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이 게시글은 2023년 11월 19일 일요일에 치른 성균관대학교 2024학년도 수시모집 논술우수전형 자연1교시 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 100분
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... y = g(x) 위의 점 Q와 y = h(x) 위의 점 R에 대하여 선분 QR의 길이가 최소이고, 함수 g(x)와 h(x)가 미분가능하다고 하였으므로, [문제 1-1]에 의하여 y = h(x) 위의 점 R에서 접선에 수직인 법선이 점 Q를 지나며, 같은 까닭으로 [문제 1-1]에 의하여 y = g(x) 위의 점 Q에서 접선에 수직인 법선이 점 R을 지나므로. 점 Q에서 y = g(x)에 접하는 접선과 점 R에서 y = h(x)에 접하는 접선은 모두 직선 QR에 수직이 됩니다. [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... 곡선 위의 네 점 A, B, C, D에 대하여 세 선분 AB, BC, CD의 길이의 합이 최소가 되기 위해서는 일단은 아래 애니메이션의 초록색 직선에서와 같이 점 A의 y = x에 대한 대칭점 A'와 점 D의 y = 0에 대한 대칭점 D'를 직선으로 연결했을 때 이 직선이 y = x와 만나는 점이 B, y = 0과 만나는 점이 C여야 합니다. 두 초록색 이등변삼각형에서 대칭성의 원리를 생각하면 직선일 때 최소가 됨을 알 수 있겠고,,, 점 D의 x좌표 c와 점 A의 y좌표 b의 차가 6이라고 주어진 것이 계산을 줄여 주는 힌트죠... 위에서와 같이 처리해서 쉽게 A, D의 좌표를 얻을 수 있으니까요... ①' b - c = 6일 때도 따져 보면 ②와 연립했을 때 c = 3, b = 9에서 선분 A'D'의 길이가 위 그림과는 다르게 멀리 떨어져 있을 뿐만 아니라 두 접선과 수직도 아닌 상황입니다... 따라서 이 경우는 아님... 주어진 두 좌표의 차이 6을 먼저 고려하지 않고, [문제 1-2]의 결과를 우선적으로 적용해서 A, D의 좌표를 구하는 방향으로 밀고 나가 보면, [문제 1-2]에 의해 두 법선이 일치하므로 파란색 식에 c = 7을 대입하면 성립하고, 이때 b = 1이므로 c - b = 6 즉, 점 D의 x좌표와 점 A의 y좌표의 차 6을 만족합니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 사다리꼴의 넓이를 계산하면,,, 여러가지 방법이 있겠습니다만, 아래는 닮음비 1:5를 가지고 밑변비, 넓이비로 해결했습니다. 세 점 P, B, C의 좌표와 선분 PM의 길이 1로부터 삼각형 PBC의 넓이 1/2을 얻은 후 이 넓이를 s로 두면, 닮음비 1:5가 밑변비 1:5가 되므로 이웃한 삼각형의 넓이비가 1:5가 되지요... 굳이 방정식을 풀어서 A, D의 좌표를 구할 필요는 없습니다. 정답은 18 참고로,,, 사다리꼴의 두 밑변의 중점 M1, M2를 연결한 선분이 대칭축과 평행한 데 대해서는 게시글 [이차곡선] 포물선의 성질 모음 - 수지수학학원 진산서당의 성질 (9)번을 참조하십시오. [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-1]의 연장선상에서 이상의 논의가 논술되어야 겠고요... 계속해서 이상으로부터 아래 그림과 같은 상황이고,,, 반지름의 길이가 4일 때, 세 정수 a, b, c를 구해야... 이제 조사할 차례... 0 < a < b이고, (b - a)2이 홀수이므로 b - a = 1일 때 a + b = 31 홀수 OK b - a = 3일 때 a + b = 27 홀수 OK b - a = 5일 때 a + b = 19 홀수 OK b - a = 7일 때 a + b = 14 짝수 No 파란색 사다리꼴 ABCD의 넓이 S = (√a + √b)(b - a)이므로 [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 파란색 등변사다리꼴... [문제 2-2]에서 y = x2과 서로 다른 네 점에서 만날 때의 그 등변사다리꼴입니다... 계산 처리도 비슷하고요... 보라색 원의 반지름의 길이가 10일 때, 이차방정식 ★의 두 근 X1, X2가 교점의 y 좌표인 X1 = x22 = x32 = m과 X2 = x12 = x42 = n인데, n - m = 20입니다. 차가 20인 두 자연수의 (m, n)의 순서쌍은 무수히 많습니다. 이들 모든 순서쌍 (m, n)에 대해서 반지름의 길이가 10인 보라색 원이 존재할까요? 그렇지 않겠죠? 이차방정식 ★의 서로 다른 두 근이 실근이어야 함을 생각해서 판별식 D > 0 조건을 걸어서 m + n ≤ 200을 찾을 줄 알아야 겠습니다. n - m = 20 ⇒ n = m + 20을 부등식에 대입하면 m + (m + 20) ≤ 200에서 m ≤ 90을 얻습니다. 따라서 양의 정수의 순서쌍 (m, n) = (1, 21), (2, 22), (3, 23), (4, 24), (5, 25), …, (90, 110)에서 90개의 순서쌍을 얻게 되겠는데,,, 제시문 3의 단서 조항에서 xk(k = 1, 2, 3, 4)는 정수가 아니라고 하였습니다. √m, √n 모두 정수가 아니므로 m과 n은 완전제곱수가 아니어야 합니다. 위 (m, n)의 순서쌍 중에서 (1, 21), (4, 24), (5, 25), … 등은 제외되어야 하는 것이지요. 모두 적어 보면, (12, 21), (22, 24), (32, 29), …, (92, 101) 아홉개와 (5, 52), (16, 62), (29, 72), (44, 82), (61, 92), (80, 102) 여섯개가 있습니다. 이들 중 겹치는 것은 (16, 62) 1개... 따라서 정답은 90 - (9 + 6 - 1) = 90 - 14 = 76 단, xk(k = 1, 2, 3, 4)는 정수가 아니다... 성대 논술은 이런 부분을 놓치지 말고 꼼꼼히 읽어서 반영해 주어야 합니다... 까딱하다가는 우습게 점수를 까먹습니다. 제시문 2에서는 교점의 y좌표가 모두 정수가 아니라고 했습니다. x, y 좌표가 정수가 아니다가 아니고 y좌표가 모두 정수가 아니다... [문제 1-3]에서는 점 D의 x좌표와 점 A의 y좌표의 차가 6이다... 이런 것들 조심해서 다루어야 겠습니다.
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... B2 + 4AC = 100, B > C B2 = 100 - 4AC = 4(25 - AC) B = 2m으로 두면 25 - AC = m2 ⇒ AC = (5 - m)(5 + m)이고, B > C에서 2m > C ① m = 1일 때 AC = 24, C < 2 ② m = 2일 때 AC = 21, C < 4 ③ m = 3일 때 AC = 16, C < 6 ④ m = 4일 때 AC = 9, C < 8 f(x) = -Ax2 + Bx + C f(x) = 0 ⇒ f(x) = -A(x - α)(x - β) = 0 [문제 3-1]의 결과 두 근의 곱 αβ = - r2 = -C/A에서 C = Ar2이므로 AC = A2r2 = (Ar)2으로 완전제곱수입니다. 위에서 ③, ④ 경우만 이를 만족하고 있습니다. ③ 경우에 (A, B, C) = (8, 6, 2), (16, 6, 1)일 때는 C = Ar2이 충족되지 않으므로 불가이고, (A, B, C) = (4, 6, 4)일 때 C = Ar2에서 r = 1 ④ 경우에 (A, B, C) = (3, 8, 3)이고, C = Ar2에서 r = 1 (A, B, C) = (4, 6, 4), (3, 8, 3)인 경우에 대해서 두 근 α, β를 얻은 후 r = 1이므로 [문제 3-1]의 결과로부터 q를 확정하고 q2 + 4pr은 완전제곱수에서 p를 확정하면 되겠습니다. ③' -4x2 + 6x + 4 = 0에서 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) = 0 ⇒ α = -1/2, β = 2 ⇒ αβ = -1에서 r = 1 OK이고, α + β = 3/2 = -1/q + q에서 자연수 q = 2 ⇒ q2 + 4pr = 4 + 4p = 4(1 + p) = 완전제곱수 ⇒ 최소의 자연수 p = 3 ④' -3x2 + 8x + 3 = 0에서 3x2 - 8x - 3 = (3x + 1)(x - 3) = 0 ⇒ α = -1/3, β = 3 ⇒ αβ = -1에서 r = 1 OK이고, α + β = 8/3 = -1/q + q에서 자연수 q = 3 ⇒ q2 + 4pr = 9 + 4p = 완전제곱수 ⇒ 최소의 자연수 p = 4 이상으로부터 (A, B, C) = (4, 6, 4)일 때 (p, q, r) = (3, 2, 1) (A, B, C) = (3, 8, 3)일 때 (p, q, r) = (4, 3, 1) [문제 3-3]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [성균관대 수리논술] 성균관대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 성균관대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 11월 20일 일요일에 치른 성균관대학교 2023학년도 논술우수자전형 자연2교시 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 100분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023학년도 성균관대 논술_자연계(2교시) 문제.pdf
파일 다운로드
2023학년도 성균관대 논술_자연계(2교시) 해설,예시답안.pdf
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[문제 1-i]의 풀이 및 해설입니다... 세 변의 길이를 a - d, a, a + d라고 하면 ① d = 0일 때 1 ≤ a ≤ 100에서 정삼각형의 개수 100 ② d ≥ 1일 때 a - d ≥ 1, a + d ≤ 100에서 1 + d ≤ a ≤ 100 - d이고 삼각부등식에 의하여 a + d < a + (a - d)에서 a > 2d이고, 2d ≥ 1 + d이므로 2d + 1 ≤ a ≤ 100 - d 100 - d ≤ 2d + 1이므로 d ≤ 33 각 d에 대하여 핑크색 부등식을 만족하는 자연수 a의 개수 (100 - d) - (2d + 1) + 1 = 100 - 3d만큼씩 등차수열을 이루는 삼각형이 존재하므로 ①, ②에 의하여 100 + 1617 = 1717 [문제 1-ii]의 풀이 및 해설입니다... 세 변의 길이를 a, b, c라 할 때, 일반성을 잃지 않고 a ≤ b ≤ c로 둘 수 있고, 세 항이 등비수열을 이루면 1이상의 공비 r에 대해 b = ar, c = ar2이 성립합니다. 삼각부등식에 의하여 a + ar > ar2이므로 r2 - r - 1 < 0에서 1 ≤ r < (1 + √5) / 2 ① r = 1일 때 1 ≤ a ≤ 100에서 정삼각형의 개수 100 ② 1 < r < (1 + √5) / 2 = 1.618…일 때 자연수 a에 대하여 ar도 자연수이므로 r = q/p (2 ≤ p < q, p, q는 서로소)로 두면 ar2 = aq2/p2도 자연수이므로 a는 p2의 배수. 자연수 Q에 대하여 a = p2Q로 두면 a < ar < ar2 ⇒ p2Q < pqQ < q2Q ≤ 100에서 2 ≤ p < q ≤ 10이어야. r = q/p < (1 + √5) / 2 = 1.618…로부터 만족하는 (p, q)의 순서쌍을 모두 구하면, (p, q) = (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (9, 10)이고, 각 순서쌍별로 가능한 Q의 개수를 구하면 (p, q) = (2, 3): 9Q ≤ 100에서 11개 (p, q) = (3, 4): 16Q ≤ 100에서 6개 (p, q) = (4, 5): 25Q ≤ 100에서 4개 (p, q) = (5, 6): 36Q ≤ 100에서 2개 (p, q) = (5, 7): 49Q ≤ 100에서 2개 (p, q) = (5, 8): 64Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (6, 7): 49Q ≤ 100에서 2개 (p, q) = (7, 8): 64Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (7, 9): 81Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (7, 10): 100Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (8, 9): 81Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (9, 10): 100Q ≤ 100에서 1개 이들의 합 = 33 따라서 ①, ②에 의하여 100 + 33 = 133 [문제 1-iii]의 풀이 및 해설입니다... 집합 M의 원소 (a, b, c)에 대하여 a, b, c 순서로 등차수열을 이루므로 2b = a + c. a, b, c를 일렬로 나열했을 때 등비수열이 존재하기 위해서는 b2 = ac, a2 = bc, c2 = ab 중 어느 하나를 만족시켜야 합니다. ① b2 = ac인 경우 4b2 = 4ac ⇒ (a + c)2 = 4ac ⇒ (a - c)2 = 0 ⇒ a = c 따라서 a = b = c이고 이를 만족하는 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 200 ② a2 = bc인 경우 a2 = (2b - c)2 = bc ⇒ 4b2 -5bc + c2 = (4b - c)(b - c) = 0 ⇒ 4b = c or b = c b = c인 경우 a = b = c이므로 ①에서 조사되었고, 4b = c인 경우 a : b : c = -2b : b : 4b = -2 : 1 : 4이므로 1부터 25까지의 b에 대해 a = -2b, c = 4b가 가능하고, -1부터 -25까지의 b에 대해서도 마찬가지이므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 2 × 25 = 50 ③ c2 = ab인 경우 ②와 마찬가지 방식으로 처리하면 c2 = (2b- a)2 = ab ⇒ 4b = a or b = a에서 4b = a인 경우 a : b : c = 4b : b : -2b = 4 : 1 : -2에서 마찬가지로 50개. ①, ②, ③에 의하여 조건 (가), (나)를 만족하는 집합 M의 원소의 개수는 200 + 50 + 50 = 300
[문제 2-i]의 풀이 및 해설입니다... 삼각함수의 성질로 아래와 같이 cos(x + nπ/2)를 고쳐 적을 수 있고 0 < x < π/4일 때 √2/2 < cosx < 1, 0 < sinx < √2/2이므로 이 값이 1/4을 만족하는 경우는 n = 4k+3일 때 뿐임. [문제 2-ii]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-i]의 보라색 식에 의해 cos(x + mπ/2)와 cos(x + nπ/2)는 각각 ±cosx, ±sinx 중의 하나와 같으므로 cos(x + nπ/2) = t로 두면 cos2(x + mπ/2)의 값은 cos2x 또는 sin2x이므로 t2이거나 1 - t2 중의 하나가 됩니다. ← 제시문 (2) cos2x + sin2x = 1 ① cos2(x + mπ/2) = t2인 경우 23이하의 자연수 n에 대하여 n = 4k를 만족하는 n의 개수는 5 23이하의 자연수 m에 대하여 m = 4k' 또는 4k' + 2를 만족하는 m의 개수는 5 + 6 = 11 따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 5 × 11 = 55 ② cos2(x + mπ/2) = 1 - t2인 경우 23이하의 자연수 n에 대하여 n = 4k + 1 또는 4k + 3을 만족하는 n의 개수는 6 + 6 = 12 23이하의 자연수 m에 대하여 m = 4k' 또는 4k' + 2를 만족하는 m의 개수는 5 + 6 = 11 따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 12 × 11 = 132 ①, ②에 의해 55 + 132 = 187 [문제 2-iii]의 풀이 및 해설입니다... cos(x + nπ/2) = t로 두면, 준 방정식의 해 x에 대응하는 t의 값은 -1 ≤ t ≤ 1 범위에서 사차함수 y = f(t)의 그래프의 x절편이고, 그래프의 개형을 그려서 t의 범위를 추적하면 ∴ [2023/4] = 505
[문제 3-i]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-ii]의 풀이 및 해설입니다... ① 경우 △OPP' = tf(t)/2, △OQQ' = (t+h)f(t+h)/2에서 p(h) = | tf(t)/2 + r - (t+h)f(t+h)/2| ② 경우 △OPP' = -tf(t)/2, △OQQ' = -(t+h)f(t+h)/2에서 p(h) = | -(t+h)f(t+h)/2 + r + tf(t)/2 |로 두 식은 같습니다. 정리해서, h → 0+일 때 p(h)/h의 극한 A(t)를 구해보면 파란색 부분은 도함수의 정의에 의하여 극한이 f'(t)가 되고 보라색 부분은 f(x)의 한 부정적분을 F(x)로 두면 아래에서 보듯이 마찬가지로 도함수의 정의에 의하여 F'(t) = f(t)가 됩니다. 이상은 f(x)가 음수일 때도 마찬가지... [문제 3-iii]의 풀이 및 해설입니다... 핑크색 α + 2β = 0은 삼차함수의 성질이기도 하지요... 이제, 제시문 2의 마지막 조건 (라)로부터 a, α, β에 관한 식을 하나 더 얻으면, 파란색 삼차함수 g(t)와 보라색 A(t)가 확정됩니다. 세 핑크색을 연립하면 β = 1, a = 4, α = -2 [문제 3-iv]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-iii]의 근과 계수의 관계 ①에 의하여 b = 24 주어진 적분식이 [문제 3-i]이죠. 대입해서 c의 값을 확정하면 ∴ a = 4, b = 24, c = -36, d = 32 이상입니다... [성균관대 수리논술] 성균관대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 성균관대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 2022년 11월 20일 일요일에 치른 성균관대학교 2023학년도 논술우수전형 자연1교시 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 100분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023학년도 성균관대 논술_자연계(1교시) 문제.pdf
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2023학년도 성균관대 논술_자연계(1교시) 해설,예시답안.pdf
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[문제 1-i]의 풀이 및 해설입니다... 교점 E와 F의 좌표를 구해서 <제시문 1>의 점점 거리 공식으로 구하는 것은 계산 부담이 크지요... 대학측 예시답안에서는 그림의 오른쪽 수식에서처럼 두 근 α, β를 사용해서 근과 계수의 방법으로 엮는 방법을 취했습니다. 이 경우에 좋은 방법은 왼쪽 아래 녹색에서 보듯이 점직 거리 공식과 피타고라스를 이용하는 풀이입니다. [문제 1-ii]의 풀이 및 해설입니다... 출제 의도와는 다릅니다만,,, 파란색 접선이 접점 P를 제외하고는 항상 곡선 아래쪽에 있으므로 파란색 직각삼각형을 생각하면 빗변 OP가 최소가 될 때는 삼각형이 퇴화하여 수선의 발이 접점이 될 때입니다. [문제 1-iii]의 풀이 및 해설입니다...
[문제 2-i]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-ii]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-iii]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-iv]의 풀이 및 해설입니다...
[문제 3-i]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-ii]의 풀이 및 해설입니다... n이 홀수인 경우에 대해서 일반적으로 두 총합의 비를 살펴 보았습니다. 등비수열의 합의 공식을 사용하지 않고 곧바로 목표식을 계산해보면 [문제 3-iii]의 풀이 및 해설입니다... 두 평균 P2023/1012과 Q2023/1011의 대소관계를 수학적 귀납법과 [문제 3-ii]를 이용하여 판단하고... 일반적으로 증명할 명제를 하나 만들어야 겠는데요... n이 1보다 큰 홀수일 때 두 넓이의 비가 위 보라색과 같음을 생각하면 로부터 P2023/1012 > Q2023/1011가 아니겠느냐 추측할 수 있고, 일반적으로 아래와 같이 명제 p(m)을 가정하고 수학적 귀납법으로 증명해 보겠습니다. m = 1일 때는 바로 앞에서 보라색 식을 가지고 확인했습니다만, 보라색 식을 이끌지 않았을 경우는 P3 = 1 + α2이고 Q3 = α이므로 1 + α2 - 2α = (α - 1)2 > 0)로부터 P3 / 2 > Q3 / 1. 따라서 p(1) 성립. 이때 α ≠ 1이므로 등호는 성립하지 않습니다. p(k)가 성립한다고 가정하고 p(k + 1)이 성립하는지를 살피면 따라서 명제 p(k + 1) 성립. 이상에서,,, 수학적 귀납법에 의하여 명제 p(m)이 모든 자연수 m에 대하여 성립하므로 m = 1011일 때 P2023/1012 > Q2023/1011도 성립하게 됩니다. [문제 3-ii]와 같은 꼴이 임의의 자연수 k에 대해서도 성립한다고 본 것인데 이를 보충하면, 또는 이상입니다... [성균관대 수리논술] 성균관대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 성균관대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |