|
|
이 게시글은 2023년 11월 24일 금요일에 치른 2024학년도 서울대학교 대학 신입학생 수시모집 일반전형 면접 및 구술고사 수리영역 기출문제의 풀이 및 해설,,, 그 두 번째 포스팅입니다... 이 문제의 활용 모집단위는 자연과학대학 수리과학부, 통계학과와 사범대학 수학교육과입니다. [문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 시각 t에서 수직선 위의 5 개의 점 Pk (k = 1, 2, …, 5) 의 위치를 xk라 하면 xk = -k + vkt이고, 각 점의 위치를 xy 좌표 평면 위에 (t, xk)로 함께 표시하면 아래와 같습니다. 기울기를 감안해서 몇 개의 교점만을 살펴 보면, t = 1/12에서 P3와 P4가 처음으로 만나서 사라지고, 이어서 t = 3/16에서 P2와 P5가 만나서 사라지므로 사라지지 않고 계속 움직이는 점은 P1 [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 양의 정수 a, b와 규칙 [나]를 함께 생각하면, a로 가능한 값은 1, 2, 3이고, b로 가능한 값은 9, 10, 11, 12, 13, 14입니다. 점 P6과 P7이 만나서 사라지므로 이 두 점은 더 이상 생각할 필요가 없겠고,,, ① t = 1/3에서 점 P2와 P3가 만나서 사라지는 경우 일단 여기서 시작해서 여러 경우에 대한 추론을 하기로... 약간의 계산을 통해 가닥을 잡아 나가야 할 듯요... 이 경우 점 P4와 P5가 만나서 사라져야 하므로 -4 + 8t = -5 + bt ⇒ (b-8)t = 1 ⇒ t = 1 / b-8. -1 + at = -5 + bt ⇒ (b-a)t = 4 ⇒ t = 4 / b-a. 1 / b-8 < 4 / b-a ⇒ 3b > 32 - a a = 1 : b ≥ 11 a = 2 : b ≥ 11 a = 3 : b ≥ 10 각 a에 대해서 점 P5가 점 P1보다 P4를 더 먼저 만나서 사라지게 되는 b의 범위가 이와 같으므로 점 P1이 사라지지 않게 되는 순서쌍 (a, b)는
(2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 10), (3, 11), (3, 12), (3, 13), (3, 14) a = 1인 경우는 t = 1/3에서 점 P1도 함께 만나서 사라지게 되므로 제외... ② t < 1/3에서 점 P4와 P5가 만나서 사라지는 경우 t < 1/3에서 점 P2, P3, P4 중에서 점 P5가 가장 먼저 만나게 되는 점이 P4이므로 1 / b-8 < 1/3 ⇒ b > 11 이때는 점 P2와 P3가 만나서 사라져야 하는데, 이 경우가 ①에서 이미 체크한 b = 12, 13, 14인 경우로군요... [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 이웃하는 두 점이 만나서 사라질 때 xk = xk+1 (k ≤ 49) 범위의 경우 -k + (k2 + d)t = -(k+1) + ((k+1)2 + d)t에서 t = 1 / 2k+1이므로 k가 클 수록 먼저 만나서 사라집니다. xk = xk+1 (k ≥ 51) 범위의 경우 -k + (k2 + d + 9)t = -(k+1) + ((k+1)2 + d + 9)t에서 t = 1 / 2k+1이므로 마찬가지 상황입니다. x50 = x51인 경우를 살펴 보면 -50 + (502 + d)t = -51 + (512 + d + 9)t에서 t = 1/110으로써 k = 49일 때 1/99보다 작으므로 P49와 P50이 짝이 되지 못하고 P50과 P51이 짝이 되어 먼저 사라집니다. x49 = x52인 경우를 살펴 보아야 겠죠? -49 + (492 + d)t = -52 + (522 + d + 9)t에서 t = 1/104으로써 아래 k = 51일 때 1/103보다 작으므로 P51과 P52가 짝이 되지 못하고 P49와 P52가 짝이 되어서 먼저 사라집니다. k = 51일 때 1/103 k = 52일 때 1/105 k = 53일 때 1/107 k = 54일 때 1/109 k = 55일 때 1/111 k = 1부터 99까지 이웃하는 두 점이 만나는 시각을 모두 적어 보면, 1/3 > 1/5 > … > 1/98 > 1/110 < 1/104 > 1/107 > … > 1/109 > 1/111 > … > 1/198. 그렇다면,,, 제일 처음으로 만나서 사라지는 점은 P99와 P100이고, 그 다음 두 점은 P97과 P98, 이런 식으로 P95와 P96, …, P53과 P54까지 먼저 사라지는군요... 이때 시각이 t = 1/107. 도중에 P50과 P51이 t = 1/110에서 사라지겠군요... 따라서 시각 t = 1/106에서 사라지지 않고 남아있는 점이 P1, P2, P3, …, P48, P49, P52이므로 남아 있는 점의 개수는 50. [문제 2-4]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-3]에서 검토한 바를 정리하면, 두 점이 만나서 사라지는 시각은 양의 정수 d의 값과는 무관하며,,, 사라지는 순서대로 적어 보면 P99와 P100, P97과 P98, …, P55와 P56, P50과 P51, P53과 P54, P49와 P52, P47과 P48, P45와 P46, …, P1과 P2 파란색 50개의 점이 t ≤ 1/107에서 사라졌고, 보라색 50개의 점이 t ≥ 1/104에서 순차적으로 사라지고 있습니다. P53과 P54가 원점을 통과한 뒤 만나서 사라졌다고 가정하고 d의 값을 한 번 살펴 보겠습니다. x53 = -53 + (532 + d + 9) × 1/107 > 0에서 d > 54 × 53 - 9 = 2853 k ≥ 53일 때 일반적으로 xk = -k + (k2 + d + 9) × 1/(2k+1) > 0에서 d > k(k+1) - 9이므로 d ≤ 2853이라면 48개의 점 P53 ~ P100이 원점을 통과하지 못하고 사라지게 되고,,, P47과 P48이 원점을 통과한 뒤 만나서 사라졌다고 가정하고 d의 값을 살펴보면, x47 = -47 + (472 + d) × 1/95 > 0에서 d > 48 × 47 = 2256 k ≤ 47일 때 일반적으로 xk = -k + (k2 + d) × 1/(2k+1) > 0에서 d > k(k+1)이므로 d > 2256이어야 48개의 점 P1 ~ P48이 원점을 통과한 후 사라집니다. P50과 P51의 경우는 d > 60 × 50 = 3000 P49와 P52의 경우는 d > 55 × 49 = 2695 이므로 d > 2695가 되어야 비로소 50개의 점이 원점을 통과한 뒤 사라지게 되네요... 이상으로부터 원점을 통과한 뒤 사라진 점의 개수가 50이 되도록 하는 양의 정수 d의 범위가 2696 ≤ d ≤ 2853이므로 양의 정수 d의 개수는 158 ※ 정답지가 옆에 없는 관계로 이상의 풀이가 맞는지는 아직 확신하지 못하겠네요... ㅎ 이상입니다... [서울대 심층면접] 서울대학교 면접 및 구술고사 수학 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울대학교 일반전형 제시문기반 면접 및 구술고사 수리영역 수학 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 그리고 2012학년도 이전의 심층구술면접, 논구술, 정시논술 등도 덧붙였습니다. 주제별, 영역별, 활용 모집단위별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 구성하였습니다. 수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536)
공감
이 글에 공감한 블로거 열고 닫기
댓글
1
이 글에 댓글 단 블로거 열고 닫기
|
