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이 게시글은 2023년 10월 7일 토요일에 치른 서울시립대학교 2024학년도 수시모집 논술전형 자연계열 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 4문제 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2024 논술고사 문제지.pdf
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인수분해가 안되는 관계로 삼차방정식을 직접적으로 풀 수 없는 상황에서 점 Q의 x 좌표의 근삿값을 추적하는 문제라고 할 수 있습니다. 위에서와 같이 함수 x + 1/x의 특징을 살피지 않더라도 사이값 정리에서 x의 범위를 점차 좁혀 가면 벡터 내적값의 정수부분 k를 얻을 수 있습니다...
[문제 2-a]의 풀이 및 해설입니다... 서울이, 시립이, 대학이가 산 사과와 배의 개수를 각각 x1, x2, y1, y2, z1, z2라고 하면, x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2 = 11이고, 이 부정방정식의 음이 아닌 정수해의 개수가 문제의 경우의 수이므로 서로 다른 6개에서 중복을 허용해서 11개를 택하는 중복조합의 수 6H11 = 16C11 = 16C5 = 4368 [문제 2-b]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-a]에서 x = x1 + x2, y = y1 + y2, z = z1 + z2이고, x ≤ y ≤ z를 만족하는 경우의 수 = ? x + y + z = 11이므로 (i) x = y = z인 경우는 없고, (ii )x = y < z인 경우를 살펴 보면 (x, y, z) = (0, 0, 11), (1, 1, 9), (2, 2, 7), (3, 3, 5)에서 각각의 경우의 수는 x1 + x2 = 0, y1 + y2 = 0, z1 + z2 = 11에서 2H11 = 12C1 = 12. x1 + x2 = 1, y1 + y2 = 1, z1 + z2 = 9에서 2H1 × 2H1 × 2H9 = 2C1 × 2C1 × 10C1 = 40. x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 2, z1 + z2 = 7에서 2H2 × 2H2 × 2H7 = 3C1 × 3C1 × 8C1 = 72. x1 + x2 = 3, y1 + y2 = 3, z1 + z2 = 5에서 2H3 × 2H3 × 2H5 = 4C1 × 4C1 × 6C1 = 96. 일반적으로 2Hx × 2Hy × 2Hz = x+1C1 × y+1C1 × z+1C1 = (x + 1)(y + 1)(z + 1)을 적용하면 되는군요... ,,, 모두 더하면 12 + 40 + 72 + 96 = 220 (iii) x < y = z인 경우를 살펴 보면 (x, y, z) = (1, 5, 5), (3, 4, 4)에서 각각의 경우의 수는 (1 + 1)(5 + 1)(5 + 1) = 72, (3 + 1)(4 + 1)(4 + 1) = 100이므로 모두 172가지. (iv) x < y < z인 경우를 살펴 보면 (ii), (iii)에서처럼 조사해보면, (x, y, z) = (0, 1, 10), (0, 2, 9), (0, 3, 8), …, (2, 3, 6), (2, 4, 5)까지 경우가 너무 많습니다... 여사건으로 살펴 보아야 겠습니다. [문제 2-a]의 4368가지 중에서 위 (ii), (iii)의 모든 (x, y, z) 순서쌍 각각을 일렬로 나열하는 방법이 세 가지씩이고, x = y = z인 경우는 없으므로 x, y, z가 모두 다른 경우의 수는 4368 - (220 + 172) × 3 = 3192. 이 중에서 x < y < z인 경우의 수는 서로 다른 x, y, z를 일렬로 나열하는 경우의 수인 3!으로 나누어 주면 되므로 532가지가 됩니다. 이상, (i), (ii), (iii), (iv)에 의하여 x ≤ y ≤ z를 만족하는 경우의 수는 0 + 220 + 172 + 532 = 924
아래 애니메이션에서 보라색 직선의 식이 y = ax + b 모든 실수 x에 대하여 검은색 꺾은선의 아래쪽으로 오지 않고, 파란색 꺾은선의 위쪽으로 가지 않는 보라색 직선 y = ax + b에서 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수가 자연수 n에 따라 달라지죠... 관찰하면,,, 가능한 기울기 a의 값으로는 -1, 0, 1뿐인 것으로 보입니다. 일반적으로 아래와 같이 이를 수리적으로 보일 수 있습니다. 가능한 정수 a = -1, 0, 1별로 정수 b의 개수를 살펴 보면,,, (i) a = -1인 경우 ∀x, -|x - 2| ≤ -x + b ≤ |x - 2n| + 5 ∀x, x - |x - 2| ≤ b ≤ x + |x - 2n| + 5 x ≥ 2일 때 x - |x - 2| = 2, x < 2일 때 x - |x - 2| = 2x - 2 < 2이므로 b ≥ 2. 우변도 마찬가지 방식으로 살피면, x < 2n일 때 x + |x - 2n| + 5 = 2n + 5, x ≥ 2n일 때 x + |x - 2n| + 5 = 2x - 2n + 5 ≥ 2n + 5이므로 b ≤ 2n + 5. 따라서 2 ≤ b ≤ 2n + 5이므로 정수 b의 개수는 2n + 5 - 2 + 1 = 2n + 4. (ii) a = 0인 경우 ∀x, -|x - 2| ≤ b ≤ |x - 2n| + 5 좌변 -|x - 2|의 최댓값은 0, 우변 |x - 2n| + 5의 최솟값은 5이므로 0 ≤ b ≤ 5에서 정수 b의 개수는 6. (iii) a = 1인 경우 ∀x, -|x - 2| ≤ x + b ≤ |x - 2n| + 5 ∀x, -x - |x - 2| ≤ b ≤ -x + |x - 2n| + 5 x < 2일 때 -x - |x - 2| = -2, x ≥ 2일 때 -x - |x - 2| = -2x + 2에서 -x - |x - 2|의 최댓값이 -2이므로 b ≥ -2 x ≥ 2n일 때 -x + |x - 2n| + 5 = 5 - 2n, x < 2n일 때 -x + |x - 2n| + 5 = -2x + 2n + 5에서 -x + |x - 2n| + 5의 최솟값이 5 - 2n이므로 b ≤ 5 - 2n 따라서 -2 ≤ b ≤ 5 - 2n 5 - 2n < -2일 때 즉, n ≥ 4일 때 정수 b의 개수는 0개. n = 1, 2, 3일 때 정수 b의 개수는 8 - 2n 이상으로부터 n ≥ 4일 때 An = (2n + 4) + 6 + 0 = 2n + 10 n = 1, 2, 3일 때 An = (2n + 4) + 6 + (8 - 2n) = 18
[문제 4-a]의 풀이 및 해설입니다... 파란색 점 P가 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 묻는 문제입니다... 변을 따라 움직이는 점 P가 조금씩 느려지는 모습요. ㅎ 파란색, 보라색, 주황색 세 부분으로 나누어서 극한을 구해주면 되겠네요... 파란색은 삼각함수의 극한의 기본, 보라색은 무한급수와 정적분의 관계, 주황색은 0 이상으로부터 [문제 4-b]의 풀이 및 해설입니다... 움직인 거리의 차... √2보다 조금 작은 속력으로 출발한 파란색 점 P가 계속해서 조금씩 느려지고 있고, 동시 출발하여 일정한 속력으로 돌고 있는 보라색 점 Q가 동시 도착임을 생각하면, Q는 P의 뒤쪽에서 P를 따라 잡는 모습이므로 P가 반 바퀴를 돌 때 Q는 P의 뒤쪽에 위치한다고 유추할 수 있습니다... 속도함수의 적분으로 위치를 얻어서 비교할 수도 있겠지만, 계산 결과로부터 양/음을 판정해 볼 수도 있겠는데, 대학측 답안에서는 이 부분에 대한 아무런 언급이 없음. 위에서와 같이 관계식을 얻은 후, 정리해보면 아래에서 보듯이 파란색, 핑크색 극한은 [문제 4-a]에서 다룬 바와 같으므로 보라색 무한급수만 한 번 더 정적분으로 바꾸어서 마무리해주시면 됩니다. 이상입니다... [시립대 수리논술] 서울시립대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울시립대학교 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 10월 8일 토요일에 치른 서울시립대학교 2023학년도 수시모집 논술전형 자연계열 I 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 4문제 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023 논술고사 문제지(자연Ⅰ).pdf
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[문제 1-(a)]의 풀이 및 해설입니다... 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 3 + 3 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 각 분할이 일어날 확률을 모두 더하면 되겠습니다. 주사위 한 번 던져서 6이 나올 확률 = 1/6 주사위를 두 번 던져서 5와 1이 나올 확률 = 2 × 1/62 주사위를 두 번 던져서 4와 2가 나올 확률 = 2 × 1/62 주사위를 세 번 던져서 4, 1, 1이 나올 확률 = 3 × 1/63 주사위를 두 번 던져서 3, 3이 나올 확률 = 1/62 주사위를 세 번 던져서 3, 2, 1이 나올 확률 = 3! × 1/63 주사위를 네 번 던져서 3, 1, 1, 1이 나올 확률 = 4 × 1/64 주사위를 세 번 던져서 2, 2, 2가 나올 확률 = 1/63 주사위를 네 번 던져서 2, 2, 1, 1이 나올 확률 = 4C2 × 1/64 주사위를 다섯 번 던져서 2, 1, 1, 1, 1이 나올 확률 = 5C1 × 1/65 주사위를 여섯 번 던져서 1, 1, 1, 1, 1, 1이 나올 확률 = 6C6 × 1/66 모두 더하면 보다 일반적인 풀이를 생각해보면,,, 주사위를 k(1 ≤ k ≤ 6)번 던져서 그 합이 6이 되는 경우의 수는 방정식 a1 + a2 + … + ak = 6에서 모든 ai가 6 이하의 자연수인 해의 개수와 같습니다. a1 - 1 = a1', a2 - 1 = a2', …, ak - 1 = ak'로 두면, 이 방정식의 해의 개수는 방정식 a1' + a2' + … + ak' = 6 - k의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 k개에서 6 - k개를 뽑는 중복조합의 수 = kH6-k. 따라서 주사위를 k번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6일 확률은 부정방정식의 음이 아닌 정수해의 개수 문제로 바꾸면, 중복조합과 이항정리로 일반적으로 해결되는 문제... 부정방정식의 정수해의 개수를 중복조합의 수로 해결하는 개념에 대해서는 아래를 참조하십시오. [문제 1-(b)]의 풀이 및 해설입니다... 『시립이가 주사위를 4번 던져서 게임이 끝났을 때,』 주머니에 있는 공의 개수가 6일 확률은 시립이가 주사위를 4번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6일 확률과는 다릅니다. 게임이 끝나는 조건이 주머니에 있는 공의 개수가 6 이상일 때이기 때문이죠... 주사위를 4번 던져서 6보다 큰 수가 나올 수 있고 이때도 게임이 끝나니까요... 주사위를 4번 던져서 게임이 끝나는 사건을 A, 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 6인 사건을 B라고 하면, 이 문제는 P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)를 구하는 조건부확률 문제가 되겠는데,,, 이때, P(A ∩ B)가 주사위를 4번 던졌을 때 주머니에 있는 공의 개수가 6이 되어서 게임이 끝나는 확률이고, [문제 1-(1)]의 분할 풀이에서 6을 네 자연수의 합으로 분할한 경우의 확률인 4/64 + 6/64 = 10/64. 이를 중복조합의 수로 계산하면 a1 + a2 + a3 + a4 = 6 ⇒ a1' + a2' + a3' + a4' = 2에서 음이 아닌 정수해의 개수는 4H2 = 5C2 = 10이므로 이 확률은 10 / 64. 다음, P(A) = ? 주사위를 4번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6 이상이 되기 위해서는 주사위를 3번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6 미만인 각 경우마다 4번째 주사위에서 6 이상이 되도록 해주면 되므로, 3 ≤ a1 + a2 + a3 ≤ 5 ⇒ 0 ≤ a1' + a2' + a3' ≤ 2이고, a1' + a2' + a3' = 0일 때 3H0 = 2C0 = 1 a1' + a2' + a3' = 1일 때 3H1 = 3C1 = 3 a1' + a2' + a3' = 2일 때 3H2 = 4C2 = 6 따라서 a1 + a2 + a3 = 3일 때 1/63 × 4/6 a1 + a2 + a3 = 4일 때 3/63 × 5/6 a1 + a2 + a3 = 5일 때 6/63 × 6/6 이 세 확률을 더한 것이 P(A). 이상으로부터,,,
구간 [0, 6]에서 함수 xh(x)의 정적분이 갖는 기하적 의미를 살피기 위해서 그림을 그려 봤습니다. 고동색이 주기함수 y = h(x)이고, 주황색 빗금친 영역의 넓이가 구간 [0, 3]에서 xh(x)의 정적분이고, 구간 [3, 6]에서 xh(x)의 그래프는 생략했습니다. 대신에 치환적분을 이용해서 구간 [0, 3]의 정적분으로 바꾸었습니다. 계속해서,,, 핑크색 부분의 정적분은 부분적분법으로! 그리고 초록색 역함수의 적분은 대칭성을 이용해서 f(x)의 적분으로... 이상으로부터,,,
m = 50일 때 a + 4b = 3이므로 불가이고, b ≥ 3 × 298-2m일 때 a ≤ 0 이므로 불가. 따라서 파란색(보라색) 식을 만족하는 자연수 (a, b, c)의 순서쌍의 개수는 1 ≤ b ≤ 3 × 298-2m - 1 범위의 자연수 b의 개수와 같으므로 3 × 298-2m - 1 (m =0, 1, 2, …, 49) a, b, c는 서로 다른 세 자연수이므로 아래 경우를 고려해서 제외해 주어야... ① a = b인 경우 a + 4b = 5b에서 파란색 식의 좌변이 5의 배수가 되고 우변은 아니므로 모순. 따라서 a = b인 경우는 없음. ② a = c인 경우 보라색 식에서 2m = 4 × 3 × 298-2m - 4b ⇒ b = 3 × 298-2m - 2m-2에서 m = 2부터 33까지 가능하므로, 이때 (a, b, c) 순서쌍의 개수는 32. ③ b = c인 경우 보라색 식에서 a = 4 × 3 × 298-2m - 4 × 2m = 3 × 2100-2m - 2m+2에서 m = 0부터 33까지 가능하므로, 이때 (a, b, c) 순서쌍의 개수는 34 ④ a = b = c인 경우 ①에 의해 만족하는 경우는 없음. 이상으로부터,,, 등식을 만족하는 서로 다른 세 자연수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 정답은 2100 - 117
[문제 4-(a)]의 풀이 및 해설입니다... [문제 4-(b)]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [시립대 수리논술] 서울시립대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울시립대학교 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
오늘 게시글은 2022년 10월 8일 토요일에 치른 서울시립대학교 2023학년도 수시모집 논술전형 자연계열 II 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 4문제 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023 논술고사 문제지(자연Ⅱ).pdf
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시계 반대 방향 점 A에서 t = 0일 때 동시 출발했을 경우, √2 ≤ t ≤ 2일 때 점 P는 변 BC 위에 있고, 점 Q는 1 : √2 = √2 : 2이므로 t = √2일 때 점 C에 있고, t = 2일 때 2√2 < 3이므로 출발점 C에 도착 전입니다. 따라서 √2 ≤ t ≤ 2일 때 점 Q는 변 CA 위에 있으며, 점 C는 t = √2일 때 2√2 < 3이므로 변 CA 위에 있다가 t = 3/2일 때 출발점 A를 돌아서 t = 2일 때 점 B에 도착합니다. ① √2 ≤ t ≤ 3/2: P on BC, Q,R on CA ② 3/2 ≤ t ≤ 2: P on BC, Q on CA, R on AB인 두 경우로 나누어서 삼각형 PQR의 넓이를 구하면 t = √2일 때와 t = 2일 때의 넓이를 비교하면
여사건으로 접근해 봤는데 오히려 복잡하더군요... 검은 구슬 7개로 가로줄은 최대 두 줄까지 같은 색으로 채울 수 있고, 세로로는 최대 한 줄은 채울 수 있습니다. 가로든 세로든 검은 색으로만 채워진 줄이 없는 경우에 흰 구슬로라도 한 줄을 채우려고 시도해보면 채울 수도 있고 못 채울 수도 있습니다. 반면에 흰 구슬 5개로 가로 한 줄을 채워 보면 남은 9개의 칸 중 7개의 칸에 검은 구슬을 넣어야 하므로 검은 구슬로 채워진 가로줄이 존재하게 되고, 흰 구슬로 채워진 세로줄이 있을 때도 남은 8개의 칸에 7개의 검은 구슬을 넣어야 하므로 검은 구슬로 채워진 세로줄이 반드시 존재하게 됩니다. --- 비둘기집의 원리. 따라서 흰 구슬은 신경쓰지 말고, 검은 구슬로 가로줄 또는 세로줄을 채우는 경우의 수만을 생각하면 되겠습니다. ① 검은 구슬로 가로줄 중 두 개를 채우는 경우 4개의 가로줄 중에서 검은 구슬만으로 채울 두 개의 줄을 선택하는 경우의 수 4C2 남은 6개의 칸에 남은 1개의 구슬을 넣는 방법의 수 6C1 그리고, 남은 5개의 칸에 5개의 흰 구슬을 넣으면 되지요... 4C2 × 6C1 = 36 ② 검은 구슬로 가로줄 중 한 개만 채우는 경우 4개의 가로줄 중에서 검은 구슬만으로 채울 한 개의 줄을 선택하는 경우의 수 4C1 남은 9개의 칸에 남은 4개의 구슬을 넣는 방법의 수 9C4인데, 이 중에서 한 개의 가로줄이 채워지는 경우의 수 3C1 × 6C1은 제외해 주어야 하므로 4C1 × (9C4 - 3C1 × 6C1) = 432 ③ 검은 구슬로 세로줄 중 한 개를 채우는 경우 같은 방법으로 생각하여 3C1 × 8C3 = 168 ④ 검은 구슬로 가로줄과 세로줄 각 한 줄씩을 채우는 경우 4C1 × 3C1 × 6C1 = 72 만족하는 경우의 수는 포함과 배제에 의해 ① + (② + ③ - ④)이므로 정답은 36 + (432 + 168 - 72) = 564
하합 ≤ 정적분 ≤ 상합을 이용한 부등식 증명 유형인데, 이와 관련해서는 아래 게시글들을 참조하십시오. [한양대 수리논술] 2022학년도 한양대학교 자연계열 모의논술 기출 해설 [경북대 수리논술] 2021학년도 경북대학교 자연계열 II 모의논술 기출해설 [울산대 수리논술] 2014학년도 울산대학교 의학계열 수리논술 기출문제의 풀이 및 해설 [아주대 수리논술] 2018학년도 아주대학교 자연계열 모의논술고사 기출문제 유리함수 f(x) = 1/x 꼴의 정적분의 결과로 ln 식을 얻을 수 있고, 상,하 ∑ 총합 식은 보통 조화급수 꼴인데, 지금은 좌변 분모에 제곱이 들어가 있습니다. 1/x의 미분 즉, 접선을 함께 생각해 주면 되겠다 싶네요... 핑크색 부등식에 k = 1부터 n까지 ∑ 총합을 하여도 부등식이 성립하므로 이상입니다... [시립대 수리논술] 서울시립대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울시립대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |