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이 게시글은 2023년 9월 23일 토요일에 치른 연세대학교 2024학년도 수시모집 논술전형 자연계열 수학 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 예상소요시간은 수학(60점) 4문항에 90분, 과학(40점)은 물, 화, 생, 지 택일하여 60분 전체 시험시간 150분 아래는 입학처 통합자료실에 있는 문제지 원본입니다. 다운로드, 출력하셔서 먼저 시험을 치르기를 권장합니다.
2. 2024학년도 연세대학교 대학별고사 선행학습 영향평가 결과보고서 별책(기출문제).pdf
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[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 원점에서 오른쪽으로 출발하여 방향 전환을 정확히 5회 하는 경우에 로봇이 움직이는 방향이 Right → Up → Right → Up → Right → Up과 같으므로, 원점에서 출발한 로봇은 Right 방향으로 3회 직진하고 Up 방향으로 3회 직진하여 점 (21, 21)에 도착합니다. Right 방향 3회의 직진 구간의 길이를 차례대로 x1, x2, x3, Up 방향 3회의 직진 구간의 길이를 차례대로 y1, y2, y3라 두면, x1 + x2 + x3 = 21, y1 + y2 + y3 = 21이고 x1, x2, x3, y1, y2, y3는 모두 자연수. 이를 만족하는 순서쌍 (x1, x2, x3, y1, y2, y3)의 개수가 경로의 수와 같으므로 x1 + x2 + x3 = 21 (x1, x2, x3 ≥ 1) x1' = x1 - 1, x2' = x2 - 1, x3' = x3 - 1로 두면 x1' + x2' + x3' = 18 (x1, x2, x3 ≥ 0)이고, 만족하는 순서쌍 (x1, x2, x3)의 개수는 3개에서 18개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 3H18 = 20C18 = 20C2 = 190. y1 + y2 + y3 = 21 (y1, y2, y3 ≥ 1)을 만족하는 순서쌍 (y1, y2, y3)의 개수도 마찬가지로 190이므로, 결국, 경로의 수는 1902 = 36100 [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 로봇이 음이 아닌 정수점에서만 방향 전환을 하므로 정수점이 아닌 점에서 로봇은 Right 방향 또는 Up 방향으로 직진할 때임을 생각하면, 주황색에서 보듯이 원 위의 점 (x, y)에 대하여 x 또는 y 중 적어도 하나가 정수일 때 로봇(단, 한 점으로 간주)은 원 모양 테두리에 닿게 되고 이때 멈춥니다. 그리고, 아래쪽 파란색은 [문제 1-1] 5회 방향 전환하는 예를 그려 본 것입니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 무한급수와 정적분의 관계에 관한 문제로군요... 핑크색 식의 우변의 극한을 정적분으로 구할 수 있으므로 수열 { lna2n / n - lnan / n - ln2n }은 수렴하고 극한값은 아래와 같습니다. [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 조건 (가), (다)를 먼저 살피면,,, bn은 ancn의 약수가 아니다 ⇒ bn은 (n!)cn의 약수가 아니다 ⇒ bn은 ncn(n-1)cn…2cn의 약수가 아니다. 그런데, bn의 모든 소인수는 n이하이다... (이게 가능하다면) 그렇다면, bn의 어떤 소인수 pn에 대하여 pn의 소인수분해했을 때의 거듭제곱꼴이 pncn보다 큰 경우가 존재하므로 이 pn에 대하여 pncn+1은 bn의 약수입니다. 이를 조건 (나)와 엮으면
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... 1 ≤ i ≤ 20 범위의 자연수 i에 대하여 20쌍을 이루는 두 카드 각각에 적힌 수를 ai, bi라고 하면, 20개의 카드 쌍에서 임의로 한 쌍을 고를 확률이 1/20이므로 따라서 ai, bi의 선택 즉, 20쌍을 만드는 방법과 상관없이 확률변수 X의 평균 E(X)의 값은 0으로 일정. [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... 파란색 총합이 [문제 3-1]에서처럼 계산하면 20쌍을 만드는 방법과 상관없이 항상 일정한 값(2 × (12+22+…+202))을 가지므로 보라색 부분이 최대가 될 때 분산 V(X)의 값은 최대가 됩니다. 보라색 aibi의 총합이 최대가 되기 위해서는 양수는 양수끼리 음수는 음수끼리 짝을 이루어야 하는 것은 당연하고, 20×19, 18×17, …, 2×1과 같이 큰 수에서부터 그 다음 큰 수끼리 짝을 이루어서 곱한 것들의 총합이 최대가 되지 않겠느냐고 생각하면, 녹색 부분에 대한 수리적 증명이 꼭 있어야 겠습니다... 1 ≤ x, y ≤ 18인 임의의 두 자연수 x, y에 대하여 일반성을 잃지 않고, (a1, b1) = (20, 19), (a2, b2) = (x, y)로 20, 19가 짝을 이룰 때와 (a1, b1) = (20, x), (a2, b2) = (19, y)로 짝을 이루지 않을 때를 가지고 각각 10개의 카드 쌍에 적힌 두 수의 곱의 총합을 비교하면 아래에서 보듯이 20과 19가 짝을 이루었을 때 곱의 총합이 더 큽니다. 계속해서, 20과 19가 적힌 두 카드를 제외한 9개의 카드 쌍에 대하여 이와 같은 과정을 반복하면 두 수의 곱의 총합은 18과 17이 쌍을 이룰 때 최대가 되고, 다음 단계에서는16과 15가 쌍을 이룰 때 최대가 되고,,, 따라서 20과 19, 18과 17, …, 2와 1이 짝을 이룰 때 두 수의 곱의 합이 최대. 음의 정수도 마찬가지...
아래는 제시문의 뜻에 맞게 만든 애니메이션입니다. 점 Q의 자취는 점 P를 지나 벡터 v에 평행한 직선 위의 점인데, t ≥ 0이므로 벡터 v와 같은 방향의 반직선. 네 점 P1, P2, P3, P4와 이에 대응하는 네 벡터 v1, v2, v3, v4를 가지고 네 개의 반직선 l1, l2, l3, l4를 각각 파란색, 보라색, 주황색, 녹색으로 그렸습니다. 반직선 벡터 PiQi는 t의 값을 증가시켜 가면서 진하게 그렸구요... 그리고, 제시문 (가)에 의해 생성되는 교점 P를 Pi, j로 표시했습니다. 반직선 li, lj의 교점이 Pi, j. 양의 실수 a에 대하여, 벡터 avi + vj 또는 vi + avj를 점 Pi, j를 시점으로 하는 평행이동한 벡터의 종점이 두 반직선 li, lj의 사이 영역에 존재하므로 결국 점 R 또는 점 S의 자취 또한 두 반직선 li, lj의 사이 영역이 됩니다. 마지막으로 제시문 (나)를 적용한 교점의 한 예에 대하여 새로이 생성된 반직선의 자취 영역을 오른쪽에 흐릿하게 칠해 주었습니다. [문제 4-1]의 풀이 및 해설입니다... 처음 네 반직선 중에서 파란색, 보라색 두 반직선 l1, l2에 대하여 제시문 (가)에 의해서만 생성되는 반직선에 대해서 일단 좁혀서 생각해보는 문제입니다. 반직선들을 직선의 방정식으로 나타내어서 해결해 보겠습니다. 파란색 반직선 l1의 방정식 : y = 4 (x ≤ 6) 보라색 반직선 l2의 방정식 : x = 1 (y ≤ 5) 벡터 av1 + v2 또는 v1 + av2 에 평행한 직선의 기울기 m은 임의의 양수이고, a > 0일 때 두 반직선 l1, l2의 교점 P(1, 4)를 지나 반직선 l1의 아래쪽, l2의 왼쪽에 그려지는 모든 반직선이므로, 이 반직선들의 방정식은 y = m(x - 1) + 4 (m > 0, x < 1). 즉, 점 R 또는 S의 존재 영역은 x < 1, y < 4이므로 새로이 생성되는 반직선 PR 또는 PS는 점 A(2, 2)를 지나지 않습니다. A(2, 2)를 반직선의 방정식에 대입해보면, 2 = m(2 - 1) + 4에서 m < -2이므로 m > 0와 모순. 아래는 대학측 문항 해설에 있는 벡터 내적을 이용한 풀이입니다... 새로이 생성되는 반직선들의 방향을 가리키는 벡터 av1 + v2 또는 v1 + av2에 수직인 벡터는 각각 벡터 PR 또는 벡터 PS와 수직이므로 벡터 PR 또는 벡터 PS와 각 수직벡터의 내적은 0입니다. 벡터 PA와 이들 수직벡터의 내적의 값이 0이 아니면 점 A는 반직선 PR 또는 PS 위의 점이 아니므로 점 A를 지나는 양의 실수 a가 존재하지 않게 됩니다. 벡터 av1 + v2를 성분표시하면 (-a, -1)이므로 한 수직벡터 w를 (1, -a)라 하면 벡터 v1 + av2를 성분표시하면 (-1, -a)이므로 한 수직벡터 w를 (a, -1)이라 두고, 수직벡터 w와 벡터 PA의 내적을 계산하면 (a, -1)·(1, -2) = a + 2 > 0 이상으로부터 점 A는 벡터 PR 또는 벡터 PS 위의 점이 될 수 없으므로 모든 양의 실수 a에 대하여 새로이 생성되는 반직선 PR 또는 PS는 점 A를 지나지 않습니다. [문제 4-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상은 크게 어렵지 않다 하겠는데,,, 이 문항은 나머지 두 반직선 l3, l4를 포함하여 제시문 (가) 뿐만 아니라 제시문 (나)를 통해 계속해서 생성되는 무수히 많은 반직선들이 모두 점 A를 지나지 않음을 보이는 문제라 할 수 있습니다. 문제의 조건을 보다 일반화하여 일반 증명으로 이끌어내는 힘을 평가하는 문제라고 해야겠습니다. 먼저, 네 반직선 l1, l2, l3, l4에 대하여 제시문 (가)에 의해서만 새로이 생성되는 반직선이 점 A를 지나지 않는데 대하여,,, [문제 4-1]의 앞 풀이에서처럼 새로이 생성되는 반직선의 방정식을 작성해서 이들이 점 A를 지나지 않음을 확인할 수도 있겠지만, 대학측 풀이와 같이 수직벡터를 이용해서 증명해 보겠습니다. 평행벡터를 이용해도 되지만, 수직벡터와의 내적이 깔끔... 1이상 4이하의 i, j에 대하여 벡터 avi + vj 또는 vi + avj를 벡터 v, 벡터 v와 수직인 벡터를 벡터 w, 반직선 li, lj의 교점을 P, 벡터 v에 평행하고 교점 P를 시점으로 하는 벡터를 PR이라 두고, 가능한 모든 벡터 v, w에 대하여 수직벡터 w와 벡터 PA의 내적이 0이 아님을 보이면 되겠습니다. [문제 4-1]의 반직선 l1, l2에 대한 경우를 한 번 더 적어본 것인데, 아래 다른 두 반직선의 쌍에 대해서도 벡터 v = (c, d) 일 때 이와 수직인 한 벡터를 w = (-d, c)로 잡도록 하겠습니다. (수식의 색깔은 처음 애니메이션과 같음) 파란색 반직선 l1과 주황색 반직선 l3는 만나지 않습니다. 다음, 네 반직선 l1, l2, l3, l4에 대하여 제시문 (나)의 규칙이 반복적으로 적용될 때 새로이 생성되는 반직선이 점 A를 지나지 않는데 대하여,,, 네 반직선 l1, l2, l3, l4 및 이들로부터 새로이 생성된 반직선들 중 교점을 갖는 임의의 서로 다른 두 반직선을 각각 m1, m2라 하고, m1, m2의 벡터방정식을 아래와 같이 놓았을 때 반직선 R1X1의 방향을 가리키는 벡터 u1 = (c1, d1)에 대하여 한 수직인 벡터를 w1 = (-d1, c1)라 했을 때 [문제 4-1]과 같이 제시문 (가)의 규칙을 따른 ①, ②, ③, ④, ⑤에 의하여 수직벡터 w1과 벡터 R1A의 내적은 0이 아니었을 뿐 아니라 양수였습니다. 반직선 R2X2의 방향을 가리키는 벡터 u2 = (c2, d2)에 대하여 한 수직인 벡터를 w2 = (-d2, c2)라 했을 때 마찬가지로 수직벡터 w2와 벡터 R2A의 내적도 양수... 이제,,, 두 반직선 m1, m2가 점 P에서 만나 새로이 생성된 반직선을 m이라 할 때 반직선 m의 벡터방정식을 아래와 같이 u1, u2를 사용해서 나타낼 수 있고 교점 P가 반직선 m1 위의 점이고 수직벡터 w1와 벡터 R1A의 내적이 양수이므로 교점 P가 반직선 m2 위의 점이고 수직벡터 w2와 벡터 R2A의 내적이 양수이므로, 마찬가지 방식으로 수직벡터 w2와 벡터 PA의 내적도 양수가 됩니다. 그렇다면, 아래에서 보듯이 벡터 PA와 벡터 v의 수직벡터의 내적이 0이 아님을 보임으로써 반직선 m이 점 A를 지나지 않음을 확인할 수 있습니다. 이상으로부터 이상의 로직을 반복적으로 적용해서 새로이 생성된 모든 반직선은 점 A를 지나지 않습니다. 이상입니다... [연세대 수리논술] 연세대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 연세대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 수학 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. 