이 게시글은 2023년 11월 24일 금요일에 치른 2024학년도 서울대학교 대학 신입학생 수시모집 일반전형 면접 및 구술고사 수리영역 기출문제의 풀이 및 해설,,, 그 첫 번째 포스팅입니다... 이 문제의 활용 모집단위는 자연과학대학 수리과학부, 통계학과와 사범대학 수학교육과입니다. [문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 미분으로 두 접선의 방정식을 작성해서 연립하여 교점 A의 좌표를 구한 후, 점과 점 사이의 거리 공식으로 식을 정돈하였습니다... 계산이 맞았나 모르겠어요... 두 접선이 직교할 때를 생각하면 기울기의 곱 2p × 2q = -1에서 4pq = -1을 대입하면, 식의 값이 1이 되고는 있습니다. 피타고라스의 정리가 성립하네요... 게시글 [이차곡선] 포물선의 성질 모음 - 수지수학학원 진산서당의 성질 24를 보시면 포물선의 두 접선이 직교할 때의 여러가지 성질들을 살피고 있는데,,, 이때 교점은 항상 준선 위에 놓이고, 빗변 PQ는 초점을 지나지요... 그리고 교점 A의 x좌표는 선분 PQ의 중점의 x좌표와 항상 같아지는데, 이에 대해서는 위에 링크한 게시글의 (8)번 성질에서 다루고 있습니다. [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... 미분으로 y = f(a) 즉, y = f(x)의 최댓값과 최솟값을 구하면 되겠고,,, (2) 방정식 f(x) = t의 실근의 개수는 아래 주홍색 곡선 y = f(x)와 파란색 직선 y = t의 교점의 개수와 같고, x → ±∞일 때 f(x)의 극한값이 1이고 m < 1 < M이므로 t = 1일 때는 교점이 1개, 그밖의 경우는 2개. [문제 1-4]의 풀이 및 해설입니다... 포물선의 두 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 두 접점을 연결한 직선과 포물선으로 둘러싸인 영역의 절반입니다. 여기에 대해서는 앞에서 링크한 포물선의 성질 모음 게시글의 14-2번 성질을 참조하십시오... 두 접점을 연결한 직선과 포물선으로 둘러싸인 영역 - 위 애니메이션에서 녹색 활꼴 부분 -의 넓이는 우리가 익히 알고 있는 공식으로 얻으면 되구요... 이상입니다... [서울대 심층면접] 서울대학교 면접 및 구술고사 수학 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울대학교 일반전형 면접 및 구술고사 수리영역 수학 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 그리고 2012학년도 이전의 심층구술면접, 논구술, 정시논술 등도 덧붙였습니다. 주제별, 영역별, 활용 모집단위별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. 수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 2022년 11월 25일 금요일에 치른 2023학년도 서울대학교 대학 신입학생 수시모집 일반전형 면접 및 구술고사 수리영역 기출문제의 풀이 및 해설 시리즈... 그 마지막 포스팅으로 1번 문제입니다. 수학 기출문제 2번과 3번은 아래 게시글을 참조하십시오. [서울대 심층구술면접] 2023학년도 면접 및 구술고사 기출문제 3의 해설 수학1A/수학1B, 자연계열 첫 번째 문제. 수학 1A 문제의 활용 모집 단위는 자연과학대학 수리과학부, 통계학과, 사범대학 수학교육과이고, 수학 1B 문제의 활용 모집단위는 공과대학, 농업생명과학대학 조경·지역시스템공학부, 바이오시스템·소재학부, 산림과학부, 약학대학입니다. 수학 1A에서는 함수 g(x)를 세 번 합성하였고, 수학 1B에서는 두 번 합성한 차이만 있습니다. 순서대로, 세 번 합성한 수학 1A를 먼저 다룬 후 이어서 수학 1B를 가볍게 언급하는 방향으로 포스팅하려 합니다. 최근년도의 서울대 출제 경향과 기출 해설에 대해서는 이 포스팅의 끝에서 안내하고 있으니 참조하십시오...
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 앞단계 함숫값의 범위를 가지고 각 범위별로 다음 단계의 함수식을 얻은 후, 대칭성을 이용하여 각 범위별로 그래프를 그리면,,, 파란색이 y = g(g(x)), 보라색이 y = g(g(g(x)))의 그래프... 따라서 미분가능하지 않은 점의 개수는 9. [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... ① a ≤ 0, ② 0 < a ≤ 1/2인 경우입니다. [문제 1-1]에서와 마찬가지로 파란색은 g(g(x))의 그래프이고, 보라색이 g(g(g(x)))의 그래프. ③ 다음은 1/2 < a < 1 왼쪽 검은색 g(x)를 계속 적용할 경우 2a배가 되므로, 최초의 경계인 1/2에서 거꾸로 2a씩 나누어 줌으로써 새로운 경계 1/ 4a, 1/8a2을 얻을 수 있습니다. ④ 마지막으로 a > 1 [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2]의 ①번 a < 0일 때,,, g(x) < 0이고 g(g(g(x))) = 0이므로 등식을 만족시키는 a 없음. a = 0일 때 g(x) = 0, g(g(g(x))) = 0이므로 등식 성립. [문제 1-2]의 ②번에서 a = 1/2일 때,,, 0 ≤ x ≤ 1/2 범위에서 g(x) = 2ax ≤ a = 1/2이고 g(g(g(x))) = 8a3x ≤ 4a3 = 1/2로 최댓값(삼각형의 높이)가 같고, 그래프가 (0, 0)과 (1/2, 1/2)을 연결한 선분이고 x = 1/2에서 좌우 대칭임을 생각하면 g(g(g(x))) = g(x)이므로 등식이 성립하고, 0 < a < 1/2일 때는 g(g(g(x))) = 8a3x ≤ 4a3 < 1/2이므로 등식을 만족시키는 a 없음. a = 1일 때 [문제 1-1]에서 보듯이,,, 구간 [0, 1]에서 g(x)의 정적분은 검은색 삼각형의 넓이 = 1/2 × 1 × 1 = 1/2이고, g(g(g(x)))의 정적분은 보라색 네 삼각형의 넓이의 합과 같으므로 4 × 1/2 × 1/4 × 1 = 1/2로 등식 성립. a > 1일 때 [문제 1-2]의 ④번에서 보듯이,,, 합동인 보라색 네 삼각형의 높이는 검은색 삼각형의 높이 a와 같지만, 밑변의 총합이 1보다 작으므로, 1/2 × 밑변 총합 × a < 1/2 × 1 × a가 되어 등식을 만족시키는 a는 없습니다. 1/2 < a < 1일 때는 아래 그림에서 보듯이 보라색 정적분이 검은색 삼각형의 넓이보다 더 큽니다... 이상에서,,, 등식이 성립하는 실수 a의 값은 0, 1/2, 1
[문제 1-1]의 풀이 및 해설 수학 1A의 [문제 1-1]의 풀이에 있는 파란색 그래프가 합성함수 g(g(x))의 그래프입니다. 미분가능하지 않은 점의 개수는 5. [문제 1-2]의 풀이 및 해설 마찬가지로 수학 1A의 [문제 1-2]의 풀이에서 파란색으로 네 경우별로 그래프를 그려 주었습니다. 합성함수 g(g(x))의 치역 { y | 0 ≤ y ≤ a }에서 그래프가 연속적으로 선분이 대칭을 이루면서 꺾여 있으므로, 미분가능하지 않은 점에서의 함숫값은 a의 범위에 따라 다르지만, 모두가 0보다는 크거나 같고, a보다는 작거나 같습니다. [문제 1-3]의 풀이 및 해설 수학 1A의 [문제 1-3]에서와 마찬가지 까닭으로 등식이 성립하는 실수 a의 값은 0, 1/2, 1뿐일 것입니다. 