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이 게시글은 2023년 11월 26일 일요일에 치른 한양대학교 2024학년도 논술전형 자연계열(오후1) 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 2문제 시험시간 90분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2024학년도 자연계열 논술(오후1) 문제.pdf
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[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... P에서 출발하여 Q까지 이동하는 모든 최단 경로는 오른쪽으로 5번, 위로 5번, 안쪽으로 1번 이동합니다. 이때 최단 경로의 개수는 같은 문자가 포함된 순열이나 조합으로 얻을 수 있는데, 이에 대해서는 게시글 [수지 경시학원 진산서당] 직사각형 및 직육면체에서 최단 경로 길잡이 문제를 참조하십시오... 색칠한 정육면체의 꼭짓점은 지나지 않아야 한다고 했습니다. 아래 풀이는 최단 경로들이 반드시 지나는 꼭짓점을 기준으로 빠짐없이 중복없이 8가지로 나누어서 조사하여 모두 더하는 방식입니다. 다른 풀이입니다... 위 풀이가 합사건으로 해결했다면 이번에는 여사건으로 해결해 보겠습니다. 색칠한 정육면체를 포함하여 P에서 Q까지 이동 가능한 모든 최단경로의 개수에서 아래 네 경우를 제외... 아래는 대학측 풀이의 해설입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 주머니 A: ④④④, ⑥⑥, ⑧ → a 주머니 B: ⓞⓞⓞⓞⓞⓞ, ①①①① → b 아래와 같이 표를 만들어서,,, 두 주머니에서 얻은 a, b값에 대하여 주어진 삼차방정식의 세 근 α, β, γ를 구해 보면 모두 실근이고, α = -7, β < γ로 두고 여섯 가지 각각에 대하여 α, β, γ의 값을 수직선 위에서 표시하여 차이가 가장 적은 값을 확률변수 X에 적었습니다... 무리수의 대소관계 판단에 익숙하다면 계산이 별거 없습니다. 따라서 [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... 이건 별로 영양가가 없고,,, g(x)를 얻기 위해서는 f(x)를 직접 적분해야겠고, h(x)를 얻기 위해서 한 번 더 적분해야 겠습니다... tanx의 미분이 sec2x이고, cotx의 미분이 -csc2x이죠... 이를 이용해야 겠습니다. 즉,,, 이 공식으로 g(x)를 구하면 계속해서 g(x)를 적분하여 h(x)를 구하면 삼각함수의 극한의 기본 정리를 이용하는 문제겠죠 ? 반띵해서, h(x)/f(x)와 g(x)2/f(x)을 먼저 계산하면 삼각함수의 극한의 기본 정리와는 아무런 관계가 없군요... 파란색 부분의 극한이 0이 되는데 대해서는 아래 애니메이션을 참조하십시오. 이상으로부터
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 다른 풀이입니다... 직선 PQ의 방정식을 작성하여 점 T의 좌표를 얻는 것은 앞 풀이와 같습니다. 다른 것은 앞 풀이가 선분 ST의 길이를 x에 관한 식으로 나타내어서 대수식을 미분하는 방식을 취했다면, 이 풀이는 선분 ST의 길이를 회전각 t에 대한 삼각함수식으로 나타내어서 미분하는 방식을 취한 것... 탄젠트의 덧셈정리를 이용해서 선분 ST의 길이가 최대가 되는 t의 값을 얻었는데, 무리수 계산량이 많습니다. 계산 과정을 생략했는데,,, 효과적인 계산 방식을 터득하기 위해 직접 해보는 것이 좋겠구요... 그런데, 이 t의 값을 다시 f(t)식에 대입해서 최댓값을 계산해야 하는 부담이 또 남습니다. 아래와 같이 처음부터 f(t) 식을 코사인 덧셈정리, 사인 덧셈정리를 적용해서 먼저 정리한 연후에 미분하는 것이 보다 효과적일 것입니다. 출제의도와는 다릅니다만,,, 아래는 기하적 직관으로 답을 구해 본 것입니다. 빗금친 세 직각삼각형이 닮음이므로,,, 선분 ST의 길이가 최대가 될 때는 원호 위의 점 S에서 현 PQ에 내린 수선의 길이가 최대일 때... [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [한양대 수리논술] 한양대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 한양대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 11월 27일 일요일에 치른 한양대학교 2023학년도 논술전형 자연계열(오후1) 논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 2문제 시험시간 90분 아래는 당일 시험지 원본입니다.
2023학년도 자연계열 논술(오후1) 문제.pdf
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[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 다른 풀이입니다... 위 풀이처럼 곧바로 적분하지 않고 정적분으로 정의된 함수의 미분법으로 미분하면, 또 다른 풀이입니다... 먼저 치환적분한 후 미분하는 방식,,, 재치가 돋보이는 풀이입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 위 마지막 풀이에서 f(x)를 구해보면 [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... 준식의 양변을 먼저 미분해도 대동소이. 여기서 우리의 목표는 아래 부등식을 증명하는 것 !!! 고쳐 적어 보면 이 상태로 핑크색을 바로 부분적분하는 것보다는 sin(2πx) + 2πxcos(2πx)가 앞에서 xsin(2πx)를 미분한 부분임을 상기하여 적분하는 것이 나을 것이고,,, 계속해서 부분적분하더라도 뱅글뱅글이겠지요? 이 상태로 cos(2πx) ≤ 1을 적용하면 이상으로 목표부등식은 증명된 것이지요... g(x)를 얻은 후 핑크색을 부분적분하기 이전에 sin(2πx) + 2πxcos(2πx)의 최댓값 1 + 2πx를 미리 적용하는 것이 차라리 훨 간편할 것입니다... ※ 덧붙이는 글 ※ [문제 1-1], [문제 1-2], [문제 1-3]의 계속되는 부분적분에서 아래는 공식처럼 기억해두는 것이 좋습니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 다른 풀이입니다... 위 그림에서 ∠BPH = θ로 두면, 이후 과정은 똑같겠고요... [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... n + 1이 적힌 공을 X, Y, Z 세 바구니에 각 한 개씩 추가로 집어 넣었을 때 새로이 생긴 (x, y, z) 순서쌍의 개수가 An+1 - An입니다. 그렇다면, 세 변의 길이 x, y, z 중 적어도 한 변의 길이가 n + 1이 될 때입니다. ① 세 변의 길이 모두 n + 1인 경우 ② 두 변의 길이만 n + 1인 경우 ③ 한 변의 길이만 n + 1인 경우 ①은 (x, y, z) = (n + 1, n + 1, n + 1)로 정삼각형 한 개만 가능하고, ② 두 변의 길이만 n + 1인 경우 x = y = n + 1이고 z ≤ n이라고 하면 z = 1, 2, …, n일 때 모두가 이등변삼각형이 되므로 n가지이고, y = z = n + 1이고 x ≤ n인 경우와 z = x = n + 1이고 y ≤ n인 경우도 마찬가지이므로 모두 3n 가지... ③ 한 변의 길이만 n + 1인 경우 x = n + 1이고 y ≤ n, z ≤ n인 경우 가장 긴 변 x가 다른 두 변의 합 y + z보다 작아야 하므로 n + 1 < y + z (y ≤ n, z ≤ n) y = 1일 때 만족하는 z가 없으며 y = 2일 때 n - 1 < z ≤ n ⇒ 1개 y = 3일 때 n - 2 < z ≤ n ⇒ 2개 … y = n일 때 1 < z ≤ n ⇒ n - 1개 에서, 모두 더하면 n(n - 1) / 2개이고, y = n + 1이고 z ≤ n, x ≤ n인 경우와 z = n + 1이고 x ≤ n, y ≤ n인 경우도 마찬가지이므로 모두 3 × n(n - 1) / 2 개 이상, ①, ②, ③ 경우를 모두 더하면 [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 『주어진 f(x)가 x > 1보다 큰 범위에서 1.9보다 작은 최솟값을 갖는다』는 사실을 이용하라고 했습니다. 1.9보다 작은 최솟값을 가질 때의 x값을 α라고 하면 α > 1이고, 이 α에 대해서 아래 보라색 부등식이 성립합니다. 이 부분이 핵심! 이후는 별거 없습니다. 편의상 n = 3m으로 두고, 보라색 부등식의 양변을 3m 제곱한 후 이항정리를 적용하고 녹색 부분을 참조하여 식변형하면, 길기는 하지만 별다른 어려움없이 핑크색에 도달할 수 있습니다. 3m = n ⇒ m = n/3이죠... 이상입니다... [한양대 수리논술] 한양대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 한양대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 2022년 11월 27일 일요일에 치른 한양대학교 2023학년도 논술전형 자연계열(오후2) 논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 2문제 시험시간 90분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
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입학처 홈페이지/수시/기출문제/서식에 합격자 우수답안, 대학측 예시답안, 출제의도 및 평가지침이 함께 있으니 이 포스팅의 풀이 및 해설과 비교하면서 공부하시기를요...
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 우변에서 시작해서 제시문 (나)에 있는 파스칼의 삼각형 공식을 적용하면서 다음 행으로 이동하는 방식으로 좌변을 이끌었습니다. 기억하기 쉽도록 간단한 GIF을 하나 만들어 봤습니다. 게시글 이항계수의 여러가지 성질에 대한 종합 정리... 수지수학학원 진산서당에 이 공식에 대한 대수적 증명, 조합론적 증명 뿐만 아니라, 이항계수에 관한 여러가지 성질을 모아 두었습니다. 일독을 권합니다. [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 제시문에서 수열 { an }이 정의된 상태에서 an+1 항이 마치 다시 정의되는 것처럼 주어졌네요... 이것이 맞는 것인지를 먼저 확인해 보았습니다. 파란색 부분은 [문제 1-1]의 결과를 적용한 것이고, 보라색 부분은 ∑ 총합의 시작값을 1에서 0으로 바꾼 처리, 핑크색 부분은 세 항을 하나로 합친 것... 그리고 마지막은 이항 정리 !!! [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... 위 두 ∑ 총합의 전개식에서 항의 개수가 두 식 모두 짝수이므로 이항계수의 성질 nCr = nCn-r을 생각하면 대칭으로 짝지어 짐을 알 수 있습니다. 따라서 두 식의 값은 같습니다. 이를 [문제 1-2]의 결과와 엮어야 겠는데... 우선 아래와 같이 세 항을 더하고 나서 살펴 보면, 핑크색 식의 값을 안다면 OK죠... [문제 1-2]의 결과를 가지고 핑크색 식의 값을 구할 수 있어야 겠습니다. 제시문의 수열 { an }에서 핑크색은 a100에 해당되고, [문제 1-2]에서 an + an+1 = 3 × 23n이었습니다. 이런 식으로 a100을 구하는 것은 아닐테고,,,ㅎ [문제 1-2]에서 얻은 파란색 점화식을 이용해서 효과적으로 a100을 구해야 겠습니다. 두 항의 합을 아래와 같이 번갈아 가면서 더해주고 빼주는 skill이 좋습니다. -(a1 + a2) + (a2 + a3) - (a3 + a4) + ··· - (a99 + a100) = -a1 - a100 = -2 - a100이고, 좌변 급수가 수열 { (-1)n(an + an+1) }의 첫째항부터 99항까지의 합이고 수열 { an + an+1 }이 { 3 × 8n }으로 등비수열이므로 수열 { (-1)n(an + an+1) }도 등비수열이죠... 따라서 이상으로부터, 대학측과 답이 다르게 나옵니다... 주황색 □로 표시한 부분이 대학측 답안에는 안보이네요... 어찌된 일일까요?
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 함수 lnx / x의 그래프의 개형과 극한은 수리논술에서 자주 등장합니다. 이에 대해서는 게시글 [광운대 수리논술] 2021학년도 광운대학교 자연계열-1교시 논술고사 기출 해설의 [문제 2-2]를 참조하십시오. 여러 대학의 기출을 모아 두었습니다. [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 『두 직선이 이루는 예각의 크기』 개념도 수리논술 단골 메뉴입니다. 게시글 [경북대 수리논술] 2019학년도 경북대학교 자연계열 I 논술(AAT) 기출해설에 관련 기출을 모두 모아 두었으니 함께 참조하십시오. 검색하셔도 되고... [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 도형 관계로만 해결한 풀이인데, 생각보다 간단하지는 않습니다. 삼각형 A'PQ가 한 변의 길이가 1인 정삼각형이고, 원주각 성질로 각의 관계를 파악한 다음 덧셈정리로 각 APQ와 AQP의 사인값을 t의 식으로 나타면, 마무리는 아래쪽에서,,, 사인정리로 빗금친 삼각형의 두 변 AP와 AQ의 길이를 t로 나타내어서 f(t)를 얻었습니다. 다른 풀이입니다. t만큼 오른쪽으로 평행이동한 원과 두 직선 AB, AC의 교점의 좌표를 t의 식으로 나타내어서 점점 거리 공식으로 빗금친 삼각형의 두 변 AP, AQ의 길이를 얻는 풀이입니다. 계속해서 이상입니다... [한양대 수리논술] 한양대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 한양대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |