|
|
2014년 4월 10일 목요일 시행된 경기도교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 B형 21번, 29번, 30번 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 최근 4월 모의고사 수학 가형 고난도 킬러 문항에 대한 풀이 및 해설은 아래 게시글을 참조하십시오. [수능 1등급] 2017년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능 1등급] 2016년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학 1등급] 2015년 4월 고3 학평(경기) 수학 B형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [21번 문제 풀이 및 해설] 아래 애니메이션... 반직선 OA를 시초선으로 해서 보라색 동경 OP가 회전한 각 AOP의 크기를 θ 로 두면, 동경 OP가 시계반대방향으로 회전할 때는 양의 각이고 시계방향으로 회전할 때는 음의 각입니다. 두 정사각형이 겹친 부분이 주황색 직사각형 AIGJ인데, 가로 AI의 길이는 항상 보라색 직사각형의 밑변 OQ의 길이와 같고, 세로 AJ의 길이는 빨간색 선분 PR의 길이에 선분 PQ의 길이를 더하거나 뺀 값이 됩니다. 보라색 직사각형에서 밑변 OQ의 길이가 cosθ 이고, 높이 PQ의 길이는 sinθ 인데, 겹친 부분이 존재하는 θ 의 범위가 - π/2 에서 π/2 까지이고 이 범위에서 cosθ 는 항상 양수, sinθ 는 시계반대방향으로 회전할 때는 양수이고 시계방향으로 회전할 때는 음수이므로, 결국 주황색 직사각형의 가로 AI의 길이는 cosθ 와 같고 세로 AJ의 길이는 1 + sinθ 와 같습니다. 이상을 식으로 써보면, 따라서 주황색 겹친 부분의 넓이를 S(θ) 로 두면, 미분하면, sinθ 를 x 로 치환했다고 생각하면 S'(θ) 는 위로 볼록한 포물선이므로, sinθ = -1 좌우에서 S'(θ) 의 부호는 음에서 양으로 바뀌고 sinθ = 1/2 좌우에서 S'(θ) 의 부호는 양에서 음으로 바뀝니다. 그렇다면 넓이 함수 S(θ) 는 sinθ = -1 에서 극소이고 sinθ = 1/2 에서 극대가 됩니다. sinθ = -1 일 때가 θ = - π/2 일 때이므로 결국 sinθ = 1/2 에서 넓이 함수 S(θ) 는 최대가 됩니다. 최댓값을 계산하면, 오지선다형 ④번이 정답이네요... 다른 풀이입니다. 파란색 정사각형의 대각선의 교점인 동점 P의 좌표를 (cosθ, sinθ) 로 두면 파란색 정사각형의 오른쪽 위 꼭짓점인 G의 좌표는 (cosθ + 1, sinθ + 1) 이 됩니다. 주황색 겹친 직사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점이 A(1, 0)이고 오른쪽 위 꼭짓점이 G이므로 가로 길이는 cosθ 가 되고, 세로 길이는 sinθ + 1 이 되지요... [29번 문제 풀이 및 해설] 점 O에서 파란색 두 할선에 내린 수선의 발을 G, H라 하면, 점 O, G, A, H는 선분 AO를 지름으로 하는 원 위의 점이고, 원주각 GAH가 항상 30˚이면 주황색 삼각형은 한 변의 길이가 1인 정삼각형이 됩니다. 빨간색 삼각형 OGH에 코사인 제2법칙을 적용해 보면, 두 양수 l, m 사이에는 항상 위 보라색 관계가 성립하고 있다는 뜻이겠고,,, 이 문제가 묻고 있는 것이 이때 2l^2 + m^2 의 최솟값을 구해 보라는 것인데요,,, 즉, 대수적인 식 변형 방법으로 이를 어떻게 구하죠? 