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이 게시글은 2022년 11월 20일 일요일에 치른 동국대학교 2023학년도 논술우수자전형 자연계열 논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문항 시험시간 90분 아래 문제는 2025학년도 논술가이드북에서 인용하였습니다.
[문제 1-(1), (2)]의 풀이 및 해설... 그림의 초록색 부분에서도 알 수 있지만, 제시문 [나]에 의하여 초점 F에서 출발한 빛은 점 G에서 반사하여 x축에 평행하게 직진하므로 점 P의 y 좌표는 2√2. 초록색 이등변삼각형에서의 대칭성과 빛의 진행 경로에 대해서는 게시글 [이차곡선] 포물선의 성질 모음 - 수지수학학원 진산서당에 있는 성질 (1), (2), (3), (4) 등에서 그 의미와 증명을 상세히 다루고 있으므로 참조하십시오. [문제 1-(3)]의 풀이 및 해설입니다... 위 그림을 보면 점P에서 반사하므로 입사각 α = 반사각 β가 되는 것이겠고... 선분 PG와 x축의 평행에 의해 엇각의 크기가 같으므로 α = γ = π/6이고, 점 P에서 α의 맞꼭지각이 역시 π/6. 평행선에서 동위각의 크기가 같으므로 δ = β + α의 맞꼭지각 = π/6 + π/6 = π/3. 따라서 δ = π/3
[문제 2]의 풀이 및 해설입니다... 제시문 [가]의 ① 기댓값의 정의에 의하여 E(X) 식 우변의 분모, 분자 각각에 △x를 곱한 후 양변에 극한을 잡는다치면, 제시문 [나]의 정적분의 정의(또는 무한급수와 정적분의 관계)와 제시문 [다]의 극한 연산의 기본 성질에 의하여 아래와 같이 핑크색 E(X)의 극한식을 얻을 수 있습니다... 주어진 g(x) 식을 가지고 분모, 분자 각각을 정적분하여 E(X)의 극한값을 구하면 다음, V(X)의 극한값... 제시문 [가]의 ② 분산의 정의로부터 얻은 두 번째 공식 V(X) = E(X2) - (E(X))2을 적용하기 위해서 위에서와 같은 방법으로 E(X2)의 극한값을 먼저 계산하면, 앞에서와 같이 부분적분법으로 x2g(x)를 [0, 1]에서 정적분하여 마무리하면,
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... 위 그림과 수식을 참조해서 규칙을 찾아 일반적으로 정리하면, 물체 M이 x축에 n번째로 충돌한 시각 tn에서 y축 방향으로 튕겨 올라가는 속도를 bn이라 하면 수열 { bn }은 b0 = b, b1 = b/2, b2 = b/4, b3 = b/8, …로써, 공비 1/2인 등비수열이므로 bn = b / 2n. 물체 M이 n번째 포물선을 그리는 동안 걸리는 시간이 tn - tn-1(단, t0 = 0)이고 y축 방향으로 튕겨 올라가는 시점의 출발 속도가 bn-1이므로 t의 구간 [tn-1, tn]에서 물체 M의 위치의 y 성분이 0이상 임을 생각하면, 수열 { tn - tn-1 } 즉, 계차수열(☞ 네이버 수학백과)이 공비 1/2이고 첫째항이 t1 - t0 = 2b/g인 등비수열입니다. 축차대입법(逐次代入法, step by step)으로 일반항 tn을 구하면, 수열 { tn }은 첫째항이 2b/g이고 공비가 1/2인 등비수열임을 알 수 있고... 따라서 n → ∞일 때 시각 tn의 극한은 4b / g가 됩니다. 이 시각 이후로는 더 이상의 충돌은 없다는 의미겠죠? [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-1]의 모든 포물선과 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 문제입니다. t의 구간 [tn-1, tn]에서 물체 M이 그리는 n번째 포물선의 자취 방정식을 구해서 그때의 넓이 An을 계산하면 프랙탈 포물선의 자기 닮음에 의하여 두번째 포물선의 넓이 A2를 구하면 넓이 수열 { An }의 공비를 얻을 수 있으므로,,, 도형의 넓이를 S라 하면 무한등비급수의 합의 공식에 의하여 [문제 3-3]의 풀이 및 해설입니다... t의 구간 [tn-1, tn]에서 물체 M이 그리는 n번째 포물선과 x축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 Vn이라 하면, [문제 3-2]에서와 마찬가지로 프랙탈 포물선의 자기 닮음에 의하여 첫 번째 포물선에 의한 부피 V1과 두 번째 포물선에 의한 부피 V2를 구하면 수열 { Vn }은 첫째항이 V1이고 공비 r = V2 / V1이므로 무한등비급수의 합의 공식으로 문제의 입체도형의 부피 V를 얻을 수 있게 됩니다. 이상입니다... [동국대 수리논술] 동국대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 동국대학교 논술우수자전형 자연계열 수리논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. (준비중) 수학의 힘 ! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 동국대학교 2024학년도 논술우수자전형 자연계열 모의논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 90분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2-1.2023년(2024학년도대비)온라인모의논술문제(자연).pdf