수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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출처는 부산광역시교육청이 편집·발행한 2010학년도 대학별 수리논술고사 분석 수리논술 나침반 II입니다. [문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다. 시각 t에서 평면도형 F의 넓이 S(t)와 같은 크기를 가지는 파란색 법선벡터를 n = (a, b, c)라고 하면, 또, 시각 t에서 도형 F를 xy, yz, zx 평면에 각각 정사영한 도형의 넓이 A(t), B(t), C(t)와 같은 크기를 가지는 빨간색 법선벡터를 각각 n1, n2, n3라 하면 파란색 법선벡터 n과 z축(n1), x축(n2), y축(n3)의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 θ1, θ2, θ3라고 하면, 파란색 법선벡터 n의 방향코사인이 아래와 같으므로
따라서 정사영의 넓이 A(t) = S(t)cosθ1 = c, 마찬가지로 B(t) = a, C(t) = c. 이상으로부터 삼차원 피타고라스의 정리와 같은 꼴이 되는군요... 다른 풀이입니다... 평면도형 F가 xy, yz, zx 평면과 이루는 각을 각각 α, β, γ라 하면 A(t) = S(t)cosα, B(t) = S(t)cosβ, C(t) = S(t)cosγ이고, 방향코사인의 제곱의 합 cos2α + cos2β + cos2γ = 1이므로 이 식에 대입하면 위 빨간색 관계식과 같은 결과를 얻게 됩니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 시각 t(0 ≤ t ≤ 1)에서 xy 평면으로의 정사영의 넓이 A(t) = 0, zx평면으로의 정사영의 넓이 C(t) = 0이면 평면도형 F는 yz평면에 평행합니다. 그렇다면, 평면도형 F가 움직이면서 만드는 입체도형의 시각 t에서 넓이 S(t)는 B(t)와 같고, x축에 수직인 평면으로 자른 입체도형의 단면적이므로 t = 0에서 t = 1까지 평면도형 F가 만든 입체도형의 부피를 V라 하면 부피 V는 단면적 B(t)를 x에 대해서 적분하면 됩니다. 점 P(f(t), g(t), 0)가 시각 t에서 항상 단면 F 위의 점이고, x = f(t)가 증가함수이므로 입체도형의 단면들이 서로 겹치지 않고 도함수 f'(t)가 연속함수이므로 다른 풀이입니다... 그림과 같이 (f(0), f(1))을 n등분하여 각 분점을 xk = f(k/n) (k = 0, 1, 2, …, n)이라 하면 입체도형의 부피 V는 위 그림과 같이 밑면의 넓이가 B(t)이고 높이가 xk+1 - xk인 원판 꼴 모양의 부피의 합과 유사하고, 구간을 점점 잘게 자를수록 구하려는 입체의 부피 V에 근사하므로 함수 f(t)가 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 아래를 만족하는 k*/n가 존재하므로 이 식을 위 리만합의 극한식에 대입해서 무한급수와 정적분의 관계 개념으로 정리해주면 앞 풀이와 같은 결과를 얻게 됩니다. [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다. 시각 t(1 ≤ t ≤ 2)에서 변하지 않고 일정한 평면도형 F의 넓이 S(t) = S라 두면, [문제 1-1]에 의해 S2 = A(t)2 + B(t)2 + C(t)2이고, G(t) = A(t) + B(t) + C(t)이므로 곱셈공식 (A(t) + B(t) + C(t))2 = A(t)2 + B(t)2 + C(t)2 + 2(A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t))에 의하여 (A(t) + B(t) + C(t))2 ≥ A(t)2 + B(t)2 + C(t)2에서 G(t)2 ≥ S2을 얻을 수 있습니다. A(t) ≥ 0, B(t) ≥ 0, C(t)≥ 0에서 2(A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t)) ≥ 0이기 때문. 따라서 G(t)의 최솟값 m = S이고, 등호는 A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t) = 0일 때 즉, 정사영의 넓이 A(t), B(t), C(t) 중 2개가 0일 때 성립하고 이때는 도형 F가 [문제 1-2]에서 살펴 보았듯이 xy, yz, zx 평면 중 어느 한 평면에 평행할 때입니다. 다음, 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 (A(t) + B(t) + C(t))2 ≤ (12 + 12 + 12)(A(t)2 + B(t)2 + C(t)2) (등호는 A(t) = B(t) = C(t)일 때)이므로 G(t)2 ≤ 3S2에서 G(t)의 최댓값 M = √3S 따라서 m = S, M = √3S에서 M = √3m 또한, 시각 t(1 ≤ t ≤ 2)에서 도형 F가 S ≤ G(t) ≤ √3S를 만족하면서 움직이지만, 파란색 또는 보라색 부등식의 등호가 성립하는 상황에서 알고 있는 G(t)로부터 평면도형 F의 고정된 넓이 S를 얻을 수 있게 되지요... 다른 풀이입니다... 이해하기 편하게 A(t) = x, B(t) = y, C(t) = z로 두면, [문제 1-1]에 의해 x2 + y2 + z2 = S2(일정)이고 x + y + z = G(t)에서 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0이므로 (x, y, z)의 존재 영역은 파란색에 의해 반지름의 길이가 S이고 중심이 원점인 구면 중 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0인 영역이고, 보라색에 의해 x, y, z 세 절편이 모두 G(t)인 평면이 됩니다. 시각 t(1 ≤ t ≤ 2)에서 G(t)가 바뀜에 따라 아래 그림에서 보듯이 G(t)의 최솟값은 보라색 평면의 x, y, z 세 절편이 모두 S가 될 때이고, G(t)의 최댓값은 보라색 평면이 파란색 구에 접할 때입니다. 점과 평면 사이의 거리 공식에 의해 원점 O에서 보라색 평면까지의 거리가 반지름 S이므로 따라서 S ≤ G(t) ≤ √3S이고, 최솟값 m = S, 최댓값 M = √3S에서 M = √3m 또한, G(t) = S일 때가 A(t) + B(t) + C(t) = G(t)이고 [문제 1-1]에서 A(t)2 + B(t)2 + C(t)2 = S2이므로 곱셈공식 (A(t) + B(t) + C(t))2 = A(t)2 + B(t)2 + C(t)2 + 2(A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t))에 의해 A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t) = 0 즉, 정사영의 넓이 A(t), B(t), C(t) 중 2개가 0일 때 성립합니다. 이때 도형 F가 [문제 1-2]에서 살펴 보았듯이 xy, yz, zx 평면 중 어느 한 평면에 평행할 때이고 도형 F의 넓이가 S = G(t)가 됨을 알 수 있고, G(t) = √3S일 때는 도형 F의 넓이 S = G(t) / √3가 되는데, 이때는 A(t) = B(t) = C(t). 이상입니다... [연세대 수리논술] 연세대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 연세대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 수학 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |
오늘 포스팅은 2022년 11월 25일 금요일에 치른 연세대학교 미래캠퍼스 2023학년도 논술우수자전형 창의인재 의예과 논술고사 수학 2문항 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 전체 시험시간 120분 수학2문제, 과학 물화생 중 택1
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [연세대 수리논술] 연세대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 연세대학교 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |