 및 해설 [오답률 베스트 5] 2019학년도 대학수능 수학 가형 기출문제의 풀이 및 해설 [수능29번] 2019학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2019학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2014학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2014학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2013학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수지수학학원 진산서당] 2013학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2012학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2012학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 대학 수능 고난도 킬러 문제, 수능 30번, 수능 29번, 그리고 수능 21번... 그리고 오답률 베스트 5, 수학1등급. 수지수학학원 진산서당 블로그 대학수능 카테고리에서는 이들 고난도 문제에 대한 다양한 풀이와 쉬운 해설을 계속하여 포스팅하고 있습니다. 대학 수능 기출문제 뿐만아니라, 평가원 모의평가고사, 교육청이 주관하는 전국연합 학력평가고사도 다루고 있습니다. (링크 클릭) 함께 참조하십시오. 수학의 힘 ! 용인수지 수학학원 진산서당(☏031-276-5536) |