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2-2.2023년(2024학년도대비)온라인모의논술해설(자연).pdf
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윷가락의 배(평평한 면)와 등(둥근 면)이 나타날 확률이 각각 둥근 면과 평평한 면의 겉면적에 비례한다고 하였습니다. 둥근 면의 겉면적은 1cm × (2π-θ) × 10cm이고, 평평한 면의 겉면적은 dcm × 10cm이므로 배와 등이 나타날 확률의 비는 (2π-θ) : d 한편, 1000번의 시행에서 도, 개, 걸, 윷, 모의 결과가 나온 빈도 표로부터, 4000(4 × 1000)개의 윷가락을 던졌을 때 둥근 면과 평평한 면이 나온 횟수의 비를 살펴 보면 배(평평한 면)의 개수 = 110×1 + 311×2 + 384×3 + 179×4 + 16×0 = 2600에서 배(평평한 면)와 등(둥근면)이 나온 횟수의 비가 2600 : 1400 = 13 : 7이므로 통계적 확률의 비 = 13/20 : 7/20 = 13 : 7. 4000번의 시행이 충분히 크므로 제시문 (다)에 의하여 배와 등이 나올 확률의 비 = (2π-θ) : d = 13 : 7 따라서 현 AB의 길이 d는
이상입니다... [동국대 수리논술] 동국대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 동국대학교 논술우수자전형 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. (준비중) 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 지난 6월 중순에 온라인으로 치른 동국대학교 2023학년도 논술우수자전형 자연계열 모의논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 90분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2-1.2022년(2023학년도대비)온라인모의논술문제(자연).pdf
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아래 애니메이션에서 주황색은 이 문제의 풀이와 직접적인 관련이 없습니다. 다만, 원에 내접하는 사각형 ABCD에서 한 내각 A의 크기가 60°이고 대각선 BD의 길이가 8일 때 외접원의 반지름이 어찌되는지를 먼저 살펴 그림을 그리기 위한 용도... 내접사각형의 둘레의 길이가 22일 때 아래 파란색 두 변 CB와 CD의 길이의 합의 범위는??? 아래 애니메이션에서 파란색 수식을 먼저 보셔야 합니다... 파란색 삼각형만을 살피면 파란색 두 변의 길이의 합은 변 BD의 길이인 8보다는 커야 하며, 가장 클 때가 핑크색 대칭의 중심에 꼭짓점 C가 올 때죠... 코사인제2법칙을 만족하는 c, d에 대하여 합 c + d를 x라 두었을 때 합 x와 곱 x2 - 64는 ① 또는 ②와 같이 산술·기하평균 부등식이나 이차방정식의 실근조건을 충족하므로 x의 범위를 알 수 있습니다. 직관한 것과 같고 그 증명이지요... 합 c + d를 x로 두고 ① 또는 ②와 같은 방식으로 x의 범위를 굳이 다시 확인한 까닭은 뭘까요??? 이는 내접사각형의 네 변의 둘레가 22라는 조건도 충족되어야 하기 때문에 이를 확인하기 위해서입니다. 보라색으로 이를 확인하였습니다. 네 변의 둘레의 길이가 22라는 조건을 배제한 상태에서 a, b의 합이나 곱을 가지고 ① 또는 ②와 똑같은 방식으로 살펴 보면 8 < a + b ≤ 16입니다... 이는 a + b + c + d = 22를 항상 충족하는 내접사각형 ABCD가 존재함을 의미하고, 실제로 파란색 수식에서 얻은 x의 범위보다 보라색 수식으로 살펴본 x의 범위는 6 ≤ x <14으로 더 널널하게 되지요... 다만, 위 애니메이션에서 보듯이 꼭짓점 C가 결정되면 보라색 삼각형의 꼭짓점이 A 또는 A'로 결정됩니다. 다음,,, 내접사각형의 넓이가 최대가 될 때 길이가 최대일 때와 마찬가지로, 움직이고 있는 파란색 꼭짓점 C가 핑크색 대칭의 중심에 올 때입니다.
