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이 게시글은 2023년 11월 19일 일요일에 치른 성균관대학교 2024학년도 수시모집 논술우수전형 자연1교시 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 100분
[풀이 및 해설 편집중인 글입니다.] [성균관대 수리논술] 성균관대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 성균관대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. (준비중) 
수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2023년 5월 10일 수요일에 치른 경기도교육청이 주관한 2023년 4월 고3 전국연합학력평가 수학 오답률 TOP 10 확통선택 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 문이과 통합 이후 공통문항이 1번부터 22번까지이고, 확률과 통계, 미적분, 기하와 벡터 각 8개 문항은 23번부터 30번까지로 선택으로 치르고 있습니다. 이 포스팅에서는 오답률 TOP 10에 오른 확통선택 3개 문항과 오답률이 50%가 넘은 24번까지 4개 문항에 대해서만 풀이 및 해설하고 있으며, 공통문항과 타 선택과목의 풀이에 대해서는 아래 게시글을 참조하십시오. 오답률 1위(97.3%) 30번 문제의 풀이 및 해설입니다... 
① a의 개수가 3일 때 ② a의 개수가 4일 때 ③ a의 개수가 5일 때 ① a의 개수가 3일 때 ㉠ b 4개일 때 bb(aaa)bb 1가지뿐이고, c 4개일 때도 마찬가지. ㉡ b 3개, c 1개일 때 (aaa), b, b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 (aaa), (bbb), c를 일렬로 나열하는 경우의 수를 빼면 5!/3! - 3! = 14이고, b 1개, c 3개일 때도 마찬가지. ㉢ b 2개, c 2개일 때 (aaa), b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수 = 5! / 2!2! = 30. 따라서 1 × 2 + 14 × 2 + 30 = 60 ② a의 개수가 4일 때 ㉠ b 3개일 때 (aaa), a, b, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 (a1aaa), (bbb) 또는 (aaaa2), (bbb)를 일렬로 나열하는 경우의 수를 빼면 5!/3! - 2 × 2! = 16이고, c 3개일 때도 마찬가지. ㉡ b 2개, c 1개일 때 (aaa), a, b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 (a1aaa), b, b, c 또는 (aaaa2), b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수를 빼면 5!/2! - 2 × 4!/2! = 36이고, b 1개, c 2개일 때도 마찬가지. 따라서 16 × 2 + 36 × 2 = 104 ③ a의 개수가 5일 때 ㉠ b 2개일 때 (baaab), a, a를 일렬로 나열하는 경우의 수 3, (baaa)에서 b의 왼쪽에 a, a, b를 일렬로 나열하는 경우의 수 3, (aaab)에서 b의 오른쪽에 a, a, b를 일렬로 나열하는 경우의 수 3이므로 3 + 3 + 3 = 9이고, c 2개일 때도 마찬가지. ㉡ b 1개, c 1개일 때 (baaac), a, a를 일렬로 나열하되 b, c는 바꿀 수 있는 경우의 수 = 3!/2! × 2! = 6. 따라서 9 × 2 + 6 = 24 이상으로부터 ① + ② + ③ = 60 + 104 + 24 = 188 오답률 3위(93.3%) 29번 문제의 풀이 및 해설입니다... 
① f(4) = 3일 때 ② f(4) = 4일 때 ③ f(4) = 5일 때 ① f(4) = 3일 때 f(1) = f(2) = f(3) = 1이고, 2f(4) = 6 = f(5) + f(6) + f(7) + f(8)에서 6 = 3 + 1 + 1 + 1, 6 = 2 + 2 + 1 + 1가 가능하므로 3, 1, 1, 1을 일렬로 나열해서 순서대로 f(5), f(6), f(7), f(8)에 할당하는 방법의 수 = 4!/3! = 4이고, 2, 2, 1, 1을 일렬로 나열해서 마찬가지로 할당하는 방법의 수 = 4! / 2!2! = 6. 따라서 1 × (4 + 6) = 10 ② f(4) = 4일 때 4 = 2 + 1 + 1만 가능하므로 f(1), f(2), f(3)을 결정짓는 방법의 수는 위에서와 같이 생각해서 3가지. 2f(4) = 8 = f(5) + f(6) + f(7) + f(8)에서 8 = 5 + 1 + 1 + 1 = 4 + 2 + 1 + 1 = 3 + 3 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2가 가능하고, 마찬가지로 할당하는 방법의 수는 각각 4!/3!, 4!/2!, 4! / 2!2! , 4!/2!, 1이므로, 3 × (4 + 12 + 6 + 12 + 1) = 105 ③ f(4) = 5일 때 5 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1이 가능하므로 f(1), f(2), f(3)을 결정짓는 방법의 수 = 3 + 3 = 6. 2f(4) = 10 = f(5) + f(6) + f(7) + f(8)에서 10 = 5 + 3 + 1 + 1 = 5 + 2 + 2 + 1 = 4 + 4 + 1 + 1 = 4 + 3 + 2 + 1 = 4 + 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 + 1 = 3 + 3 + 2 + 2가 가능하고, 마찬가지로 할당하는 방법의 수는 각각 4!/2!, 4!/2!, 4!/ 2!2!, 4!, 4!/3!, 4!/3!, 4!/ 2!2!이므로, 6 × (12 + 12 + 6 + 24 + 4 + 4 + 6 ) = 408 이상으로부터 ① + ② + ③ = 10 + 105 + 408 = 523 합이 주어질 때는 중복조합을 이용한 풀이가 좋습니다. 함숫값 f(1), f(2), …, f(8)을 변수 x1, x2, …, x8이라 두면 ① f(4) = 3일 때 ⇔ x1 + x2 + x3 = 3일 때 (x1, x2, x3) = (1, 1, 1) 한 가지만 가능하고, x5 + x6 + x7 + x8 = 6을 만족하는 자연수 해의 순서쌍 (x5, x6, x7, x8)의 개수는 x5' + x6' + x7' + x8' = 6 - 4 = 2를 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍의 개수와 같고 이는 서로 다른 4개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 4H2 = 5C2 = 10. 따라서 1 × 10 = 10 ② f(4) = 4일 때 ⇔ x1 + x2 + x3 = 4일 때 x1 + x2 + x3 = 4를 만족하는 자연수 해의 개수는 x1' + x2' + x3' = 1을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 3H1 = 3C1 = 3이고, x5 + x6 + x7 + x8 = 8을 만족하는 자연수 해의 개수는 x5' + x6' + x7' + x8' = 8 - 4 = 4를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 4H4 = 7C4 = 35. 따라서 3 × 35 = 105 ③ f(4) = 5일 때 ⇔ x1 + x2 + x3 = 5일 때 x1 + x2 + x3 = 5를 만족하는 자연수 해의 개수는 x1' + x2' + x3' = 2를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 3H2 = 4C2 = 6이고, x5 + x6 + x7 + x8 = 10을 만족하는 자연수 해의 개수는 x5' + x6' + x7' + x8' = 10 - 4 = 6을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같은데, 가장 큰 자연수가 5여야 하므로 xk = 6, 7, 8, 9, 10이 하나라도 존재하는 경우는 제외해 주어야 합니다. 10 = 6 + 2 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 + 1이므로 4H6 - (4!/2! + 4) = 9C3 - (12 + 4) = 68 따라서 6 × 68 = 408 이상으로부터 ① + ② + ③ = 10 + 105 + 408 = 523 오답률 6위(74.4%) 28번 문제의 풀이 및 해설입니다... 
짝수 2, 2, 2, 4 홀수 1, 1, 3, 3 7장을 뽑아서 일렬로 나열할 때 홀수끼리 이웃하지 않으면 됩니다. ① 짝수 4장, 홀수 3장일 때 ② 짝수 3장, 홀수 4장일 때 ① 짝수 4장, 홀수 3장일 때 ∨■∨■∨■∨■∨ 짝수 2, 2, 2, 4를 먼저 일렬로 나열해서 ■ 자리에 놓았다 치면, 사이와 양끝 ∨ 자리 중에 세 곳을 택하여 홀수 1, 1, 3 또는 1, 3, 3을 나열해주면 됩니다. 2, 2, 2, 4를 나열하는 경우의 수 = 4!/3! ∨ 자리 세 곳을 택하는 경우의 수 = 5C3 1, 1, 3을 나열하는 경우의 수 = 3!/2! 1, 3, 3을 나열하는 경우의 수 = 3!/2! 따라서 4 × 10 × (3 + 3) = 240 ② 짝수 3장, 홀수 4장일 때 ∨■∨■∨■∨ 짝수 2, 2, 2 또는 2, 2, 4를 먼저 일렬로 나열해서 ■ 자리에 놓은 후, 사이와 양끝 ∨ 자리 네 곳 모두에 홀수 1, 1, 3, 3을 나열해주면 됩니다. (1 + 3!/2!) × (4! / 2!2!) = 24 홀수 1, 1, 3, 3을 먼저 나열한 후 사이 세 곳에 짝수 2, 2, 2 또는 2, 2, 4를 나열해 주어도 됩니다. 이상으로부터 ① + ② = 240 + 24 = 264이고 정답은 오지선다형 ①번 오답률 12위(54.5%) 24번 문제의 풀이 및 해설입니다... 
모두 더하면 192. 정답은 오지선다형 ⑤번 다른 풀이, 덧붙이는 생각입니다... 앞 풀이는 0부터 5까지 n에 대하여,,, 집합 A에 n개, 집합 B에 5 - n개를 넣는 경우의 수를 모두 구해서 더한 것입니다. 다른 생각을 해봅니다. 일단 집합 A 또는 B에 넣을 5개를 택합니다. 6C5 = 6. 이제 이 다섯 개를 A, B에 나누어 넣어야겠는데,,, 중복순열을 발상(發想)하는 것이 늘 어렵습니다... A, B 각각에 몇 개씩 넣지?라고 생각하면 A + B = 5이므로 A, B 2개에서 중복 허용해서 5개를 택하는 중복조합의 수 2H5 = 6C5 = 6가지의 경우가 있겠는데, 이때는 A에 어느 수가 B에 어느 수가 들어 갔는지는 구분되지 않습니다. 이 구분을 감안한 것이 중복순열입니다. A, B 2개에서 중복 허용해서 5개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는 ? BBBBB ⇒ 5C0 ABBBB ⇒ 5C1 AABBB ⇒ 5C2 AAABB ⇒ 5C3 AAAAB ⇒ 5C4 AAAAA ⇒ 5C5 중복조합의 수인 6가지 경우 각각에 대해서 일렬로 나열하는 경우의 수를 모두 적어 보면 이와 같고 모두 더하면 32이므로 6 × 32 = 192로 앞풀이의 결과와 같습니다. 이때 32가 바로 이항계수의 성질인 5C0 + 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 25이기도 하지만 서로 다른 2개에서 5개를 택하는 중복순열의 수 2Π5 = 25입니다. X = { 1, 2, 3, 4, 5 }, Y = { A, B }일 때 X에서 Y로 가는 함수 f의 개수가 A, B에서 중복 허용해서 5개를 택하여 일렬로 나열한 그 순서로 1, 2, 3, 4, 5의 함숫값으로 할당하는 경우의 수와 같으므로 25이죠... 1의 함숫값으로 가능한 경우가 5가지, 2의 함숫값으로 가능한 경우도 5가지, … 모두가 각각 5가지이므로 곱의 법칙에 의하여 25이다라고 생각하는 것이 훨씬 쉽습니다. 그만큼 발상이 좀 불편한 것이지요... 이상입니다. 
수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
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