위 보라색 식의 양변에 l^2 을 더하여 아래와 같이 완전제곱식을 이끌어 보았습니다. l = √3m/2 일 때 최소가 된다고 보고, 이때의 m 의 값을 얻어서 최솟값을 구해 보면, 로써, 문제의 최솟값의 꼴과 많이 다릅니다. 어디가 잘못되었죠???!!! 각 OAH의 크기를 θ 로 놓고 삼각함수로 관계식을 만들어 보면, θ 를 소거해 볼까요? 로써, 결국, 코사인 제2법칙으로부터 얻은 위 보라색 대수식과, 주황색 삼각함수식은 동치인 것이지요. 게시글 [수지 수리논술학원 진산서당] 삼각함수의 덧셈정리의 여러가지 증명에 보면, 코사인 제2법칙으로 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 과정을 소개하고 있는데요,,, 이는 이 둘이 서로 물려 있다는 것을 의미하지요. 벡터로 표현해도 마찬가지입니다. 두 양수 l, m 사이의 관계가 매개변수 θ 로 묶여 있는 위 주황색 삼각함수식을 가지고 목표식 2l^2 + m^2 의 최솟값을 구해 보겠습니다. 괄호 부분... 삼각함수의 덧셈정리를 거꾸로 적용하면 위 삼각함수식을 합성할 수 있습니다. 즉, 이상에서, 목표식 2l^2 + m^2 은 아래 삼각함수식과 같고, 여기서, 최솟값을 구할 수 있습니다. sin(α+2θ) 가 최대가 될 때 목표식이 최소가 되지요. sin(α+2θ) = 1 을 만족하는 θ 가 범위 내에 존재한다면 땡큐이고 그렇지 않더라도 sin(α+2θ) 가 최대가 되게 하는 θ 값이 범위 내에 반드시 한 개가 존재하게 됩니다. 위 삼각비를 만족하는 예각 α 에 대하여 아래와 같이 arccos 으로 θ 값을 계산기 두들겨서 구했는데요,,, 이것 안 배우죠. θ 가 30˚보다 작은 예각임을 아래와 같이 간단히 확인할 수 있습니다. 어쨌든, 목표식 2l^2 + m^2 의 최솟값은 6-2√7이 되겠고, 사실,,, 두 양수 l, m 사이의 대수적 관계식에 연연하지 않고, 처음부터 매개변수 θ 를 사용하여 삼각함수로 나타낸 후, 삼각함수의 합성을 이용하여 목표식의 최솟값을 구하는 쪽으로 풀이 방향을 잡았다면 이 문제는 별 것 없습니다. 해서,,, 이상의 해설에서도 풀이 그 자체에 머물지 않고, 대수 관계식과 삼각함수식의 관계에 대하여 관심을 기울였고, 이 관계로부터 어떤 목표식의 최솟값을 구하기 위하여 대수적 방법으로 식변형하는 것이 여의치 않을 때는 삼각함수의 합성법으로 돌아 가는 방법에 대하여 탐구하는데 관심을 기울였습니다. 아래는 실력정석 미적분 II 98쪽... 이 문제를 가지고 이상의 논지를 계속 살펴 보겠습니다. 먼저 (1)번. 다음 (2)번. 매개변수 θ 를 사용하여 나타내기 위하여 아래와 같이 조건식을 빨간색 식으로 변형합니다. 그렇다면, 아래와 같이 놓을 수 있게 됩니다. 위 연방을 풀면, 이제 x, y 를 매개변수 θ 를 이용해서 나타낼 수 있게 되는 것이지요. 도형 x, y 의 자취방정식을 θ 를 매개변수로 하는 매개변수방정식으로 표현했다고도 말할 수 있습니다. 위 수능 문제에서 보라색 l, m 의 관계식과 주황색 삼각함수식이 동치인 것과 같은 맥락입니다. 마지막으로, 목표식을 삼각함수로 나타내어 삼각함수의 합성으로 마무리하면 되겠습니다. 자~~~ 이제,,, 위 수능문제의 해설에 있는 보라색 관계식도 매개변수 θ 를 사용하여 삼각함수식으로 식변형할 수 있겠죠? 아래 애니메이션은 그냥,,, 감상용입니다. ㅎ [30번 문제 풀이 및 해설] f(-x) = f(x) 가 성립하므로 함수 f(x) 의 그래프는 원점에 대하여 대칭인 기함수입니다. 미분해 보면 위와 같이 x = ±e 에서 극값을 가짐을 알 수 있고, x = e 좌우에서 f '(x) 의 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 x = e 에서 극대입니다. 따라서 x = -e 에서 극소이고요. x = e 대입해서 계산하면 극댓값 α = 2/e 가 되겠습니다. 그렇다면, 문제의 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 아래에서 보듯이 곡선 y = f(x) 와 원점을 지나는 직선의 서로 다른 교점의 개수와 같습니다. 곡선 y = f(x) 와 원점을 지나는 직선이 모두 원점에 대칭이고, 원점을 지나는 직선의 기울기가 양수임을 생각하면, 서로 다른 교점의 개수는 곡선과 직선이 제1사분면에서 만나는 교점의 개수만을 구하여 이를 두 배 해주면 될 것입니다. 자~~~ 이제, 곡선의 개형에 대하여,,, 로피탈의 정리(l'Hospital's rule ☞☞ 위키백과)에 의하여,
이고, x → 0+ 일 때는 lnx → -∞, 1/x → ∞ 이므로,
로피탈의 정리는 사실 교육 과정 밖입니다. 그렇지만 알고 있는 것이 맞구요... 이 정리의 의미와 증명에 대해서는 게시글 [광운대 수리논술] 2015학년도 광운대학교 수시모집 자연계열-오전 논술고사 기출문제를 참조하십시오. 로피탈의 정리를 이용하지 않고 lnx / x 의 극한이 0임을 밝히는 재미있는 문제와 증명들이 있는데요... 아래 링크한 게시글을 참조하십시오. 아래 애니메이션에서 검은색이 곡선 y = f(x) 의 그래프이고 원점에 대하여 대칭이지요. 원점을 지나는 파란색 직선 y = 2x / ne 는 자연수 n 의 값에 따라 기울기가 바뀌고 있습니다. x → ∞ 일 때, y = f(x) 의 극한이 0이므로 파란색 직선이 원점에 접할 때를 기준으로 기울기가 이보다 작으면 제1사분면에 있는 서로 다른 교점의 개수는 항상 2개이고, 기울기가 이보다 크면 직선과 곡선은 만나지 않습니다. 원점을 지나는 직선이 곡선과 접할 때, 자연수 n 값이 존재한다면 이때 제1사분면에 있는 서로 다른 교점의 개수는 1개이고 대칭에 의하여 접점은 2개가 되겠구요... 이제, 원점을 지나는 직선이 곡선에 접할 때 n 값이 어떻게 되는지를 살펴 보겠습니다. 제 1사분면의 곡선 위의 점 (t, 2lnt/t) 에서 접선의 방정식이 이 접선이 원점 (0, 0)을 지날 때의 t 값을 구하면, 접점 x = t = √e 에서 곡선과 직선의 y 좌푯값이 같으므로, n = 2 일 때 파란색 직선이 곡선과 접하고 있군요... 그렇다면, n = 1 일 때 서로 다른 교점의 개수 즉, 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 없고요... n = 2 일 때 1사분면의 접점 한 개와 대칭인 3사분면의 접점 한 개 해서 결국, 서로 다른 실근의 개수는 두 개. n = 3 이상일 때는 1사분면에 두 개, 원점에 대칭인 3사분면에 그대로 두 개이므로 네 개씩입니다. 마무리하면,
공감
이 글에 공감한 블로거 열고 닫기
댓글
4
이 글에 댓글 단 블로거 열고 닫기
|
2015년 4월 9일 목요일 시행된 경기도교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 B형 21번, 29번, 30번 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 최근 4월 모의고사 수학 가형 고난도 킬러 문항에 대한 풀이 및 해설은 아래 게시글을 참조하십시오. [수능 1등급] 2017년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능 1등급] 2016년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설
[21번 문제 풀이 및 해설] ① x 가 음수일 때의 f(x), |f(x)|, g(x) = |f(x)| - f(x) = 2x^2 > 0 으로 고정입니다. 따라서 x < 0 에서 함수 g(x) 는 연속이고 모든 점에서 미분가능입니다. 감소함수이구요. 그리고 x = 0 에서 함수 g(x) 의 좌극한과 미분계수의 좌극한은 0. ② x ≥ 0 에서 f(x) 는 상수 k 에 의해 위치가 가변적인데요,,, 미분해보면 모양은 고정입니다. 0 < x < 2 에서 감소, x = 2 에서 극소, x > 2 에서 증가입니다. g(x) = |f(x)| - f(x) 에서 f(x) ≥ 0 인 x 의 범위에서는 g(x) 는 항상 0이 되고 f(x) < 0 인 x 의 범위에서는 g(x) = - 2f(x) > 0 가 됨을 생각하면, 조건 (가)에 의하여 x = 0 에서 연속이어야 하므로 g(0) = 0. 그러자면 f(0) ≥ 0 이어야 합니다. 즉,
k < -4 인 경우는 f(0) < 0 ⇒ g(0) = |f(0)| - f(0) = - 2f(0) > 0 가 되어, x = 0 에서 함수 g(x) 의 좌극한값인 0보다 크게 되므로 x = 0 에서 불연속이 된다는 것이지요. 함수 f(x), |f(x)|, g(x) 는 x = 0 이외에는 항상 연속이므로, 이상, ①, ②에 의하여 조건 (가)를 만족시키는 정수 k = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, … 등이 되겠습니다. 다음, 조건 (나) 함수 g(x) 는 미분가능하지 않은 점이 2개이다. x < 0 에서는 미분가능하지 않은 점이 없구요... 아래 함수가 x = 0 에서 극대, x = 2 에서 극소이고, f(0) ≥ 0 임을 생각하면, 함수 f(x) 의 극솟값이 음수일 때 |f(x)| 는 x = 2 좌우에서 x 축에서 꺾이게 되고, 함수 g(x) 는 이 꺾인 점에서 미분불가능합니다. 따라서 함수 g(x) 가 미분불가능하게 될 가능성은 x = 0 과 이 꺾인 점 두 곳입니다. 이쯤에서 그림을 그려 보아야 겠습니다. 아래 애니메이션에서 보듯이 x < 0 에서는 함수 f(x), |f(x)|, g(x) 모두 고정입니다. f(x) 는 검은색으로, |f(x)| 는 하늘색으로, g(x) 는 주황색으로 그려 주었습니다. x ≥ 0 일 때는 f(x), |f(x)|, g(x) 모두 상수 k 의 값에 따라 위치가 가변적인데요,,, k = -4 일 때, 아래에서 보듯이 x = 0 에서 함수 g'(x) 의 우극한은 0이므로, 결국, 함수 g(x) 는 x = 0 에서 미분가능합니다. 그런데 k = -4 일 때 f(0) = 0 임을 생각하면, 함수 g(x) 가 x 축에서 꺾이는 점은 한 개 뿐이게 되므로 조건 (나)와 모순이 됩니다. 따라서 k = -4 여서는 안됩니다. 즉, k > -4. 이제, k > -4 범위에서 극솟값 f(2) 가 음수이면 미분불가능한 곳은 항상 두 곳이 됩니다. 이상에서 조건 (가), (나)를 모두 만족하는 정수 k 의 값은 -1, -2, -3 해서 모두 3개이므로, 정답은 오지선다형 ①번. [29번 문제 풀이 및 해설] 행렬, 그리고 일차변환은 지금은 교과 과정 밖입니다만, 여기서 다루어 보겠습니다. 주어진 2×2 행렬은 회전변환 행렬인데요,,, 게시글 삼각함수의 덧셈정리의 여러가지 증명 - 수지 수리논술 진산서당의 4. 회전변환을 이용한 증명에 보시면 점 (x, y)를 원점 O를 중심으로 θ 만큼 회전시킨 점 (x', y')가 왜 아래와 같이 되는지를 보여 주고 있습니다. 참조하십시오. 주어진 회전변환 행렬은 θ = nπ/24 이고, 자연수 n 은 1부터 47까지의 값을 가지므로, n = 1 ⇔ θ = 7.5˚ n = 2 ⇔ θ = 15˚ n = 3 ⇔ θ = 22.5˚ n = 4 ⇔ θ = 30˚ … n = 48 ⇔ θ = 360˚ 자연수 n 값마다 회전각 θ 는 위와 같이 됩니다. 아래 애니메이션은 n 의 값을 1부터 48까지 바꾸어 가면서 삼각형 ABC가 주어진 행렬에 의해 회전변환된 파란색 삼각형 A'B'C'를 보여 주고 있습니다. 반직선 OA가 x 축의 양의 방향과 이루는 각이 π/4 이고, 여기서 75˚ 즉, 5π/12 = 10π/24 만큼 시계반대방향으로 회전하면 반직선 OA는 직선 y = -√3 x 위에 놓이므로 이때 파란색 삼각형 A'B'C'의 점 A'가 직선 y = -√3 x 와 만나고 있습니다. 일단, n = 10 일 때 삼각형 A'B'C'는 직선 y = -√3 x 와 만나고요, 여기서 180˚ 즉, π 만큼 더 회전해도 직선 y = -√3 x 위에 점 A'가 놓이므로 이때의 회전각 10π/24 + π = 34π/24 에서 n = 34 일 때도 삼각형 A'B'C'는 직선 y = -√3 x 와 만납니다. 반직선 OB가 x 축의 양의 방향과 이루는 각이 π/6(30˚) 이므로 반직선 OA가 75˚ 회전할 때 반직선 OB도 75˚ 회전하면 반직선 OB는 위 그림에서 반직선 OP가 되고 직선 y = -√3 x 와 15˚를 이룹니다. 위 그림에서 빨간색 부채꼴 OPQ를 생각하면, 여기서 15˚만큼 더 회전하면 반직선 OQ가 되고, 이때 하늘색 점 Q는 직선 y = -√3 x 위에 놓이게 됩니다. 즉, 검은색 점 B가 시계반대방향으로 90˚ 회전한 점인 파란색 점 B'가 하늘색 점 Q이므로 이때, 파란색 삼각형 A'B'C'의 점 B'가 직선 y = -√3 x 와 만나고 있습니다. 이때의 n 의 값을 구해 보면, 75° + 15° = π/2 = 12π/24 에서 n = 12 이고, 여기서 π 만큼 더 회전해도 직선 y = -√3 x 위에 점 B'가 놓이므로 이때의 회전각 12π/24 + π = 36π/24 에서 n = 36 일 때도 삼각형 A'B'C'는 직선 y = -√3 x 와 만납니다. 이제, 남은 가능성은 n = 11, n = 35 일 때 뿐인데요... n = 11 일 때만 확인해 주면 되겠습니다. 시계반대방향으로 회전하면 파란색 점 A'가 가장 먼저 직선 y = -√3 x 와 만나고 파란색 점 B'가 마지막으로 만나게 되는데요,,, 파란색 점 C'는 어떻게 될까요? 위 그림에서 빨간색 직선 x = 3 을 생각하면, 검은색 점 C는 (3, 3)보다 아래쪽에 위치하고, 검은색 점 B의 y 좌표보다 위쪽에 위치하므로, 결국 변 BC는 회전각 75˚와 90˚ 사이에서 직선 y = -√3 x 와 만나게 되고 이때의 자연수 n의 값은 11뿐입니다. 이상에서 만족하는 자연수 n 의 값은 10, 11, 12, 34, 35, 36이므로 이 총합은 138. [30번 문제 풀이 및 해설] 파란색 동점 P의 t 초 후의 좌표는 (2t, 0) 문제의 넓이 S를 부채꼴 OAQ와 삼각형 OPQ의 넓이의 합으로 보고, 부채꼴의 중심각 AOQ의 크기를 θ 로 두면, 삼각형 OPQ의 끼인각 POQ의 크기는 π/3 - θ 이므로, 넓이 S는 아래와 같습니다. 그리고 θ 와 t 의 관계식은 위 애니메이션에도 표시해 두었지만 아래와 같습니다. 묻고 있는 것이 수선 QH의 길이가 5일 때의 변화율 dS/dt 를 구하는 것이죠? 에서, θ = π/6 일 때의 변화율이네요... 파란색 넓이 식의 양변을 t 로 미분법으로 미분하면, 보라색 관계식을 t 로 미분하면, θ = π/6 일 때의 t 값을 구해 봐야 겠군요... 위 보라색 관계식에서, 이상,,, 마무리 정리 해보면 아래와 같습니다. 점 Q의 y 좌표가 5일 때는 반직선 OQ가 각 AOP의 이등분선이 되고 있고, 이때, θ = π/3-θ = π/6 이고, 점 P의 좌표 2t = 10/√3 이네요... 위 애니메이션에서 주황색으로 표시한 상황입니다. 이 때의 초당 넓이의 변화율은 10만큼 증가하고 있다는 뜻이지요... 다른 풀이입니다. 위 풀이와 대동소이합니다만, 위 풀이가 괜히 동위각이 같다는 생각을 먼저 하면서, 부채꼴의 중심각 AOQ의 크기를 θ 로 두고 삼각형 OPQ의 끼인각 POQ의 크기는 π/3 - θ 로 두면서 식이 복잡한 느낌이 많은데요,,,, 이번에는, 삼각형 OPQ의 끼인각 POQ의 크기를 θ, 부채꼴의 중심각 AOQ의 크기는 π/3 - θ 로 두고 식을 세워 보겠습니다. 먼저 넓이 S는 아래와 같고요,,, 그리고 θ 와 t 의 관계식은 위에서는 도형 관계를 적용했습니다만, 직선 PQ의 식 y = √3(x-2t) 에 점 Q의 좌표 (10cosθ, 10sinθ)를 대입하는 것이 깔끔하고요... 점 Q의 y 좌표가 5일 때, 10sinθ = 5 에서 θ = π/6 일 때이구요. 이 때 t 의 값은 앞 풀이에서와 마찬가지로 위 보라색 관계식에서 얻게 됩니다. 훨씬 깔끔하네요... 미분으로 마무리해보면, 에서, θ = π/6 , 2t = 10/√3를 적용하면, 각을 바꾸었더디 초당 각 POQ의 변화율이 -1/5이네요... 맞지요. 원점에서 출발한 동점 P가 오른쪽으로 이동하면 각 AOQ는 증가하고 있고, 각 POQ는 감소하고 있습니다. 넓이 식에 대입해서 마무리해주면 끝... |
2016년 4월 6일 수요일 시행된 경기도교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 작년 2017년 4월 모의고사 수학 가형 고난도 킬러 문제는 아래 게시글을 참조하십시오. [수능 1등급] 2017년 4월 고3 학평(경기) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설
[21번 문제 풀이 및 해설] 단축의 길이가 2 로 고정이고, 장축의 길이가 2k (k>1) 로 가변적인 타원과 닫힌 구간 [-2, 2]에서 정의된 함수 f(x) 의 서로 다른 교점의 개수에 관한 문제입니다. 아래 애니메이션에서 알 수 있듯이, 접할 때의 k 값과 k = 2 일 때를 기준으로 하여 서로 다른 교점의 개수 g(k) 값이 달라지고 있습니다. 따라서 k > 1 에서 정의되는 함수 g(k) 는 이 두 곳에서만 불연속이 됩니다. 접할 때의 k 값 구하기. y 축에 대하여 두 직선이 대칭이므로, 직선 y = - x + 2 와 접할 때만 고려하겠습니다. 1. 판별식 2. 음함수 미분 접선의 기울기가 -1일 때이므로 y' = -1 인 접점 (x, y) 에 대하여 위 보라색 관계가 성립합니다. 이 점을 직선 y = - x + 2 와 타원이 지나므로 연립하여 k 값을 구하면, 이상에서 함수 g(k) 의 불연속점은 k = √3 과 k = 2 이므로, 불연속이 되는 모든 k 의 값들의 제곱의 합은 3 + 4 해서 7이 됩니다. 정답은 오지선다형 ⑤ 번 [29번 문제 풀이 및 해설] 도형 관계가 아주 쉬운 문제로군요. 현 PB와 호 PB에 접하는 원은 주황색 반직선 OM에 의하여 바로 보입니다. 선분 OR의 길이가 반지름 1이고, 선분 OM의 길이는 직각삼각형 ABP에서 중점연결정리를 떠올려도 되고 이와 닮은 직각삼각형 OBM을 곧바로 볼 수 있으면 더 좋구요. 이등변삼각형 ABQ의 내접원은 직각삼각형 AOC에서 반지름의 길이가 바로 보입니다. 아래 애니메이션에 두 원의 넓이를 표시해 두었습니다. 다음 단계는 늘 그렇지만, 삼각함수의 극한의 기본 성질을 이용해서 극한을 구할 차례이죠... 아래와 같이 정답은 4. 극한 처리에 대한 보충 설명 덧붙입니다. 빨간색 1 - cosθ 에 대한 처리... 분모 분자에 켤레 1 + cosθ 를 곱하는 식변형을 통해 sinθ 로 바꾸면 아래 극한의 기본 성질을 이용할 수 있게 되는 것이지요.
이 기본 성질에 대한 증명과 의미에 대해서는 게시글 [서울시립대 수리논술] 2009 서울시립대학교 모의 논술 - 미적분학의 기본정리에 있는 팁 『삼각함수의 극한』을 참조하시고요... 아래와 같이 반각의 공식을 이용해서 빨간색 1 - cosθ 를 sin 함수로 바꾸는 것이 간편할 때도 많습니다. 두 방법 모두 기억하고 있는 것이 좋습니다. 그 다음, 사인과 탄젠트의 극한 처리에서 위 빨간색 기본 성질로 식 변형하지 않고 차수가 분모 분자 모두 4차로 같음을 확인한 후 곧바로 상수들만을 가지고 계산하는 처리를 하였습니다. 이는 다음과 같은 변형을 생각하면 쉽게 이해되어 옵니다. θ → 0 일 때 빨간색, 파란색 모두 1로 수렴하지요. [30번 문제 풀이 및 해설] 한 변의 길이가 t 인 정사각형 A의 두 대각선의 교점의 y 좌표의 최솟값을 f(t) 라 정의하고 있는데,,, 이 뜻이 조금 헷갈리지요. 조건 (가), (나)를 만족하는 정사각형 A는 영역 D에 얼마든지 그릴 수 있지만, 이들 중에서 대각선의 교점의 y 좌표가 최소가 되기 위해서는 가장 아래 쪽에 있어야 합니다. 이 때 정사각형 A의 오른쪽 아래 꼭짓점은 반드시 곡선 y = e^x - 2 위에 놓이게 됩니다. 아래 애니메이션에서 보듯이 곡선 y = e^x - 2 위에 한 꼭짓점 Q가 놓일 때 변 PQ의 길이가 t 이고 이 때 빨간색 점 R의 y 좌표가 f(t) 가 됩니다. 점 Q의 좌표가 (ln3, 1) 일 때를 기준으로 해서 점 Q가 이 점보다 위쪽에 있을 때는 한 변의 길이 t 는 점 Q의 x 좌표가 되며, 이 때, 빨간색 점 R의 y 좌표는 점 Q의 y 좌표에서 t/2 만큼 위쪽에 있으므로, 가 되며, 점 Q의 좌표가 (ln3, 1) 보다 아래쪽에 놓일 때는 점 Q의 x 좌표를 a 로 두면 점 P의 x 좌표는 a - t 이고, 이 때 두 점의 y 좌표가 같음을 이용해서 a 의 값을 구할 수 있습니다. 즉, 마찬가지로 빨간색 점 R의 y 좌표는 점 Q의 y 좌표에서 t/2 만큼 위쪽에 있으므로, 이상에서 두 함수식을 미분하여 미분계수를 구해서 마무리하면, 이상입니다. 아래 팁은 최근 수능 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다. |