이상은 스넬의 법칙을 만족하는 동점 P의 위치 x = 1을 구해서 처리한 풀이입니다... 제시문 (나)의 스넬의 법칙을 전혀 염두에 두지 않고, 점 A에서 출발하여 x축 위의 점 P(x, 0)에서 굴절했을 때 걸리는 최소시간을 계산해 보겠습니다. 위 풀이에 있는 걸린 시간을 f(x)로 두고 미분하는 풀이지요... 스넬의 법칙을 이용했을 때와 똑같은 식이 얻어지네요. ㅎ
수직선 운동을 하는 두 점 P, Q의 시각 t에서의 위치가 각각 x, y입니다. 시각 t에서 만나기 위해서는 아래 i)식이 성립해야 하고, 만났을 때의 속도가 같기 위해서는 아래 ii)식이 동시에 성립해야 합니다. 이 둘을 연립하면 c = 2를 얻지요... 그리고, 이때의 시각 t의 값 π/6, 5π/6, 13π/6, … 와 위치 3/2을 핑크색으로 표시해 주었습니다. 시각 t에 대한 위치함수의 그래프에서 접선의 기울기가 속도죠... ① cost = 0인 t의 값에서 파란색, 보라색 두 곡선의 접선의 기울기가 0으로 같고, ② sint = c/4 = 1/2인 t의 값에서 만날 때 공통접선이 되면서 그 기울기가 같게 됨을 그래프로 짐작할 수 있습니다. 다음,,, 두 점 P, Q 사이의 거리가 처음으로 최대가 될 때의 시각 t = ? 이 때 점 Q의 속도와 가속도는? t= 3π/2일 때이고 점 Q의 속도 vQ는 0이지요... 그래프 상으로 보라색 위치함수의 극댓값에서 접선의 기울기는 0임을 확인할 수 있고,,, 가속도는 -2. 접선과 수직 방향입니다. 이상입니다...
아래는 최근 동국대학교 수리논술 기출문제의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다. [동국대 수리논술] 2022학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2022학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2021학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2021학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2020학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2020학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2019학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2019학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설 [동국대 수리논술] 2018학년도 동국대학교 수리논술 기출문제 풀이 및 해설 [동국대 수리논술] 2015학년도 동국대학교 수리논술 기출문제 해설 [동국대 수리논술] 2015학년도 동국대학교 수리논술(모의논술) 기출문제 해설 이밖에도 한양대, 인하대, 고려대, 서울대, 연세대, 성균관대, 서강대, 광운대, 아주대, 이화여대, 건국대, 중앙대, 경희대, 단국대, 가톨릭대, 홍익대, 덕성여대, 서울시립대, 성신여대, 한기대, 카이스트, 항공대, 지스트, 울산대, 한양대에리카, 부산대, 경북대, 숙명여대, 연세대 미래캠퍼스, 고려대 세종캠퍼스 등 대학을 불문하고 수리논술 전체의 기출문제에 대한 풀이 및 해설을 꾸준히 포스팅해 왔습니다. 또한, 카이스트 심층구술면접, 서울대 심층구술면접, 고려대 심층구술면접, 연세대 심층구술면접, 포스텍 심층구술면접도 이 카테고리에서 계속하여 다루어 왔습니다. 함께 참조하십시오. 그리고, 수학의 힘 ! 진산서당(☏031-276-5536) |