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2018년 4월, 고3 두 번째 모의고사일이 4월 11일 수요일입니다. 오늘 게시글은 2017년 4월 12일 수요일 시행된 경기도교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 며칠 전 치른 3월 모의고사 수학 가형 고난도 킬러 문항에 대한 풀이 및 해설은 게시글 [수능 1등급] 2018년 3월 고3 학평(서울) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설을 참조하십시오. [21번 문제 풀이 및 해설] 도형 관계를 찾아서 두 부채꼴의 넓이를 θ 에 관한 식으로 나타낸 후, 삼각함수의 극한으로 해결하는 문제입니다. 지름 AB의 길이가 1로 주어졌고, 빨간색 각 P가 90˚이므로 직각삼각형 ABP에서 변 BP의 길이가 sinθ 로 표현될 것이고, 계속하여 삼각형 BCP, ACD가 이등변삼각형임을 생각하면, 이고, 두 부채꼴의 중심각 PCD의 크기는 아래와 같이 항상 일정합니다. 재미있네요... 이제, 주황색 두 부채꼴의 변 CD, CP의 길이를 θ 로 표현하면, 부채꼴의 넓이를 θ 에 관한 식으로 나타낼 수 있게 되는데요... 둘 모두 이등변삼각형의 밑변이지요... 먼저, 코사인 제2법칙으로 밀고 나가 보겠습니다. 두 넓이의 차... 아래에서 보듯이 식이 지저분합니다. 이 차를 θ 의 제곱으로 나누었을 때의 극한값을 구하는 문제입니다. 식 정돈의 핵심 방향은 삼각함수의 극한의 기본성질을 적용해서 극한값을 구할 수 있느냐일 것입니다. 성공했음이 보이나요? 파란색 부분은 -1로 갈 것임. 보라색 부분은 1 - cosθ 에 반각의 공식을 적용하거나 1 + cosθ 를 분모 분자에 곱하는 유형이지요... 어쨌든 1/2로 갈 것임. 그렇다면 (1/2 - 1) × π/4 = - π / 8 다시 압축해서 적어 보면, 따라서 정답은 오지선다형 ② 번이 됩니다. 위에서 적용한 삼각함수의 극한의 기본 성질에 대한 증명과 의미에 대해서는 게시글 [서울시립대 수리논술] 2009 서울시립대학교 모의 논술 - 미적분학의 기본정리에 있는 팁 『삼각함수의 극한』을 참조하시고요... 1 - cosθ 의 식 변형은 정말로 여기저기에서 사용되는 패턴이지요...아래 게시글을 함께 봐 주십시오. [수능 1등급] 2016년 3월 고3 학평(서울) 수학 가형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 다시 생각해 보면, 식 T(θ) - S(θ) 를 정돈할려는 노력이 필요없음을 깨닫는 것이 중요합니다. 에서, 전체를 ()로 묶으려는 노력을 기울이기 전에, 위 보라색 부분이 sinθ → 0 에 의하여 1로 수렴하므로 주황색 부분만의 극한을 별도로 먼저 조사해 보는 것이 중요합니다. 1 - 1/2 해서 1/2이군요... 그렇다면 전체를 ()로 묶는 수고를 할 필요가 없는 것이지요. 다른 풀이입니다. 위 풀이는 꼭지각의 크기와 등변의 길이가 주어진 이등변삼각형의 밑변의 길이를 코사인 제2법칙으로 구했는데요... 이등변삼각형의 경우는 꼭지각의 이등분선 즉, 밑변의 수직이등분선을 그어서 밑변의 길이를 구하는 것이 훨씬 부담이 적습니다. 따라서 이제 극한을 구할 차례... 마찬가지로, - 로 연결되어 있는 식을 정돈하려 하지 말고 따로따로 극한 구하기가 핵심입니다. 결론적으로 말하면, 두 부채꼴의 넓이 각각이 θ^2 으로 나눌 때 수렴하고 있다는 것이지요. [29번 문제 풀이 및 해설] 위 파란색은 두 함수가 서로 역함수임을 보여 주고 있습니다. 직선 y = x 에 대하여 대칭이지요. 두 곡선의 교점은 결국 이 직선과의 교점과 일치하므로 먼저 교점을 구해 보겠습니다. 그냥은 저 교점이 구해지지 않지요. 우리의 관심이 자연수 해에 있으므로 x = 0, 1, 2, 3, … 등을 대입해 보면, x = 0 ⇒ n = 1 x = 1 ⇒ n = 2 x = 2 ⇒ n = 7 x = 3 ⇒ n = 24 …… 에서, 2이상의 자연수 n 에 대하여 두 곡선(지수함수와 로그함수)이 만나는 자연수 점은 (1, 1), (2, 2), (3, 3)…… 등이 됩니다. 주어진 지수함수가 아래로 볼록한 증가함수이고, 로그함수는 위로 볼록한 증가함수임을 생각하면, n = 2 일 때 두 곡선으로 둘러싸인 영역에 포함되는 자연수 점은 (1, 1) 뿐이며, n = 7 일 때 비로소 두 곡선으로 둘러싸인 영역에 포함되는 자연수 점은 (1, 1), (2, 2) 두 개가 됩니다. 그때까지는 즉, n = 2, 3, 4, 5, 6 일 때는 영역에 포함된 자연수 점이 (1, 1) 뿐인 것이지요. 그리고 n = 24 일 때 (1, 1), (2, 2), (3, 3) 이 두 곡선으로 둘러싸인 영역에 포함되는데 이때 (1, 2), (2, 1) 이 두 곡선으로 둘러싸인 영역에 포함될 가능성이 있습니다. 만약에 포함된다면, n 이 24 가 되기 전에 두 곡선으로 둘러싸인 영역에 포함된 자연수 점은 (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1) 이렇게 네 개 뿐이게 됩니다. n = 24 일 때 (1, 2), (2, 1) 이 두 곡선으로 둘러싸인 영역에 포함되지 않는다면, (4, 4) 가 두 곡선의 교점이 되는 상황을 또 확인해 보아야 하고요... 이를 아래와 같이 부등식으로 check 하면 되겠습니다. x = 1 일 때 로그함수의 함숫값이 2 이상이고 3 미만이 되는 n 의 범위에서 (1, 2) 가 포함된다고 보면, 되었네요... 별 것 없군요. 위 빨간색 부등식에 의하여 8 이상의 n 에 대하여 자연수 점 (1, 2) 가 영역에 포함됩니다. 직선 y = x 에 대칭을 생각하면 자연수 점 (2, 1) 도 당연히 영역에 포함될테구요... 이때부터 n 이 커지면서 계속하여 위 네 자연수 점만이 영역에 포함되는데, n 이 24 가 되는 순간에는 (3, 3) 이 포함되어 버리므로 가능한 자연수 n 의 값은 23 이하여야 합니다. 따라서 가능한 자연수 n 이 8, 9, 10, …, 23 이므로 개수는 23 - 8 + 1 해서 16 개가 됩니다. 아래 애니메이션은 이상의 해설을 이해하기 편하도록 시뮬레이션해 본 것입니다. 실전에서 문제를 풀 때는 두 곡선을 어느 정도 스케치해 가면서 풀이 방향을 잡아 내야 할 것이고, 위 빨간색 부등식을 작성하여 정답을 찾아 내게 될 거라 봅니다. 로그함수 대신에 아래와 같이 지수함수로 부등식을 작성해도 마찬가지겠지요. 점 (2, 1) 은 지수함수의 위쪽에 있고(경계포함), 점 (3, 3) 은 지수함수의 아래쪽에 있어야 하므로 (경계제외), [30번 문제 풀이 및 해설] 최고차항의 계수가 1인 다항함수 f(x) 에 대하여,,, 조건 (가) 방정식 f(x) = 0 의 실근은 0과 2뿐이고 허근은 존재하지 않는다. 그렇다면, 가우스의 대수학의 기본 정리(☞ 위키백과)에 의하여 다항함수 f(x) 를 아래와 같이 다시 쓸 수 있고,,, 조건 (나) 이 극한값이 존재하기 위해서는 m = 3 이어야 합니다. 조건 (다) 이상을 먼저 정리해보면, g(x)/x 가 간단한 유리함수네요... 반비례하는 함수를 평행이동한 것요... 그런데 x = 5/4 에서 연속이라고 하네요. 반비례함수는 분모가 0이 되는 x 값에서 불연속인데요... 절댓값 기호가 들어간 |g(x)/x| 의 그래프도 x 축 아래쪽을 꺾어 올렸을 뿐 불연속인 것은 매한가지지요. 그렇다면, g(x)/x 는 간단한 유리함수가 아닌 것이지요. 일차항이 약분되어 상수함수가 됩니다. 그런데 x = 5/4 에서 미분불가능이라고 합니다. 모순... 풀이 어딘가에 잘못이 있다 싶습니다. 위에 조건 (나)에서 주황색 결론 부분이 문제가 있군요. 자연수 m 이 4 이상이면 발산이지만, m 이 3 뿐만아니라 m = 2, m = 1 이어도 극한값이 존재합니다. 계속하여, m = 3 인 경우 조건 (다)가 충족되지 않으므로, m = 1 or m = 2 인 경우에 한해서 다시 g(x)/x 를 구해 보면, 마찬가지입니다. 처음부터 아래와 같이 생각해야 겠습니다. 위 식에서 보듯이, f(x) 와 xf '(x) 의 차수가 같으므로 g(x)/x 는 반비례 함수를 평행이동한 간단한 유리함수이거나 아니면 상수함수라고 생각하는 것이 중요하고, 그렇다면 조건 (다)에 의하여 |g(x)/x| 가 연속이면서 미분불가능한 점이 있으므로 이 점은 유리함수가 x 축 위에서 꺾인 점 뿐이라는 것을 곧바로 유추할 수 있지요. 그리고 반비례 그래프를 상상해보면 x 축 위에서 꺾인 점이 있을 때는 이 점은 오직 한 개 뿐입니다. 결국, x = 5/4 가 유리함수 g(x)/x 의 유일한 x 절편인 것이지요. 이상에서 함수 g(x) 는 아래와 같고, 미분하여 극솟값을 구하고 마무리하면 되겠습니다. x = 1 에서 극대이고 x = 5/3 에서 극소입니다.
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