두 합성함수의 차이를 고려해서 이를 확인해보면,,, [문제 1-2]의 ①번 a < 0일 때,,, g(x) < 0이고 g(g(x)) = 0이므로 등식을 만족시키는 a 없음. a = 0일 때 g(x) = 0, g(g(x)) = 0이므로 등식 성립. [문제 1-2]의 ②번에서 a = 1/2일 때,,, 0 ≤ x ≤ 1/2 범위에서 g(x) = 2ax ≤ a = 1/2이고 g(g(x)) = 4a2x ≤ 2a2 = 1/2로 최댓값(삼각형의 높이)가 같고, 그래프가 (0, 0)과 (1/2, 1/2)을 연결한 선분이고 x = 1/2에서 좌우 대칭임을 생각하면 g(g(x)) = g(x)이므로 등식이 성립하고, 0 < a < 1/2일 때는 g(g(x)) = 4a2x ≤ 2a2 < 1/2이므로 등식을 만족시키는 a 없음. a = 1일 때 [문제 1-1]에서 보듯이,,, 구간 [0, 1]에서 g(x)의 정적분은 검은색 삼각형의 넓이 = 1/2 × 1 × 1 = 1/2이고, g(g(x))의 정적분은 파란색 두 삼각형의 넓이의 합과 같으므로 2 × 1/2 × 1/2 × 1 = 1/2로 등식 성립. a > 1일 때 [문제 1-2]의 ④번에서 보듯이,,, 합동인 파란색 두 삼각형의 높이는 검은색 삼각형의 높이 a와 같지만, 밑변의 총합이 1보다 작으므로, 1/2 × 밑변 총합 × a < 1/2 × 1 × a가 되어 등식을 만족시키는 a는 없습니다. 1/2 < a < 1일 때는 아래 그림에서 보듯이 이상입니다... 최근년도 서울대학교 일반전형 면접 및 구술고사 대비 기출문제 해설집을 안내합니다. 함께 참조하십시오. 2022학년도 기출: [서울대 심층구술면접] 2023학년도 서울대 면접 및 구술고사 대비 기출문제 해설집 안내 2021학년도 기출: [서울대 심층구술면접] 2022학년도 서울대 면접 및 구술고사 대비 기출문제 해설집 안내 2020학년도 기출: [서울대 심층구술면접] 2021학년도 서울대 면접 및 구술고사 대비 기출문제 해설집 안내 2019학년도 기출: [서울대 심층구술면접] 2019학년도 일반전형 면접 및 구술고사 기출문제 풀이집 안내 2018학년도 기출: [서울대 심층구술면접] 2018학년도 서울대학교 면접·구술고사 종합정리 및 기출문제 풀이집 안내 2017학년도 기출: [서울대 심층구술면접] 2017학년도 서울대학교 심층구술면접 종합 정리 심층면접, 심층구술면접의 탐구 수지수학학원 진산서당 블로그에서는 서울대학교 수시 일반전형 면접 및 구술고사의 최근 기출문제에 대한 풀이 및 해설을 제공하고 있을 뿐만 아니라, 2015년 이전의 심층면접, 정시 논구술 등에 대해서도 풀이 및 해설을 제공해 왔습니다. 게시글 [서울대 기출 풀이 여행] 시작하는 글(공대2012벡터) - 수지수학학원 진산서당 에 년도별 풀이 및 해설에 대한 링크를 모두 모아 두었으니 참조하십시오. 일부는 주제별로 분류도 되어 있구요. 그리고, 서강대, 성균관대, 한양대, 고려대, 서울대, 연세대, 카이스트, 포스텍 등 수리논술 및 심층구술 전체의 기출문제 풀이 및 해설도 오랜 시간 포스팅해 왔습니다. 진산수학서당 블로그 수리논술·심층면접 카테고리를 참조하십시오. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |