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이 게시글은 2023년 11월 29일 수요일에 치른 카이스트 2024학년도 일반전형/고른기회전형 면접 및 구술고사 수학 과목 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 1문제(?), 예상소요시간 10분 [문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 다른 풀이입니다... 이상입니다... [카이스트·포스텍 심층면접] 구술고사 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 카이스트, 포스텍, 지스트, 디지스트 등 이공계 특성화 대학의 대학 신입생 수시모집 면접 및 구술고사 수학 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. 수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 12월 1일 목요일에 치른 카이스트 2023학년도 학교장추천전형 및 고른기회전형의 면접 및 구술고사 수학 과목 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 2문제 예상준비시간은 각 10분
[문제 1-(1)]의 풀이 및 해설입니다... (a0, b0) = (-6, 9) 방정식 x2 - 6x + 9 = 0이 서로 같은 두 실근 3을 가지므로 (a1, b1) = (3, 3). 새로운 방정식 x2 + 3x + 3 = 0의 판별식 D = 32 - 4·3 < 0이므로 실수해가 없습니다. 따라서 순서쌍 (-6, 9)의 친화도는 잘 정의되어 있고, 친화도는 1. [문제 1-(2)]의 풀이 및 해설입니다... (a0, b0) = (-3, 2) x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) = 0에서 (a1, b1) = (2, 1) ← a1 ≥ b1 x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = 0에서 (a2, b2) = (-1, -1) x2 - x - 1 = 0에서 (a3, b3) = ((1+√5)/2, (1-√5)/2) …… 일반적으로,,, 이차방정식 x2 + akx + bk = 0의 판별식 D = ak2 - 4bk에서 bk < 0이면 서로 다른 두 실근을 갖고, 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱이 bk이고 bk < 0이므로 두 실근의 부호는 반대가 됩니다. 즉, ak+1 > 0 > bk+1 ← a1 ≥ b1, a2 ≥ b2, …라 했으므로 bk+1 < 0이므로 다음 단계의 이차방정식 x2 + ak+1x + bk+1 = 0도 마찬가지 까닭으로 두 실근을 가지고 bk+2 < 0가 됩니다. 그렇다면, (a0, b0) = (-3, 2)에서 (a2, b2) = (-1, -1)이고 b2 < 0이므로 수학적 귀납법에 의하여 2 이상의 모든 자연수 k에 대하여 (ak, bk)가 존재하고 bk < 0가 됩니다. 따라서 순서쌍 (-3, 2)의 친화도는 정의되지 않습니다. [문제 1-(3)]의 풀이 및 해설입니다... 제시문과 [문제 1-(2)]의 논리에 의해 bk가 음수가 아니어야만 순서쌍 (a0, b0)는 친화도가 정의됩니다. 이차방정식 x2 + a0x + b0 = 0의 실근이 존재하지 않을 때 친화도 = 0이고, 실근이 존재할 때는 두 실근이 모두 0 이상이어야 친화도가 정의되므로 a1 ≥ b1 ≥ 0. 이때, 새로운 이차방정식 x2 + a1x + b1 = 0의 두 근 a2, b2는 근과 계수의 관계에 의해 a2 + b2 = -a1 ≤ 0, a2b2 = b1 ≥ 0이므로 b2 ≤ a2 ≤ 0이 되고, b2가 0이 아닐 때는 음수이므로 [문제 1-(2)]에 의해 친화도가 정의되지 않습니다. b2 = 0일 때는 a2 = 0이므로 이후의 모든 방정식이 x2 = 0 ⇒ (ak, ak) = (0, 0)에서 역시 친화도가 정의되지 않습니다. 따라서 순서쌍 (a0, b0)의 친화도가 정의되는 경우는 x2 + a0x + b0 = 0의 실근이 존재하지 않아서 친화도가 0이거나 실근이 존재해서 친화도가 1이 되는 경우뿐이게 됩니다. 이상에서,,, 친화도의 최댓값은 1
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 핑크색 선분 OA와 AC'의 길이의 합이 선분 CC''의 길이와 같음을 생각하면, ∠CBC'' + ∠ABO = 90° = ∠ABO + ∠OAB에서 ∠CBC'' = θ이므로 위와 같이 쉽게 l = 3sinθ를 얻을 수 있습니다. 처음에 아래와 같이 생각하여 이를 간단히 하는데 애를 먹었네요... ㅎ [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [카이스트·포스텍 심층면접] 구술고사 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 카이스트, 포스텍, 지스트, 디지스트 등 이공계 특성화 대학의 대학 신입생 수시모집 면접 및 구술고사 수학 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. |
이 게시글은 2022년 11월 26일 토요일에 치른 포항공과대학교 2023학년도 학생부 종합 일반전형, 기회균형 저소득층전형, 기회균형 농·어촌전형 단일계열 면접 및 구술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 전체 40분 (질답시간 20분 별도) ※ 제시문과 함께 10분 내외의 참고 영상이 피면접자에게 제시되었습니다.
2023학년도 선행학습 영향평가 결과보고서에 별첨된 영상 43 cut 중에서 몇 개를 가져 왔습니다.
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 3 by 3 필터가 회색조 이미지의 모든 격자를 지나면서 "평면 연산 A"를 적용하기 위해서는 필터의 중심이 해당 격자에 오도록 해야하므로, 회색조 이미지의 테두리에 격자 값 0(흑색)을 가정해야 겠습니다. 참고 영상에 이렇게 되어 있습니다. 아래 애니메이션에서 참고 영상에서와 같이 필터를 빨간색으로, 각 격자별 연산 결과 값을 녹색으로 표시하였습니다. 1번 필터가 20 by 18 개의 격자 모두를 지나면서 격자 당 아홉 번의 곱하기와 모두 더하기를 한 번 하여 해당 격자에 쓰는 모습을 보여 주고 있습니다. 지그재그로 처음 다섯 줄만... 필터를 사용해서 "평면 연산 A"를 적용하는 데 대해서는 충분히 숙지했으리라 보고요,,, 이제, 주어진 회색조 이미지와 필터를 가지고 연산을 해서 변환된 이미지를 완성해야 겠는데요... 출력 격자와 같은 위치에 있는 입력 격자 값에 1을 곱하는 연산만 수행하면 됩니다. 주변 여덟 개의 입력 격자 값이 무엇이든 필터의 해당 격자 값이 0이므로 곱하면 0이 되니까요... 따라서, 1번 필터로 "평면 연산 A"를 적용할 경우 출력되는 이미지의 모양은 입력 회색조 이미지와 동일하게 됩니다. 1번 필터는 항등변환 필터인 셈이죠... 다음, 2번 필터의 경우 출력 격자의 위치에서 한 칸 오른쪽에 위치한 입력 격자의 값에 1을 곱하고, 나머지 여덟 곳의 입력 격자 값과는 상관이 없으므로 출력 격자의 값은 해당 입력 격자의 한 칸 오른쪽에 위치한 격자의 값과 같게 됩니다. 그렇다면,,, 출력 이미지는 흰색 글자 P가 왼쪽으로 한칸 평행이동한 모습이 됩니다. 다음, 3번 필터의 경우 주어진 회색조 이미지의 모든 격자 값은 백색(255)이거나 흑색(0)입니다. 그리고, 필터링(주어진 필터로 "평면 연산 A"를 적용)한 후의 격자 값이 255보다 큰 경우에는 255로, 0보다 작은 경우에는 0으로 한다고 하였습니다. 그렇다면, 적용 격자의 오른쪽 세 격자에 있는 255(백색)의 개수와 왼쪽 세 격자에 있는 255(백색)의 개수를 비교해서, 오른쪽이 클 때만 출력 격자의 값이 255(백색)이 되고, 이 경우 이외에는 출력 격자 값이 0(흑색). 좌우 흑백 개수가 같으면 지워지죠... 관찰해 보면, 적용 격자 기준으로 위 아래를 포함한 세 가로줄에 대하여 좌우의 흑→백 변화가 한 줄이라도 감지되면 해당 격자는 백색 격자를 출력하고 있습니다. 오른쪽에 있는 백색 격자가 왼쪽에 있는 백색 격자보다 많을 때이죠... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 이제,,, 거꾸로 추론해서 필터를 찾는 문제입니다. [문제 1-1]의 3번 필터가 좌우 각 3개씩의 흑백의 개수를 비교했다면, 이 문제는 상하 흑백의 개수를 비교하는 문제가 아니겠나 생각할 수 있고, 그렇다면, 해당 격자 기준으로 위쪽이 많을 때는 백색 격자를 출력하고 같거나 적을 때는 흑색 격자를 출력하지요. 확인해보니 맞습니다. 따라서 이 "평면 연산 A"에 적용된 필터는 위쪽에 있는 백색 격자가 아래쪽에 있는 백색 격자보다 많을 때이므로 세로 방향의 흑백 변화를 추적해보면, 적용 격자 기준 세 세로줄에 대하여 상하의 백→흑 변화가 한 줄이라도 감지되면 해당 격자는 백색 격자를 출력하게 됩니다. 대학측 풀이에 따르면 아래 3개의 필터도 동일한 결과를 만들 수 있다고 합니다. [문제 2]의 풀이 및 해설입니다... 아래 애니메이션은 "함수 사이에 정의된 연산 A"의 일례인 f*g를 보여 주고 있습니다. s에 관한 함수 g(x - s)는 함수 g(s)를 y축에 대하여 대칭이동한 함수 g(-s)를 오른쪽으로 x만큼 평행이동한 함수입니다. s의 적분 구간 [0, 1]에서 f(s) =1이고, g(x - s)가 s의 구간 [x - 1, x]를 제외하고는 함숫값이 0이므로 적분식을 아래와 같이 고쳐 쓸 수 있습니다. 함수 f와 g 사이에 정의된 연산 f*g에서, 함수 g 대신에 함수 h를 적용하기 위해서는, g(x) = 0(x ∉ [0, 1])이므로 h(x) = 0(x ∉ [0, 1])이어야 하며, <그림 5>에 의하여 위 파란색 부분은 x와 같고, 보라색 부분은 2 - x와 같아야... 치환적분으로 각각을 정리해보면 ①, ② 식 모두 양변을 x로 미분하면 둘 다 h(x) = 1. h(x) = 0 (x ∉ [0, 1])이어야 하므로 결국, 미지의 함수 h는 f와 동일. 다른 풀이입니다... 위 애니메이션에서 보듯이, 함수 f와 g 사이에 정의된 연산 (f*g)(x)는 (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형과 s의 함수 g(x - s) (x-1 ≤ s ≤ x)의 아랫부분이 겹치는 영역의 넓이( = S(x))와 같으므로 0 ≤ (f*g)(x) ≤ 1 그런데, <그림 5> (f*h)(x)의 그래프에서 (f*h)(1) = 1이고, 이것은 s의 함수 h(x - s) (0 ≤ x-1 ≤ s ≤ x ≤ 1)의 그래프와 s축, 직선 s = 1로 둘러 싸인 영역의 넓이( = S(x))가 정사각형의 넓이인 1이 될 때만 가능하므로 h(s) = 1 (s ∈ [0, 1]) h(s) = 0 (s ∉ [0, 1]) 이때, 임의의 실수 x에 대하여 h(x - s) (0 ≤ x-1 ≤ s ≤ x ≤ 1)의 그래프와 s축, 직선 s = 1로 둘러 싸인 영역의 넓이( = S(x))는 x ≤ 0일 때 0이고, 0 ≤ x ≤ 1일 때 x × 1 = x이고, 1 ≤ x ≤ 2 일 때 (1-(x-1)) × 1 = 2 - x이고, x ≥ 2 일 때 0이므로 <그림 5> (f*h)(x)의 그래프와 일치합니다. 이상에서,,, h = f 필요조건과 충분조건을 모두 챙기는 방향으로 논리 전개하였습니다. [문제 3]의 풀이 및 해설입니다... 참고 영상의 연산 A에서 다룬 데이터인 요일별 환자수는 1차원에서 정의되는 데이터이고, 참고 영상과 제시문의 연산 A에서 다룬 회색조 이미지는 2차원에서 정의되는 데이터라고 했을 때,,, 우리 주변에서 발견할 수 있는 "3차원" 및 "4차원"에서 정의되는 데이터는 ??? 먼저, "3차원"에서 정의되는 데이터... ① 회색조 동영상 ② 3차원 공간에서 정의되는 물리량 ③ 3변량 함수에서 세 변량 ① 회색조 동영상 : 우리가 실제로 다루는 동영상이 대부분 MPEG 데이터로서, 2차원 회색조 이미지가 시간 변화에 따라 지속적으로 주어지는 것을 압축한 것인데, 2차원 격자의 x, y축과 시간축을 더해 3차원을 구성하므로 3차원 각 격자의 값은 3차원 데이터에 해당합니다. ② 3차원 공간에서 정의되는 물리량 실제로 우리가 보고 겪고 있는 세계는 3차원 공간인데, 이 공간의 어떤 지점에 존재하는 모든 물리량은 3차원 공간에서 정의되는 것이지요... 가령, 온도, 습도, 미세먼지량 등을 예로 들더라도 x=위도, y=경도, z=고도라 했을 때, 이들은 특정 (x, y, z) 지점에서의 물리량이므로 3차원 데이터에 해당합니다. ③ 3변량 함수에서 세 변량 v = f(x, y, z)라 했을 때, 세 입력 값 x, y, z에 대하여 규칙(관계, 성질) f에 의하여 v가 함숫값으로 결정, 출력되는 것인데, 이때 세 변량 x, y, z는 "3차원"에서 정의되는 데이터에 해당합니다. 가령, 세 물리량으로 습도, 빛의 양, 온도가 주어질 때 어떤 규칙 f에 의해 출력값 v로 광합성 효율이나 불쾌 지수가 결정된다고 하면, 습도, 빛의 양, 온도는 "3차원"에서 정의되는 데이터... 다음, "4차원"에서 정의되는 데이터... ① 3차원 공간에서 정의되는 물리량 즉, 3차원 데이터에 시간의 변화를 추가하면, 3개의 물리량 + 시간 해서 4차원 데이터가 됩니다. 2차원 회색조 이미지의 경우도 3차원 카메라가 있어서 3차원 데이터를 생성할 수 있고 이들을 시간 변화에 따라 지속적으로 포착한다면 3차원 격자의 x, y, z 데이터와 시간축을 더해 4차원을 구성하므로 4차원 각 격자의 값은 4차원 데이터에 해당합니다. ② 4변량 함수에서 네 변량 "3차원"에서 정의되는 ③ 3변량 함수에서 세 변량과 마찬가지로, v = f(x, y, z, w)에서 네 변량 x, y, z, w는 "4차원"에서 정의되는 데이터... 가령, 네 개의 물리량 습도, 광량, 온도, 기압에 의해 물질반응속도가 결정된다고 했을 때, 습도, 광량, 온도, 기압은 "4차원"에서 정의되는 데이터... 3변량 함수, 4변량 함수에서 알 수 있듯이 보다 일반적으로 n변량 함수로 확장하여 함수 f를 정의할 수 있고, 이때 n개의 변량은 "n차원"에서 정의되는 데이터라고 해야 겠습니다... 이상입니다... 참고로 배점은,,, [문제 1-1] 4점, [문제 1-2] 3점, [문제 2] 3점, [문제 3] 2점이었고, 최종 변환 점수는 최근 서울대 및 카이스트의 심층구술면접에 대해서는 아래 링크를 참조하십시오... [서울대 면접구술고사] 2023학년도 서울대 일반전형 구술고사 기출문제 2의 해설 [카이스트 심층구술 면접] 2023학년도 카이스트 일반전형 면접 및 구술고사 기출해설 그리고, 2008학년도부터 2012학년도까지 포스텍 면접 및 구술고사 기출문제의 해설에 대해서는 수리논술·심층면접/카이스트포스텍 카테고리를 참조하십시오. 수학의 힘 ! 진산서당(☏031-276-5536) |