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이 게시글은 2023년 11월 25일 토요일에 치른 중앙대학교 2024학년도 논술전형 자연계열 2교시 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 4문항 시험시간 120분 그동안은 수학 3문항 70점, 과학 1문항 30점이었으나, 2024학년도부터 과학은 폐지되면서 수학 4문항으로 바뀌었습니다. 시험시간은 그대로... 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2024_s_n_j2.pdf
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m = 3이면 n = 2이고, m = 2이면 n = 3... m = 2일 때 선분 OP를 2 : 1로 내분하는 점이 (8, 0)이고 1 : 2로 외분하는 점은 (-12, 0) m = 3일 때 선분 OP를 3 : 1로 내분하는 점이 (9, 0)이고 1 : 3으로 외분하는 점은 (-6, 0) 이들 넷 중 어느 하나로 A1(x1, 0)이 결정되면, 동시에 n의 값도 결정되므로 각각의 경우별로 A2(x1, y1)이 두 가지 중 하나로 결정됩니다... 아래 애니메이션은 A2(x1, y1)으로 가능한 점 8개 뿐만 아니라 16개의 점 모두에 대하여 선분 A2P의 길이와 | x1 |의 크기를 비교하고 있습니다. 이상으로부터 조건을 만족하는 점 A2는 (9, 8/3)과 (8, 2) 두 개뿐이며, 각각의 확률이 1/6, 1/6로써 서로소이므로, 구하는 확률은 1/6 + 1/6 = 1/3
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 제시문에 있는 정적분으로 정의된 함수의 미분법에 따라 도함수 f'(x)를 얻은 후 f'(x) = 0을 만족하는 x의 값을 구해보면 x = 1과 5뿐임을 알 수 있습니다. 파란색으로 표시한 식에서 산술·기하 평균부등식이 [-1, 5]범위의 x에 대하여 분수식의 값이 열린구간 (-π/4, π/4)에 속하면서 보라색을 만족하는 정수 n값을 찾는데 결정적... 다음 극대, 극소의 판정... x = 1과 x = 5에서만 f'(x) = 0이므로 열린구간 (-1, 1)과 (1, 5)에서 f'(x)의 부호를 조사해야 겠습니다. x2 + 5 > 0이므로 아래와 같이 f'(x)의 뒷부분만 g(x)로 두고 미분해보면 앞의 산술·기하에서 살펴본 바에 의해 -π/4 < πx / (x2 + 5) < π/4이므로 cos(πx / (x2 + 5)) > 0이고, 분모 x2 + 5 > 0이므로 g'(x)의 부호는 x2 - 5의 부호와 같습니다... [-1, √5]에서 g'(x) < 0, [√5, 5]에서 g'(x) > 0이므로, 닫힌구간 [-1, 5]에서 g(x) 는 x = √5에서만 극소이고, g(1) = f'(1) = 0, g(5) = f'(5) = 0이므로 결국, 열린구간 (-1, 1)에서 f'(x) > 0, 열린구간 (1, 5)에서 f'(x) < 0에서 함수 f(x)는 x = 1에서 극대(최대)가 됩니다. 마지막으로 최댓값 f(1)을 구하면,,, h(t)가 기함수, t2 + 5가 우함수이면 o(t) = (t2 + 5)h(t)는 기함수죠... 우함수 × 기함수 = 기함수... 이상으로부터 f(x)의 최댓값은 32/3 [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... t = 0에서 t = π까지 점 P가 움직인 거리 즉, 아래 파란색 곡선의 길이 L을 구하는 문제입니다.
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... 0 ≤ θ ≤ π/2라고 하였습니다. 이 범위에서 sinθcosθ ≥ 0. 극대, 극소 판정이 쉽지 않으므로 생략하고,,, 함수 f(θ)가 연속이고 제시문에 있는 최대·최소의 정리를 생각하여, 경계값, 극값 모두에 대하여 f(θ)를 계산하여 비교해서 최솟값을 찾아야 겠습니다. 아래 둘 모두 음수이므로 ③이 최소... 이상으로부터 m2 = 98 아래 애니메이션은 참조용입니다. 파란색 f(θ)의 그래프는 ③ 경우에 극소, ② 경우에 극대이며, 극대가 되는 x = π/4에 대하여 대칭...
[문제 4-1]의 풀이 및 해설입니다... 『두 직선이 이루는 예각의 크기』개념으로 해결한 풀이인데,,, 수리논술 단골 메뉴 중의 하나입니다. 관련 기출을 몇 개 옮겨 적어 보면 [건국대 수리논술] 2023학년도 건국대학교 자연계열 A 수리논술 기출문제 풀이·해설 [한양대 수리논술] 2023학년도 한양대학교 자연계열(오후2) 논술고사 기출해설 이 블로그에서 검색해 보셔도 됩니다. 쏟아질 거예요... [문제 4-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [중앙대 수리논술] 중앙대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 중앙대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 참고, 접근할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 11월 26일 토요일에 치른 중앙대학교 2023학년도 수시모집 자연계열 1교시 수리논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 3문항 70점 과학 1문항 30점(물,화,생 중 택1) 전체 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 이 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023_s_n_j_1.pdf
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게임이 종료되지 않고 6라운드까지 진행되는 동안 오직 한 사람만 자신의 이름표를 뽑는다고 하였으므로, 6라운드 중 어느 한 라운드에서만 A, B, C 세 사람 중에 어느 한 사람만이 자신의 이름표를 뽑고, 이를 제외한 나머지 라운드에서는 참가한 사람이 모두 다른 사람의 이름표를 뽑으면 됩니다. ① 1라운드에서만 어느 한 사람이 자신의 이름표를 뽑는 경우 A, B, C 각각의 이름표를 a, b, c라고 하면 (A, a), (B, c), (C, b) (B, b), (A, c), (C, a) (C, c), (A, b), (B, a) 1라운드에서 이상 세 가지 경우가 있고, 2라운드 이후에는 남은 두 사람이 항상 상대방의 이름표를 뽑게 되면 각 라운드마다 1가지씩 뿐이므로 곱의 법칙에 의하여 3 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 3. ② 2라운드에서만 어느 한 사람이 자신의 이름표를 뽑는 경우 1라운드에서 세 사람 모두 다른 사람의 이름표를 뽑는 경우의 수가 아래 2가지. (A, b), (B, c), (C, a) (A, c), (B, a), (C, b) 2라운드에서 어느 한 사람만이 자신의 이름표를 뽑는 경우의 수가 ①에서와 같은 방법으로 3이고, 3라운드 이후 남은 두 사람이 항상 상대방의 이름표를 뽑는 경우의 수가 라운드마다 한 가지씩이므로 곱의 법칙에 의해 2 × 3 × 1 × 1 × 1 × 1 = 6. 이와 같이 생각하면, ③ 3라운드에서만 1명 성공하는 경우 2 × 2 × 3 × 1 × 1 × 1 = 12. ④ 4라운드에서만 1명 성공하는 경우 2 × 2 × 2 × 3 × 1 × 1 = 24 ⑤ 5라운드에서만 1명 성공하는 경우 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 1 = 48 ⑥ 6라운드에서만 1명 성공하는 경우 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96 따라서 모든 경우의 수는 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 아래는 녹색과 같이 일단 두고 핑크색 식을 재귀적으로 반복 적용한 것입니다. 보라색 f(x + 2π) = f(x)이므로 정리하면 f(x)를 g(x)만의 식으로 나타낼 수 있게 됩니다. 이제,,, 구간 [0, π]에서 각 변을 적분하면 되겠습니다... 우변 네 항을 구간 [0, π]에서 각각 적분한 후 나중에 더해 주면 되겠고,,, 위 적분에서처럼 먼저 적분 구간에서 절댓값 안쪽의 부호를 생각해서 소구간으로 나누어서 절댓값을 푼 후 녹색과 같이 치환적분합니다. 나머지 두 항도 마찬가지 방식으로 적분하면 마무리하면
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... x ≥ 1에서 lnx ≥ 0이며, -1 ≤ sint ≤ 1이고 lnx가 증가함수임을 생각하면 곡선 y = sin(lnx)는 극댓값 1, 극솟값 -1을 반복하면서 움직이는 모습... 그렇다면, 원점에서 그은 접선의 기울기는 양, 음을 번갈아 반복하는 모습... 곡선 위의 점 (an, sin(lnan))에서 접선이 원점을 지나므로 lna1 = π/4에서 x = a1 ≥ 1을 충족하고 있고, lnx가 증가함수이므로 an < an+1도 충족하고 있음. [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [중앙대 수리논술] 중앙대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 중앙대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 참고, 접근할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 2022년 11월 26일 토요일에 치른 중앙대학교 2023학년도 수시모집 자연계열 2교시 수리논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 적용 모집단위는 창의 ICT공과대학(전자전기공학부, 융합공학부), 경영경제대학 산업보안학과(자연), 약학대학 약학부, 의과대학 의학부입니다. 수학 3문항 70점 과학 1문항 30점(물,화,생 중 택1) 전체 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 이 해설을 참조하시기를 권장합니다.
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원점 O에서 끝점 A까지 이동하기 위해서는 오른쪽 방향의 이동 횟수와 위쪽 방향의 이동 횟수가 같아야 하고, 대각선 방향으로 이동할 경우에는 대각선 하나 당 오른쪽→위쪽 또는 위쪽→오른쪽으로 이동하는 대신에 곧바로 갈 수 있습니다. 오른쪽, 위쪽, 대각선 방향으로 이동 횟수를 각각 x, y, z라 하면 x = y, x + y + 2z = 8 이 연립방정식의 음이 아닌 정수해의 개수를 중복조합으로 먼저 살펴 보면, x 소거하면 y + z = 4에서 2H4 = 5C4 = 5 대각선 방향 이동 횟수가 0회 ~ 4회까지 있으니까 모두 다섯 가지란 의미입니다. 이 다섯 가지 조합에 대해서 이동 비용과 소요 시간을 살펴 보면 9000원 이하의 비용으로 7시간 이내에 도달하기 위한 조건을 모두 만족하는 조합은 파란색 글씨로 표시한 ③과 ④ 두 경우이네요... 이때 모든 경로의 수를 구하는 문제입니다. xy만으로 정사각형 하나를 구성하는 경우는 오른쪽→위쪽 또는 위쪽→오른쪽으로 이동하는 두 가지 경우뿐이지만, 대각선 이동없이 xyxy만으로 연이어서 이동하는 경우의 수는 4개의 정사각형을 통과하는 방법의 수인 4C2 = 6과 같고, xyxyxy와 같이 연이어져 있는 경우의 통과 방법의 수는 6C3 = 20이죠... 이에 대해서 먼저 숙지하고 있어야 겠는데, 필요하신 분은 게시글 [수지 경시학원 진산서당] 직사각형 및 정육면체에서 최단 경로 길잡이 문제를 참고하십시오. 아래에서 보듯이 ③, ④ 각각에 대해서 30가지, 64가지가 있습니다. 이상에서,,, 조건을 만족하는 경로의 수는 30 + 64 = 94.
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 두 구간으로 나눈 후 녹색과 같이 치환적분으로 파란색 부분을 바꾸는 처리가 핵심입니다. 이후는 아래와 같이 정리한 후 보라색 부분을 부분적분해주면 됩니다. [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 점 P에서 가장 가까운 점 A, B의 x좌표를 얻는 것이 관건인데, 위 풀이에서는 포물선과 비슷한 그림을 그려 두었는데 실전에서는 쉽지 않지요. 아래와 같이 폭을 어느 정도 가늠해 볼 수는 있겠네요... 곡선의 길이를 구하는 공식에 대해서는 게시글 [서울대 심층구술면접] 주제별 탐구 - 벡터의 미분과 타원의 둘레에 있는 팁 『정적분을 이용한 곡선의 길이 공식』을 참조하십시오.
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... 흐릿하게 주황색으로 표시한 부분은 주어진 조건을 만족하는 (a, b)의 존재 영역입니다. a > 0, b > 0 조건으로 충분하다 싶은데, 왜 이렇게 복잡하게 주어졌을까요? [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [중앙대 수리논술] 중앙대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 중앙대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 참고, 접근할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |