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2019년 4월 10일 수요일 치른 경기도교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 나형(문과) 오답률 베스트 5 기출 문항에 대한 풀이 및 해설입니다. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 오답률이 가장 높은 문제부터 다섯 문항만을 문제의 해석과 풀이 방향 중심으로 해설하겠습니다. 먼저, 오답률 1위(95.8%) 30번 문제의 풀이 및 해설 유리함수의 그래프에 관한 문제입니다. 조건 (나)부터... 아래 애니메이션에서 움직이고 있는 파란색 직선과 고정된 검은색 유리함수의 그래프가 제4사분면에서는 만나지 말아야 합니다. 직선 f(x) = ax + b (a≠0) 의 기울기 a 가 양수일 때, 음수일 때로 나누어서 생각해 봅니다. 검은색 유리함수의 x 절편을 계산하면 5/3 x = 5/3 일 때 일차함수 f(x) 의 y 값이 음수가 아니면 제4사분면에서 만날 일이 없지요... (※ 아래 덧붙이는 글 참조) 다음, 조건 (가) ... 함수 g(x) 역시 간단한 유리함수입니다. 두 점근선을 구할수 있겠고요... y = 3 은 고정된 검은색 유리함수의 점근선과 일치하고, 다른 점근선 x = m 만 a, b 의 값에 따라 움직입니다. 간단한 유리함수의 기본형이 아래와 같죠... 두 점근선을 기준으로 k > 0 일 때 즉, a > 0 일 때 위 그림에서 ①,③ 영역에 보라색 그래프가 위치하고, k < 0 일 때 즉, a < 0 일 때 ②, ④ 영역에 보라색 그래프가 위치합니다. 따라서 x > 0 일 때 1 < g(x) < 3 조건을 만족시키려면, 일단은 a < 0 여야만 보라색 g(x) 그래프의 ④ 영역이 보라색 직사각형 안으로 들어오게 할 수 있습니다. 움직이는 보라색 점근선이 x = 2-b / a 입니다. 실수 전체의 범위에서 움직인다고 했을 때, 결국 ④ 영역에 있는 보라색 그래프의 y 절편이 1과 3 사이의 값을 가지면 조건 (나)가 충족됨을 알 수 있습니다. x > 0 일 때 1 < g(x) < 3 조건을 충족하면 되므로 y 절편이 1이어도 무방합니다. 위 애니메이션에서, (0, 1), (0, 3) 사이에 잠깐 보이는 빨간색 점이 이 상황을 보여 주고 있습니다. 이상에서 ... 순서쌍 (a, b) 는 아래 부등식을 동시에 만족하는 점들입니다. 좌표평면 위에 이 부등식의 영역 R 을 그린 후 a2 + b2 의 최댓값을 구하여 마무리하겠습니다. 조건 (나)의 부등식의 영역은 직선 위쪽(경계포함)이겠고,,, 조건 (가)의 부등식의 영역은... 분수부등식인데, 이 풀이를 고교 과정에서 제대로 배우지 않지만 해결할 수 있어야 겠습니다. 별거 없네요... b < 2 일 때이므로, 분모 음수. 따라서 b ≤ 3/2
따라서 순서쌍 (a, b) 의 존재 영역 R 은 아래 그림에서 네모친 세 부등식을 모두 만족하는 빨간색 부분이고, 이때 a2 + b2 의 최댓값 M 의 값은 306/100 따라서 정답 100M = 306 다음, 오답률 2위(88.8%) 28번 문제의 풀이 및 해설 가로 방향으로 이동한 길이의 합이 4이고 선분 AB의 길이도 4이므로, 왼쪽으로 이동해서는 안됩니다. 그렇다면, 전체 이동한 길이가 12이므로 세로 방향으로 이동한 길이의 합은 8. 세로 선분의 길이의 총합이 10이므로 2개의 세로 선분을 제외하고는 모두 통과해야 합니다. 아무거나 두 세로 선분을 제거할 수는 없지요... 그 다음이 어렵네요... 첫 번째로 통과할 가로 선분이 첫째 열에 있는 세 가로 선분 중 어느 걸로 할까? 라고 생각해보면, 세 경우별로 따로따로 조사할 수 있다 싶습니다. 가령, 아래 애니메이션에서 보듯이, 첫 번째로 통과한 가로 선분이 (0,0), (1,0)을 연결한 선분이라면 2개의 세로 선분을 통과하지 않았으므로 남은 세로 선분 모두를 통과해야 합니다. 한 가지 경우뿐이지요... 첫 번째로 통과한 세로 선분이 (0,1), (1,1)을 연결한 선분이라면,,, (1,1)에서 위로 갈까, 아래로 갈까, 오른쪽으로 갈까라고 생각해보면 이후 경로가 결정됩니다. 위로 가는 경우: 두 세로 선분을 통과 못했으므로 이후 경로는 한 가지로 결정되고, 아래로 가는 경우도 두 세로 선분을 통과 못했으므로 이후 모든 세로 선분을 통과해야 하지만, 점 B에 먼저 도착한 후에 두 세로 선분을 더 통과해야 하는 상황이므로 실패입니다. 오른쪽으로 가는 경우는 이미 세 세로 선분을 통과 못했으므로 실패. 아래 애니메이션입니다. 첫 번째로 통과한 세로 선분이 (0,2), (1,2)를 연결한 선분이라면,,, (1,2)에서 오른쪽으로 가면 아래쪽 두 세로 선분만을 통과하지 않은 상황이고 이후 남은 경로는 한 가지로 결정되며, (1,2)에서 아래 (1,1)로 이동했다면, 여기서 오른쪽으로 갈까, 아래로 갈까??? 이후를 일일이 조사해 보아야 하는군요... 몇 개 안된다 싶습니다. 지금까지 성공이 모두 몇 건이죠? 1 + 1 + 2 = 4 계속하여 아래로 내려온 경우입니다. 이상에서 모두 아홉 가지입니다. 정답. 다른 풀이입니다. 위험하기는 위 풀이도 마찬가지이지만, EBSi에 깔끔한 풀이가 있어서 소개합니다. (i) 길이가 2인 세로 방향의 도로 4개를 지나고 남은 세로 방향의 한 도로는 전혀 지나지 않는 경우로 5C4 해서 다섯 가지 경우가 있고, (ii) 길이가 2인 세로 방향의 도로 3개를 지나고 남은 두 세로 방향의 도로는 각각 길이 1씩만 통과하는 경우로 이때는 가로 방향의 가운데에 있는 길이 1인 네 개의 도로 중 어느 하나 만을 통과하게 되므로 4C1 해서 네 가지 경우가 있습니다. 따라서 모든 경우의 수는 5 + 4 = 9 다음, 오답률 3위(82.9%) 29번 문제의 풀이 및 해설 a, b, c 모두 짝수가 되기 위해서는 a, b, c 는 5개의 2 중에서 적어도 1개의 인수 2를 가지면 되고, 5는 가지지 않아도 상관없습니다. 중복조합 문제입니다. a, b, c 각각이 인수 2를 x, y, z 개씩 가졌다고 하면, a, b, c 가 2를 나누어 가지는 경우의 수는 아래 부정방정식의 음이 아닌 정수해의 개수와 같습니다. x' + y' + z' = 2 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) (단, x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1) 이 해의 개수는 x', y', z' 에서 중복 허용하여 2개를 뽑는 경우의 수와 같으므로 3H2 = 4C2 = 6 따라서 a, b, c 가 2를 나누어 가지는 경우의 수는 6가지. 다음, a, b, c 각각이 인수 5를 u, v, w 개씩 가졌다고 하면, a, b, c 가 5를 나누어 가지는 경우의 수는 아래 부정방정식의 음이 아닌 정수해의 개수와 같습니다. u + v + w = 5 (u ≥ 0, v ≥ 0, w ≥ 0) 이 해의 개수는 u, v, w 에서 중복 허용하여 5개를 뽑는 경우의 수와 같으므로 3H5 = 7C2 = 21 따라서 순서쌍 (a, b, c) 의 개수는 곱의 법칙에 의해 6 × 21 = 126 음이 아닌 정수해의 개수를 중복조합으로 구하는데 대해서는 아래 그림을 참조하십시오. 실력 정석 확률과 통계의 조합 단원에 있는 해당 페이지를 그대로 찍어 올립니다. 다음, 오답률 4위(72.9%) 21번 문제의 풀이 및 해설 f(x) 는 등비수열의 극한으로 정의된 함수입니다. 등비수열의 수렴과 발산 개념으로 이 함수를 먼저 정리합니다. 상수 k 가 양수죠... 절댓값 풀어서 정리합니다. 여기까지는 기본 개념이므로 처리할 수 있어야 겠고, 이 다음부터가 많이 흔들립니다... 함수의 연속성 개념은 빤하므로 별거 아니고요,,, 합성함수와 함수의 범위별 정의가 엮인데서 오는 혼동을 극복할 수 있느냐가 관건입니다. x = k 일 때 g(x) = (f o f)(x) 라고 하였습니다. 양수 k 에 대하여 항상 k < 1 + k 이고, k > 1/2 일 때는 2k > 1 ⇔ k > 1 - k k < 1/2 일 때는 2k < 1 ⇔ k < 1 - k 임을 생각하면, f(k) 와 g(k) 를 아래와 같이 쓸 수 있겠고... 경우를 더 나누어야 하나요? 이 정도로 해놓고, 함수 g(x) 의 연속성을 생각합니다. 함수 g(x) 가 x ≠ k 일 때는 이차함수이므로 연속입니다. 따라서 실수 전체의 집합에서 함수 g(x) 가 연속이기 위해서는 x = k 에서 연속인 것으로 충분합니다. x → k 일 때 g(x) → 0 이므로 g(k) = 0 이어야 합니다. k > 1/2 인 경우 g(k) = f(-1) 이 0이 되기 위해서는 -1 = 1 ± k 를 충족해야 하므로 k = 2 이면 됩니다. k = 1/2 인 경우 g(k) = f(0) 이 0이 되기 위해서는 0 = 1 ± k 를 충족해야 하는데 이는 모순... k < 1/2 인 경우 g(k) = f(1) 이 0이 되기 위해서는 1 = 1 ± k 를 충족해야 하는데 k > 0 이므로 이도 모순... 이상에서 함수 g(x) 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되는 상수 k 값은 2뿐입니다. 마무리하겠습니다. k = 2 일 때의 f(x) 와 g(x) 가 아래와 같으므로 ∴ (g o f)(k) = g(f(2)) = g(-1) = 9 따라서 정답은 오지선다형 ⑤번. 재미있는 문제로군요... 마지막으로, 오답률 5위(55.3%) 19번 문제의 풀이 및 해설 간단한 유리함수와 무리함수의 그래프를 엮어 놓은 문제입니다. 아래 그림... 모두 참입니다. 따라서 정답은 오지선다형 ⑤번.
[오답률 베스트 5] 2019학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설 [수능30번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2018학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2018학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2017학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 A형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2016학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 28번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2015학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2014학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2013학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2012학년도 대학수능 수학 나형 21번, 28번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 대학 수능 고난도 킬러 문제, 수능 30번, 수능 29번, 그리고 수능 21번... 그리고 오답률 베스트 5. 수지수학학원 진산서당 블로그 대학수능 카테고리에서는 이들 고난도 문제에 대한 다양한 풀이와 쉬운 해설을 계속하여 포스팅하고 있습니다. 대학 수능 기출문제 뿐만아니라, 평가원 모의평가고사, 교육청이 주관하는 전국연합 학력평가고사도 다루고 있습니다. (링크 클릭) 참조하십시오.
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2019년 4월 10일 수요일 치른 경기도교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 가형(이과) 오답률 베스트 5 문항에 대한 풀이 및 해설입니다. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 1등급컷 92점, 2등급컷 84점, 3등급컷 73점 이 포스팅에서는 오답률 베스트 5인 5개 문항만 풀이 및 해설하도록 하겠습니다. 문제번호 순서가 오답률이 낮은 순서네요.
먼저, 오답률 5위(65.1%) 20번 문제의 풀이 및 해설 <보기> ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 전혀 다른 개념을 확인하고 있다능... 먼저, <보기> ㄱ입니다. 아래 애니메이션에서처럼 원밖의 점 P(t, 4)에서 원에 그은 접선의 기울기를 m 으로 두고 원과 직선의 위치관계 개념으로 접근하였습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식과 이차방정식의 근과 계수의 관계로 두 접선의 기울기의 곱 함수 f(t) 를 구할 수 있지요... 계산하면 <보기> ㄱ은 참. (√2, 4)에서 그은 두 접선은 직교하는 군요. 다음, <보기> ㄴ 불연속함수입니다. 열린 구간 (-3, 3)에서 볼록관계... 실전에서 그림으로는 잘 안집히지요... 아래와 같이 미분합니다. 따라서 <보기> ㄴ은 참. 다음, <보기> ㄷ 주황색/보라색 방정식의 실근의 개수가 2개인지를 확인하는 문제입니다. 좌변 분수함수와 우변 지수함수의 교점의 개수가 되겠는데요... 두 그래프를 함께 그려 보아야 겠습니다. 만나는 곳은 빨간색 화살표 있는 곳 하나 뿐입니다. 따라서 <보기> ㄷ은 거짓. 이상에서 정답은 오지선다형 ③번 다음, 오답률 4위(72.4%) 21번 문제의 풀이 및 해설 자연수 n 에 대하여 열린 구간 (3n - 3, 3n)에서 이 함수가 극대 또는 극소가 되는 모든 x 값의 합이 an 그리고 ... 일단, 미분해 보아야 겠죠? 이 x 값들이 α 의 후보들이겠는데,,, 구간 간격이 3인 열린 구간 (3n - 3, 3n)에서 자연수 1, 2, 3, … 각각에 대하여 구간별로 함수 f(x) 가 극대 또는 극소가 되는 α 를 얻어서 더하여 a1, a2, a3, … 등을 계산해야 겠습니다. 한 번 더 미분하여 변곡 가능성을 확인해 볼까요? 위 α 의 후보들 중에 f''(x) = 0 이 되는 것이 없으면 모두 극점인데,,, 이 확인이 간단치 않습니다. 그렇다면, 결국 각 구간별로 일일이 증감(f'(x) 의 부호)를 확인해 보아야 합니다. 2n > 3n - 3 에서 n = 1, 2 뿐이라는 생각을 하거나, 처음 몇 개 구간의 정수점과 무리수점을 함께 찍어 나가다 보면 조사량이 그리 많지 않습니다. 아래 애니메이션의 주황색 그래프를 실전에서 그리는 것은 아니지요... 그냥 f'(x) 의 부호를 살피라고 그려 둔 것입니다. 위 α 의 후보들이 모두 극점임을 알 수 있습니다. 파란색 각 구간에 속하는 α 의 후보들을 찾아서 모두 더해 보면, n = 3 일 때부터, 정수점이 없어지면서 합 an 의 코사인 값은 0이 됩니다. 따라서 자연수 n 의 최솟값 l = 3. 여기까지 오면 그 다음은 별거 없습니다. 이상에서 정답은 오지선다형 ① 번 다음, 오답률 3위(83.1%) 28번 문제의 풀이 및 해설 A열에 할아버지, 할머니의 자리를 먼저 잡는다고 생각해보면, 두 분이 바꾸어 앉는 경우까지 고려하여 모두 여덟가지 경우가 있습니다. B열에 앉는 아이의 바로 앞 좌석은 비어 있어야 하므로 위 애니메이션에서 보듯이, 할아버지, 할머니가 자리를 잡는 각각의 경우마다 아이가 자리를 잡는 방법은 세 가지씩 있습니다. 그리고 아이의 바로 옆 자리에 엄마, 아빠 두 분중에서 한 분은 반드시 앉아야 겠는데,,, 아이가 B1에 앉는 경우는 그 오른쪽에, 아이가 B5에 앉는 경우는 그 왼쪽에 두 분 중 한 분이 앉아야 겠고, 아이가 B2, B3, B4에 앉는 경우는 그 좌,우에 두 분 중 적어도 한 분은 앉으셔야 합니다. ① 아이가 B1 또는 B5에 앉는 경우 바로 옆에 엄마, 아빠 중 한 분이 앉고, 남은 세 빈 자리 중 한 곳에 다른 한 분이 앉으면 되므로, 각 경우마다 2 × 3 = 6 해서 여섯 가지씩 있고, ② 아이가 B2, B3, 또는 B4에 앉는 경우 아이 왼쪽에 엄마, 아빠 중 한 분이 앉고, 남은 세 빈 자리 중 한 곳에 다른 한 분이 앉는다고 생각하면 마찬가지로 여섯 가지씩 있고, 아이 오른쪽에 엄마, 아빠 중 한 분이 앉는 경우도 마찬가지로 여섯 가지씩 있는데, 해서 각 경우마다 12가지씩? 아니죠 중복이 있지요. 아이 좌우에 엄마, 아빠 모두 앉은 경우는 중복입니다. 중복을 제외하면 아이가 B2, B3, 또는 B4에 앉는 경우마다 엄마, 아빠가 앉는 경우의 수는 10가지가 됩니다. 이제, 이상을 엮어 보겠습니다. A열의 할아버지, 할머니가 왼쪽 가장자리에 위치할 때 아이는 B3, B4, B5 중 한 곳에 앉게 되므로 2! × (② + ② + ①) = 2(10+10+6) = 52 A열의 할아버지, 할머니가 오른쪽 가장자리에 위치할 때 아이는 B1, B2, B3 중 곳에 앉게 되므로 마찬가지로 52가지. A열의 할아버지, 할머니가 가운데 A2, A3에 위치할 때 아이는 B1, B4, B5 중 한 곳에 앉게 되므로 2! × (① + ② + ①) = 2(6+10+6) = 44 A열의 할아버지, 할머니가 가운데 A3, A4에 위치할 때 아이는 B1, B2, B5 중 한 곳에 앉게 되므로 마찬가지로 44가지 이상에서, 5명이 모두 좌석에 앉는 경우의 수는 52 + 52 + 44 + 44 = 192 정답 192 다음, 오답률 2위(88.9%) 29번 문제의 풀이 및 해설 탄젠트의 덧셈정리. 탄젠트의 배각 공식을 제대로 적용하면 되는 아주 쉬운 문제인데,,, 오답률이 너무 높습니다. 많이들 포기했다 싶어요. 아래 수식.... 정답은 11입니다. 마지막으로, 오답률 1위(92.8%) 30번 문제의 풀이 및 해설 함수 g(x) 는 x = α, -1, β (α < -1 < β) 에서만 극값을 갖는다고 하였습니다. 그렇다면, x = α, -1, β (α < -1 < β) 세 곳에서는 일단은 f(x) = 0 또는 f'(x) = 0 이겠는데... 원점을 지나고 오른쪽 위로 올라 가는 삼차함수의 그래프를 생각합니다. ① 삼차방정식 f(x) = 0 이 서로 다른 세 실근을 가진다면, 삼차함수 f(x) 는 세 x 절편 사이에서 반드시 극대와 극소가 존재하므로 g'(x) = 0 을 만족하는 서로 다른 x 값은 5개입니다. 그리고 위 빨간색 식 g'(x) 를 살피면 이 5개의 서로 다른 x 값 좌우에서 g'(x) 의 부호는 명백히 바뀝니다. 그렇다면, 극점이 5개가 되므로 조건 위반. 따라서 삼차방정식 f(x) = 0 의 서로 다른 실근의 개수는 1개 또는 2개. ② 삼차방정식 f(x) = 0 이 오직 한 개의 실근을 가지는 경우 이차방정식 f'(x) = 0 은 반드시 서로 다른 두 실근을 가져야 만이 방정식 g'(x) = 0 은 서로 다른 세 실근을 가질 수 있습니다. f(0) = 0 에서 x = 0 이 오직 하나의 실근에 해당하므로, 조건 x = α, -1, β (α < -1 < β) 을 충족하기 위해서는 f'(α) = 0, f'(-1) = 0, β = 0 이고, 두 극값이 모두 음수여야 겠습니다. f'(-1) = 3 - 2a + b = 0 에서 b = 2a - 3 f'(x) = 3x2 + 2ax + 2a - 3 = (x + 1)(3x - 3 + 2a) α = 3-2a / 3 < -1 에서 a > 3 x = α 에서 극대이고, x = -1 에서 극소이므로 극댓값 f(α) < 0 이면 두 극값 모두 음수. 헉... 이 계산은 부담스럽네요. 그렇다면, 아래에서 보라색 이차식이 0이 될 수 없으면 극댓값이 음수가 되는 것과 동치이므로... 허근... 이상에서, 3 < a < 6 를 만족하는 정수 a 값은 4와 5 두 개가 됩니다. 따라서 (a, b) = (4, 5), (5, 7) 에 해당하는 두 개의 삼차함수 f(x) 를 얻었고요... ③ 삼차방정식 f(x) = 0 이 서로 다른 두 실근만을 가지는 경우 삼차함수 f(x) 는 극점을 가지며, 두 극점 중의 어느 하나가 x 축 위에 있어야 합니다. f(0) = 0 이므로 f'(0) = 0 인 경우와 0이 아닌 경우로 나누어서 살펴 보아야 겠습니다. (i) f'(0) = 0 오른쪽 위로 올라가는 삼차함수의 그래프는 극대가 되는 x 값이 극소가 되는 x 값보다 항상 작습니다. 그렇다면, x = α, -1, β (α < -1 < β) 조건을 충족하기 위해서는 x = 0 = β 에서 극소, x = -1 에서 극대, x = α 가 f(x) = 0 의 다른 한 근이어야 합니다. 따라서 f'(0) = 0, f'(-1) = 0 에서 f'(x) = 3x(x + 1) = 3x2 + 3x = 3x2 + 2ax + b 이므로 a = 3/2, b = 0 그런데, a, b 가 정수라는 조건을 충족하지 않으므로 버려야 겠고... (ii) f'(0) ≠ 0 x = α, -1, β (α < -1 < β) 조건을 충족하기 위해서는 β = 0 이고, x = -1 에서 극소, x = α 에서 극대이면서 극댓값이 0이어야 합니다. f(x) = x(x - α)2, f'(x) = (x - α)2 + 2x(x - α) = (x - α)(3x - α) = 3(x - α)(x + 1) 에서 α = -3 따라서 f(x) = x(x + 3)2 = x3 + 6x2 + 9x 에서 a = 6, b = 9 이상 ①, ②, ③에서 『함수 g(x) 는 x = α, -1, β (α < -1 < β) 에서만 극값을 갖는다』라는 조건을 만족시키는 세 쌍의 삼차함수 f(x)를 얻었습니다. (i) f(x) = x3 + 4x2 + 5x (ii) f(x) = x3 + 5x2 + 7x (iii) f(x) = x3 + 6x2 + 9x 계속하여, 이 세 함수 f(x) 를 가지고 함수 y = | g(x) - g(α) | 가 미분가능하지 않은 점의 개수가 2라는 조건을 살펴볼 차례입니다. (i) f(x) = x3 + 4x2 + 5x 삼차방정식 f(x) = 0 이 오직 한 개의 실근을 가지는 경우였죠... f'(x) = 3x2 + 8x + 5 = (x + 1)(3x + 5) 이고 그래프의 개형은 아래 그림에서 파란색과 같이 되겠고요... 이를 가지고 주황색 함수 g(x) 의 그래프를 그릴 수 있어야 겠습니다. 함수 g(x) 는 x = α, -1, β (α < -1 < β) 에서만 극값을 가지므로 이 세 값의 좌우에서 g'(x) 의 부호 변화를 추적할 수 있어야 겠습니다. 그냥 단순하게 x → ∞ 일 때 f(x) → ∞ 이므로 g(x) → ∞ 임을 생각하여, 아래 그림과 같이 극소, 극대, 극소 순서가 되겠구나 라고 간주해 주어도 됩니다. 다음, 함수 y = | g(x) - g(α) | 의 미분 가능성에 대하여... 주황색 함수 g(x) 를 아래쪽으로 g(α) 만큼 내렸을 때, x 축과 만나는 곳에서 접선의 기울기가 0이 아니라면 절댓값 기호에 의하여 꺾여 올라갈 때 미분 불가능이 됩니다. 그러기 위해서는 두 극솟값 g(0) 와 g(α) 의 값을 먼저 비교해 보아야 겠습니다. f(0) = 0 이므로 g(0) = 1 입니다. g(α) 를 계산하여 g(0) 와 비교하면 f(α)=f(-5/3) = -125/27 + 100/9 - 25/3 = -50/27 g(α) = ef(α) - f(α) = e-50/27 + 50/27 > g(0) 따라서 주황색 함수 g(x) 를 g(α) 만큼 내리면 위 빨간색과 같이 되고, 함수 y = | g(x) - g(α) | 는 위 빨간색 두 점에서 꺾이게 되죠... 미분가능하지 않은 점의 개수가 2개인 것이지요. 이때, {f(-1)}2 = (-1 + 4 - 5)2 = 4 (ii) f(x) = x3 + 5x2 + 7x (i) 과 마찬가지로 삼차방정식 f(x) = 0 이 오직 한 개의 실근을 가지는 경우입니다. f'(x) = 3x2 + 10x + 7 = (x + 1)(3x + 7) f(α)=f(-7/3) = -343/27 + 245/9 - 49/3 = -49/27 g(α) = ef(α) - f(α) = e-49/27 + 49/27 > g(0)=1 두 극솟값을 비교해보면 (i) 과 마찬가지 상황입니다. 그렇다면, 미분가능하지 않은 점의 개수도 마찬가지로 2개. 이때, {f(-1)}2 = (-1 + 5 - 7)2 = 9 (iii) f(x) = x3 + 6x2 + 9x = x(x+3)2 삼차방정식 f(x) = 0 이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우로, f'(0) ≠ 0, f'(-3) = 0, f(-3) = 0 입니다. 이때, 아래에서 보듯이 빨간색 함수 y = | g(x) - g(α) | 는 실수 전체의 집합에서 미분가능합니다. 따라서 조건 위반. 이상에서, 두 조건을 모두 만족하는 함수는 두 개뿐이며, 이때 {f(-1)}2 의 값은 4와 9. 따라서 정답은 이 최댓값인 9입니다.
[오답률베스트5] 2019학년도 대학수능 수학 가형 기출문제의 풀이 및 해설 [수능29번] 2019학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2019학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능21번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 21번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2014학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2014학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2013학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수지수학학원 진산서당] 2013학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능29번] 2012학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2012학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 대학 수능 고난도 킬러 문제, 수능 30번, 수능 29번, 그리고 수능 21번... 그리고 오답률 베스트 5. 수지수학학원 진산서당 블로그 대학수능 카테고리에서는 이들 고난도 문제에 대한 다양한 풀이와 쉬운 해설을 계속하여 포스팅하고 있습니다. 대학 수능 기출문제 뿐만아니라, 평가원 모의평가고사, 교육청이 주관하는 전국연합 학력평가고사도 다루고 있습니다. (링크 클릭) 참조하십시오. |
2018년 4월 11일 수요일 시행된 경기도교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 가형 20번, 21번, 29번, 30번 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 최근 4월 모의고사 수학 가형 고난도 킬러 문항에 대한 풀이 및 해설은 아래 게시글을 참조하십시오. [수능 1등급] 2017년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능 1등급] 2016년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학 1등급] 2015년 4월 고3 학평(경기) 수학 B형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학 1등급] 2014년 4월 고3 학평(경기) 수학 B형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [21번 문제의 풀이 및 해설] 역함수의 미분법에 관한 문제로군요. ㄱ. 역함수의 미분법에 의하여 아래와 같이 참. 역함수 미분법의 증명과 의미에 대해서는 아래 게시글 말미에 있는 TIP 『역함수의 미분에 대하여』를 참조하십시오. [서강대 수리논술] 2017학년도 서강대학교 수시 논술전형 자연계열II 논술고사 기출문제 ㄴ. 역함수의 미분법으로 아래 보라색 식을 얻을 수 있구요... 이 보라색 식의 양변을 부정적분하여 보기 식이 참인지를 확인하기 보다는 아래와 같이 거꾸로 보기 식을 미분하여 보라색 식과 같은지를 확인하는 것이 훨씬 수월합니다. 미분했을 때 사라지는 상수항 관련해서는 x = 2 에서 성립하는지를 확인해 주면 되겠고요... 이상,,, 보기 ㄴ은 참. ㄷ. 지금까지 함수 f(x) 의 정의역인 x 의 범위 3/5 < x < 4 를 전혀 사용하지 않았는데,,, 왜 주어졌죠? 아래 주황색에서 g(1) 의 값을 x 로 두면, 함수 g 가 함수 f 의 역함수이므로 역함수의 일대일 대응 조건에 의하여 x 의 범위는 3/5 < x < 4 를 벗어날 수는 없습니다. 그렇다면, 삼차방정식의 해 x 는 함수 y = h(x) (3/5 < x < 4) 의 x 절편이므로, 미분으로 x 의 범위를 추정할 수 있을 듯 하네요. 삼차함수 h(x) 는 x = -1 에서 극대이고 x = 1 에서 극소입니다. 그렇다면, 3/5 < x < 4 범위에서 함수 h(x) 는 단조 증가하고 있고, 보기의 범위 2 < x < 5/2 도 당연히 이 범위에 포함되므로 단조 증가입니다. 그런데, 아래와 같이 h(2) < 0 이고 h(5/2) > 0 이므로 사이값 정리(☞ 위키백과, 구(舊) 교과에서는 중간값 정리)를 생각하면, 함수 h(x) 는 이 범위에서 x 축과 단 한 번만 만나게 되는군요... 따라서 보기 ㄷ도 참입니다. 이상에서, 정답은 오지선다형 ⑤번이 됩니다. 보기 ㄴ에 있는 보라색 등식의 양변을 부정적분하여 파란색 등식을 이끌어 보겠습니다. 파란색 식을 미분할 때, 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 적용하였습니다. 그렇다면 그 역연산인 보라색 식의 부정적분은 부분적분법과 치환적분법을 적용하게 되겠지요.. 어쨌든, 헉! 부분적분을 해야하는 번잡스러움이 있을 듯하여 앞 풀이에서 피했는데, 위에서와 같이 이항하여 괄호로 묶어 보니 굳이 치환할 필요도 없이 부정적분의 정의 정도로 한 방에 끝나네요... 어려운 문제인데도 오답률 상위 베스트5에 들지 못했군요... 28번(73.7%)과 27번(65.1%) 그리고 객관식 20번(62.8%)이 오답률 베스트5에 들었는데, 이 게시글의 뒷 부분에서 20번 문제를 다루도록 하겠습니다. 그리고, 댓글에서 한 분이 미방(微方, differential equation ☞위키백과)으로 f(x) 를 구해서 알려 주셨길래 이 그래프를 덧붙입니다. 마침 그래프가 없어서 좀 허전했는데,,, 감사합니다. 위 애니메이션에 초록색 직각이등변삼각형을 추가하였습니다. 제가 직선에 대한 대칭을 다룰 때 늘 사용하는 색깔이 초록색이지요... 아래쪽에 합동인 두 직각삼각형의 두 내각의 크기를 표시해 주었습니다. 그 합은 항상 90˚여야 겠죠? 그래야 기울기의 곱이 1이 될테니까요. [29번 문제의 풀이 및 해설] 함수 f 의 정의역의 원소가 1, 2, 3, 4이고 공역의 원소가 1, 2, 3, 4, 5입니다. 함수 f 가 위 조건을 충족하는 경우는 f(1) + f(2) + f(3) 과 f(4) 가 3으로 나눈 나머지가 같을 때입니다. 조사하여 이를 만족시키는 f 가 몇 가지가 될 지 알아 내면 끝... 쉬운 문제네요. 공역의 원소 중에서 3으로 나눈 나머지가 0이 되는 경우는 3뿐이며, 1인 경우는 1, 4 두 개이고, 2인 경우도 2, 5 두 개입니다. f(4) 의 값을 이 세 가지 경우로 나누어서 잡아 주고, 각 경우에 대하여 f(1), f(2), f(3) 의 합이 f(4) 의 경우와 나머지가 같아 지는 경우가 어찌될지 조사해 보겠습니다. ① f(4) = 3 즉, 3으로 나눈 나머지가 0인 경우 f(1), f(2), f(3) 의 합도 3의 배수가 되어야 겠습니다. 합이 3의 배수가 되는 세 수를 적어 보면 아래와 같습니다. 작은 수부터 시작하여 필터링을 해보았는데, 빠진 것이 없나요? 휴~~~ 어렵네요... 좋은 방식이 아닙니다만 (1, 1, 1), (1, 1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 2), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (2, 5, 5), (3, 3, 3), (3, 4, 5), (4, 4, 4), (5, 5, 5) 이제 순열을 생각해 보면, 세 수가 모두 같은 경우 5×1 해서 5 가지. 두 수만이 같은 경우 4×3 해서 12 가지. 세 수가 모두 다른 경우 4×6 해서 24 가지. 이상 41 가지. ② f(4) = 1, 4 즉, 3으로 나눈 나머지가 1인 경우 f(1), f(2), f(3) 의 합도 3으로 나눈 나머지가 1이 되어야 겠습니다. 세 수가 모두 같아서는 안되겠구요... 앞 리스트의 수에 1을 더하거나 2를 빼서 리스트업해보면, (1, 1, 2), (1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 4, 5), (2, 2, 3), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4), (3, 5, 5), (4, 4, 5), 두 수만이 같은 경우 8×3 해서 24 가지. 세 수가 모두 다른 경우 3×6 해서 18 가지. 이상 42 가지에서 f(4) = 1, 4 두가지이므로 84 가지. ③ f(4) = 2, 5 즉, 3으로 나눈 나머지가 2인 경우 f(1), f(2), f(3) 의 합도 3으로 나눈 나머지가 2가 되어야 겠습니다. 마찬가지로 세 수가 모두 같아서는 안되고, ① 번 리스트의 수에 2를 더하거나 1을 빼보면, (1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 5, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 5), (3, 3, 5), (3, 4, 4), (4, 5, 5), 두 수만이 같은 경우 8×3 해서 24 가지. 세 수가 모두 다른 경우 3×6 해서 18 가지. 이상 42 가지에서 f(4) = 2, 5 두가지이므로 84 가지. 이상에서 41, 84, 84 모두 더하면 209가지 아시겠지만 위와 같은 풀이는 대단히 위험합니다. 다른 방식을 생각해 보아야 겠습니다. 다른 풀이입니다. 이 풀이는 성급하게 조사에 돌입하기 전에 조사를 최소화하기 위해서 약간의 사전 정지 작업을 한 것인데, 이런 문제를 풀기 전에 꼭 염두에 두었으면 좋겠습니다. 함수 f 가 주어진 조건을 충족하기 위해서는 f(1), f(2), f(3) 의 합을 3으로 나눈 나머지와 f(4) 의 값을 3으로 나눈 나머지가 같을 때라는 것은 앞에서 언급하였구요... 여기서, 조사에 들어 가기 전에, f(1), f(2), f(3) 의 합을 3으로 나눈 나머지가 0인 경우의 수를 A 가지, f(1), f(2), f(3) 의 합을 3으로 나눈 나머지가 1인 경우의 수를 B 가지, f(1), f(2), f(3) 의 합을 3으로 나눈 나머지가 2인 경우의 수를 C 가지로 두는 것이지요. 그렇다면, 공역의 원소가 1, 2, 3, 4, 5 다섯 가지이므로 A, B, C의 합은 정의역이 {1, 2, 3}일 때의 함수의 개수에 해당하므로 5×5×5 해서 125가 됨을 미리 알 수 있습니다. 이와 같은 이중 조사 방식을 더블 카운팅이라고 부르는데, 조합, 경우의 수를 찾기 위한 좋은 안전 장치이자 효과적인 접근법이 되는데요,,, 관련하여 아래 짤막한 문서를 일독하시기를 권합니다. 한편, f(4) 가 가질 수 있는 값이 1, 2, 3, 4, 5 다섯 가지인데, f(4) = 3 인 경우 f(1), f(2), f(3) 의 합을 3으로 나눈 나머지가 0일 때 문제의 조건을 만족합니다. 따라서 f(4) = 3 일 때 문제의 조건을 만족하는 함수 f 의 개수는 A 개가 되고, 마찬가지로 생각하면 f(4) = 1 또는 f(4) = 4 일 때 각각 B개, f(4) = 2 또는 f(4) = 5 일 때 각각 C개이므로, 문제의 조건을 만족하는 함수 f 의 개수는 A + 2B + 2C가 됩니다. A, B, C의 합이 125이므로, 결국 A의 값만 조사해 주면 되는 것이지요. 앞 풀이에서 A의 값이 41이었지요? 250-41=209 맞네요... f(1), f(2), f(3) 의 합이 3의 배수가 되는 경우의 수를 얻기 위해서 앞선 풀이에서는 작은 수 1부터 시작하여 5까지 샅샅이 훑어서 세 수의 묶음을 먼저 얻은 후 그 다음에 순열을 생각하였는데요, 여기서는 다른 방법을 생각해볼까 합니다. 나머지가 0이 되는 조합만을 생각하면, (0, 0, 0), (0, 1, 2), (1, 1, 1), (2, 2, 2) 해서 네 가지가 있으므로, ① (0, 0, 0)는 (3, 3, 3) 1가지뿐이며, ② (0, 1, 2)는 {3}, {1, 4}, {2, 5}에서 세 수가 모두 다를 때이므로 1×2×2×3! 해서 24가지이며, (rf) (3, 1, 2), (3, 1, 5), (3, 4, 2), (3, 4, 5) ③ (1, 1, 1)는 {1, 4}, {1, 4}, {1, 4} 세 집합에서 하나씩 뽑으면 되므로 2×2×2 해서 8가지이며, ④ (2, 2, 2)는 {2, 5}에서 3개를 뽑는 중복순열의 수라 생각해도 마찬가지이죠... 2^3 해서 8가지. 따라서 1, 24, 8, 8 모두 더하면 A는 41이 됩니다. 다른 풀이입니다. EBS에 있는 풀이를 읽기 좋게 바꾸어서 적습니다. 공역 Y에 있는 원소들을 3으로 나누었을 때 나머지가 같은 수들을 원소로 하는 공역 Y의 부분집합은 {3}, {1, 4}, {2, 5} 세 개이고, ① f(4) = 3 인 경우는 f(1), f(2), f(3) 의 합이 3의 배수가 되도록 세 부분집합 {3}, {1, 4}, {2, 5} 에서 뽑아 주면 되는데, 1. 세 집합 모두에서 한 개씩 뽑는 경우 1×2×2×3! 해서 24가지. 2. {1, 4}에서만 세 개를 뽑는 경우 2^3 해서 8가지. 3. {2, 5}에서만 세 개를 뽑는 경우 2^3 해서 8가지. 4. {3}에서만 세 개를 뽑는 경우 1가지. 해서 모두 41가지가 되구요. ② f(4) = 1 또는 f(4) = 4 인 경우는 f(1), f(2), f(3) 의 합을 3으로 나눈 나머지가 1이 되도록 세 부분집합 {3}, {1, 4}, {2, 5} 에서 뽑는 경우이지요. 1. {3}에서 두 개, {1, 4}에서 한 개를 뽑는 경우 3×2 해서 6가지. 2. {3}에서 한 개, {2, 5}에서 두 개를 뽑는 경우 3×2^2 해서 12가지. 3. {1, 4}에서 두 개, {2, 5}에서 한 개를 뽑는 경우 3×2^2×2 해서 24가지. 해서 모두 42가지에 대하여 f(4) 의 값이 두 가지이므로 결국 84가지이며, ③ f(4) = 2 또는 f(4) = 5 인 경우는 f(1), f(2), f(3) 의 합을 3으로 나눈 나머지가 2가 되도록 세 부분집합 {3}, {1, 4}, {2, 5} 에서 뽑는 경우이지요. 1. {3}에서 두 개, {2, 5}에서 한 개를 뽑는 경우 3×2 해서 6가지. 2. {3}에서 한 개, {1, 4}에서 두 개를 뽑는 경우 3×2^2 해서 12가지. 3. {2, 5}에서 두 개, {1, 4}에서 한 개를 뽑는 경우 3×2^2×2 해서 24가지로써, ② 와 마찬가지 방식입니다. 모두 84가지. 따라서 구하는 함수의 개수는 ①, ②, ③을 모두 더해서 209가지가 됩니다. (오답률 2위 90.5%) [30번 문제의 풀이 및 해설] 함수 f(x) 는 x = 0 또는 이차방정식의 해에서 극값 또는 변곡을 생각할 수 있습니다. a, b 모두 0이 아니지요. 먼저 이차방정식의 판별식을 살펴 보면, 아래에서 보듯이 항상 양수이므로 서로 다른 두 실근을 가지며, 이 실근은 0이 될 수 없습니다. 그렇다면 함수 f(x) 의 그래프는 3개의 극점을 가지며, f(0) = 0 이므로 원점을 지납니다. 그리고, 로피탈의 정리(l'Hospital's rule ☞☞ 위키백과)를 생각하면 아래 극한은 항상 0이며, 아래의 경우는 a > 0 일 때는 양의 무한대로, a < 0 일 때는 음의 무한대로 발산합니다. 단서 조항에 아래 극한값이 주어져 있습니다.
이는 위 로피탈의 정리를 피하기 위한 것으로 보이네요... 이제, 이상을 바탕으로 해서 제시문과 조건 (가), (나)를 만족하는 그래프의 개형을 추론해 보겠습니다. ① a, b 모두 양수인 경우 두 개의 서로 다른 음수 근과 0에서 극값을 가지며, 오른쪽 위로 올라 가는 그래프입니다. 이차방정식의 두 근 중 작은 근에서 극소, 큰 근에서 극대, 0에서 극소인 경우입니다. 그렇다면, 조건 (가), (나)를 만족시키는 두 양수 a, b 가 있을 수 있구요. ② a, b 모두 음수인 경우 마찬가지로 두 개의 서로 다른 음수 근과 0에서 극값을 가지며, 오른쪽 아래로 내려 가는 그래프입니다. 이차방정식의 두 근 중 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소, 0에서 극대인 경우입니다. x > 0 일 때 f(x) < f(0) = 0 이므로 구간 [-t, t]에서 x = t (t > 0) 일 때 최대가 되는 조건 (가)와 모순. ③ a > 0, b < 0 인 경우 이차방정식의 두 근의 부호가 다를 때이고, 오른쪽 위로 올라 가는 그래프입니다. 음수 근에서 극소, 0에서 극대, 양수 근에서 극소인 경우입니다. 그렇다면, 조건 (가), (나)를 만족시키는 두 양수 a, b 가 있을 수 있습니다. ④ a < 0, b > 0 인 경우 이차방정식의 두 근의 부호가 다를 때이고, 오른쪽 아래로 내려 가는 그래프입니다. 음수 근에서 극대, 0에서 극소, 양수 근에서 극대인 경우입니다. x < 0 일 때 f(x) > f(0) = 0 이므로 구간 [-t, t]에서 x = -t (t > 0) 일 때 최소가 되는 구간이 존재해야 하는 조건 (나)와 모순. ※ 이상의 풀이에 문제가 있습니다. 조건 (가)에 따르면 모든 양의 실수 t 에 대하여 구간 [-t, t]에서 최댓값 M(t) 는 f(t) 여야 한다고 되어 있습니다. 이를 어떤 x = t (t > 0) 에서 최대이기만 하면 된다로 좁게 해석한 잘못입니다. 임의의 양수 t 에 대하여 항상 구간 [-t, t]가 존재하므로, f(0) = 0 임을 생각하면 x > 0 에서 f(x) 값은 음수가 되어서는 안되지요. x = 0 에서는 극소이거나 또는 변곡해서 x > 0 에서 증가하는 상태여야 합니다. 그러므로 ③ a > 0, b < 0 인 경우는 x = 0 에서는 극대이므로 조건 (가)를 만족할 수 없는 것이지요. 임의의 양의 실수 t 에 대하여 구간 [-t, t]에서 x = t (t > 0) 일 때 최댓값을 가지기 위해서는 사실 f(β) 와 f(t) 또는 f(-t) 와 f(t) 크기를 비교해 주어야 합니다만 생략하겠습니다. 이상에서 조건 (가), (나)를 만족하는 a, b 는 모두 양수입니다. 아래 애니메이션은 ① a, b 모두 양수인 경우의 함수 f(x) 의 그래프입니다. 음수 -t (t > 0) 가 초록색 구간, 빨간색 구간, 보라색 구간, 세 구간 중 어디에 있느냐에 따라 구간 [-t, t]에서의 최솟값 m(t) 가 달라지고 있는데 아래와 같이 쓸 수 있겠고, 아래 애니메이션의 오른쪽에 빨간색으로 y = m(t) (t > 0) 의 그래프를 별도로 그려 두었습니다. 조건 (나)에서, 양수 k 에 대하여 닫힌 구간 [k, k+2]에 있는 임의의 실수 t 에 대해서만 m(t) = f(-t) 가 성립한다고 하였고, 위 애니메이션에서 빨간색 점선 원호로 표시한 구간 만이 이를 만족하므로 가 성립하고, f '(α) = 0 에 대입하여 k 값을 구할 수 있게 됩니다. 그렇다면, α = -4, b = 2a 가 되므로, 이를 가지고 함수 f(x) 와 m(t) 를 정리하면, 이고, 이제, 조건 (다)의 정적분으로 상수 a 의 값을 확정할 수 있게 됩니다. 마무리하면 끝... (오답률 1위 95.6%) 20번 문제와 풀이 및 해설을 덧붙입니다. 아래 애니메이션에서 파란색 부분의 넓이가 S(θ) 입니다. 도형의 극한 문제... 도형 관계를 이용해서 이 넓이를 θ 에 관한 식으로 나타내는 것이 1단계이고, 그 다음, 삼각함수의 극한의 기본 정리를 이용해서 극한값을 구하는 2단계 처리 방식이지요... 대학 수능 단골 유형입니다. 아래 애니메이션의 왼쪽에 수식을 써놓았듯이, 주황색 두 삼각형이 닮음임을 이용해서 닮음비를 알아낸다면, 이 비를 밑변의 비로 해서 삼각형의 넓이를 분할할 수 있지요... 삼각형 OPA의 밑변 AP가 빨간색 점 R에서 분할되고 있습니다. 이 비를 이용해서 삼각형 OPR의 넓이를 얻으면, 부채꼴 OPQ의 넓이에서 이 삼각형 OPR의 넓이를 빼줌으로써 파란색 부분의 넓이를 얻을 수 있습니다. 계산하면, 다음 2단계... 극한값을 구할 차례... 인데요... 코사인 부분은 항상 1로 가지요... 극한 처리 부분은 별것 없습니다. 마무리하면, 따라서 정답은 오지선다형 ⑤번이 됩니다. (객관식 오답률 1위, 62.8%) 삼각함수의 극한의 기본 정리와 극한 처리에 대한 몇가지 기본적인 스킬에 대해서는 아래 게시글 29번 문제의 해설에서 소상하게 다루고 있습니다. 참조하십시오. [수능 1등급] 2016년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 이상입니다. 아래 팁은 최근 수능 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다. |