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이 게시글은 2022년 11월 26일 토요일에 치른 광운대학교 2023학년도 논술우수자전형 자연계열-2교시 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 2문제 시험시간 120분
[문제 1-1-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-1-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-3-1]의 풀이 및 해설입니다... 왼쪽 위 녹색 수식은 검은색 y = f(x)의 그래프와 보라색 y = f(a - x)의 그래프가 x = a/2에 대하여 대칭임을 이끈 것입니다. 그렇다면, 구간 [0, a]에서 두 함수의 적분은 같게 되지요... 모범 풀이는 물론 치환적분 ㅎ [문제 1-3-2]의 풀이 및 해설입니다... 삼각함수의 성질 sin(π/2 - x) = cosx와 cos(π/2 - x) = sinx를 이용하면 [문제 1-3-1]의 등식이 힌트인 셈이지요... 핑크색을 I 로 두고, 둘을 더하면 피적분함수의 분모 분자가 같아집니다. [문제 1-4-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-4-2]의 풀이 및 해설입니다...
[문제 2-1-1]의 풀이 및 해설입니다... 따라서 ①, ②를 모두 만족하는 정수 a = 0, 4 [문제 2-1-2]의 풀이 및 해설입니다... 정의역이 x ≥ 0으로부터 역함수의 정의역을 위 녹색에서와 같이 구할 수가 있고,,, 이제, 부등식을 풀면 [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-3-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-3-2]의 풀이 및 해설입니다... 자연수 n에 대하여, 집합 An의 원소의 개수가 n + 1이고 각 점이 선택될 확률이 1 / n+1이므로 제시문 2의 기댓값의 정의에 의하여 [문제 2-4-1]의 풀이 및 해설입니다... f(x) = ax2 + bx + c 로 두고 파란색 식에 대입하여 계수 비교하면 이상으로부터,,, [문제 2-4-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... 대학측이 제공한 기출문제 핀포인트 해설 영상을 덧붙입니다. [광운대 수리논술] 광운대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 광운대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. (준비중) 수학의 힘 ! #용인수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 10월 8일 토요일에 치른 서울시립대학교 2023학년도 수시모집 논술전형 자연계열 I 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 4문제 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023 논술고사 문제지(자연Ⅰ).pdf
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2023 논술고사 해설지(자연Ⅰ).pdf
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[문제 1-(a)]의 풀이 및 해설입니다... 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 3 + 3 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 각 분할이 일어날 확률을 모두 더하면 되겠습니다. 주사위 한 번 던져서 6이 나올 확률 = 1/6 주사위를 두 번 던져서 5와 1이 나올 확률 = 2 × 1/62 주사위를 두 번 던져서 4와 2가 나올 확률 = 2 × 1/62 주사위를 세 번 던져서 4, 1, 1이 나올 확률 = 3 × 1/63 주사위를 두 번 던져서 3, 3이 나올 확률 = 1/62 주사위를 세 번 던져서 3, 2, 1이 나올 확률 = 3! × 1/63 주사위를 네 번 던져서 3, 1, 1, 1이 나올 확률 = 4 × 1/64 주사위를 세 번 던져서 2, 2, 2가 나올 확률 = 1/63 주사위를 네 번 던져서 2, 2, 1, 1이 나올 확률 = 4C2 × 1/64 주사위를 다섯 번 던져서 2, 1, 1, 1, 1이 나올 확률 = 5C1 × 1/65 주사위를 여섯 번 던져서 1, 1, 1, 1, 1, 1이 나올 확률 = 6C6 × 1/66 모두 더하면 보다 일반적인 풀이를 생각해보면,,, 주사위를 k(1 ≤ k ≤ 6)번 던져서 그 합이 6이 되는 경우의 수는 방정식 a1 + a2 + … + ak = 6에서 모든 ai가 6 이하의 자연수인 해의 개수와 같습니다. a1 - 1 = a1', a2 - 1 = a2', …, ak - 1 = ak'로 두면, 이 방정식의 해의 개수는 방정식 a1' + a2' + … + ak' = 6 - k의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 k개에서 6 - k개를 뽑는 중복조합의 수 = kH6-k. 따라서 주사위를 k번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6일 확률은 부정방정식의 음이 아닌 정수해의 개수 문제로 바꾸면, 중복조합과 이항정리로 일반적으로 해결되는 문제... 부정방정식의 정수해의 개수를 중복조합의 수로 해결하는 개념에 대해서는 아래를 참조하십시오. [문제 1-(b)]의 풀이 및 해설입니다... 『시립이가 주사위를 4번 던져서 게임이 끝났을 때,』 주머니에 있는 공의 개수가 6일 확률은 시립이가 주사위를 4번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6일 확률과는 다릅니다. 게임이 끝나는 조건이 주머니에 있는 공의 개수가 6 이상일 때이기 때문이죠... 주사위를 4번 던져서 6보다 큰 수가 나올 수 있고 이때도 게임이 끝나니까요... 주사위를 4번 던져서 게임이 끝나는 사건을 A, 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 6인 사건을 B라고 하면, 이 문제는 P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)를 구하는 조건부확률 문제가 되겠는데,,, 이때, P(A ∩ B)가 주사위를 4번 던졌을 때 주머니에 있는 공의 개수가 6이 되어서 게임이 끝나는 확률이고, [문제 1-(1)]의 분할 풀이에서 6을 네 자연수의 합으로 분할한 경우의 확률인 4/64 + 6/64 = 10/64. 이를 중복조합의 수로 계산하면 a1 + a2 + a3 + a4 = 6 ⇒ a1' + a2' + a3' + a4' = 2에서 음이 아닌 정수해의 개수는 4H2 = 5C2 = 10이므로 이 확률은 10 / 64. 다음, P(A) = ? 주사위를 4번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6 이상이 되기 위해서는 주사위를 3번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 6 미만인 각 경우마다 4번째 주사위에서 6 이상이 되도록 해주면 되므로, 3 ≤ a1 + a2 + a3 ≤ 5 ⇒ 0 ≤ a1' + a2' + a3' ≤ 2이고, a1' + a2' + a3' = 0일 때 3H0 = 2C0 = 1 a1' + a2' + a3' = 1일 때 3H1 = 3C1 = 3 a1' + a2' + a3' = 2일 때 3H2 = 4C2 = 6 따라서 a1 + a2 + a3 = 3일 때 1/63 × 4/6 a1 + a2 + a3 = 4일 때 3/63 × 5/6 a1 + a2 + a3 = 5일 때 6/63 × 6/6 이 세 확률을 더한 것이 P(A). 이상으로부터,,,
구간 [0, 6]에서 함수 xh(x)의 정적분이 갖는 기하적 의미를 살피기 위해서 그림을 그려 봤습니다. 고동색이 주기함수 y = h(x)이고, 주황색 빗금친 영역의 넓이가 구간 [0, 3]에서 xh(x)의 정적분이고, 구간 [3, 6]에서 xh(x)의 그래프는 생략했습니다. 대신에 치환적분을 이용해서 구간 [0, 3]의 정적분으로 바꾸었습니다. 계속해서,,, 핑크색 부분의 정적분은 부분적분법으로! 그리고 초록색 역함수의 적분은 대칭성을 이용해서 f(x)의 적분으로... 이상으로부터,,,
m = 50일 때 a + 4b = 3이므로 불가이고, b ≥ 3 × 298-2m일 때 a ≤ 0 이므로 불가. 따라서 파란색(보라색) 식을 만족하는 자연수 (a, b, c)의 순서쌍의 개수는 1 ≤ b ≤ 3 × 298-2m - 1 범위의 자연수 b의 개수와 같으므로 3 × 298-2m - 1 (m =0, 1, 2, …, 49) a, b, c는 서로 다른 세 자연수이므로 아래 경우를 고려해서 제외해 주어야... ① a = b인 경우 a + 4b = 5b에서 파란색 식의 좌변이 5의 배수가 되고 우변은 아니므로 모순. 따라서 a = b인 경우는 없음. ② a = c인 경우 보라색 식에서 2m = 4 × 3 × 298-2m - 4b ⇒ b = 3 × 298-2m - 2m-2에서 m = 2부터 33까지 가능하므로, 이때 (a, b, c) 순서쌍의 개수는 32. ③ b = c인 경우 보라색 식에서 a = 4 × 3 × 298-2m - 4 × 2m = 3 × 2100-2m - 2m+2에서 m = 0부터 33까지 가능하므로, 이때 (a, b, c) 순서쌍의 개수는 34 ④ a = b = c인 경우 ①에 의해 만족하는 경우는 없음. 이상으로부터,,, 등식을 만족하는 서로 다른 세 자연수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 정답은 2100 - 117
[문제 4-(a)]의 풀이 및 해설입니다... [문제 4-(b)]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [시립대 수리논술] 서울시립대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울시립대학교 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 2022년 11월 20일 일요일 오전에 치른 경희대학교 2023학년도 논술우수자전형 자연계열 II 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 3문항 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
5. 2023학년도 논술고사 기출문제(자연계)_11.20 오전.pdf
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[논제 I-1]의 풀이 및 해설입니다... 이 풀이는 제시문 [나]에 있는 곡선 위의 점이 움직인 거리 공식 즉, 곡선의 길이 공식을 사용하지 않고,,, 포물선의 두 접선이 직교할 때 두 접선의 교점은 항상 준선 위에 있다는 포물선의 성질을 이용해서 가볍게 정답을 찾아 본 풀이입니다. 이 성질에 대해서는 게시글 [이차곡선] 포물선의 성질 모음 - 수지수학학원 진산서당에 있는 (24)번 성질을 참조하십시오... 아래는 모범 풀이입니다... 곡선의 길이를 구하는 공식에 대해서는 게시글 [서울대 심층면접] 주제별 탐구 - 벡터의 미분과 타원의 둘레에 있는 팁 『정적분을 이용한 곡선의 길이 공식』을 참조하십시오. [논제 I-2]의 풀이 및 해설입니다...
[논제 II-1]의 풀이 및 해설입니다... [논제 II-2]의 풀이 및 해설입니다...
[논제 III-1]의 풀이 및 해설입니다... n = 7이고 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받은 상황입니다. 이때, 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못할 확률을 구하라고 하네요... 조건부확률 문제이겠는데,,, 6번 조끼를 입은 학생이 8번 방에 도달하여 상품을 받았으므로, 7번 조끼를 입은 학생은 방 1부터 연결된 출구들을 통해 8번 방에까지 선택없이 가서 상품을 받고 나오게 되면서 게임이 끝나게 됩니다. 1번 조끼를 입은 학생이 상품을 받을 확률이 (1/2)7이죠... 8번 방까지 가기 위해서 7번의 선택을 하게 되니까요... 1번 조끼를 입은 학생이 상품을 받았다면, 2번 이후의 학생들은 선택없이 모두 상품을 받게 되지요... 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하게 되는 경우는 1번과 2번 조끼를 입은 학생은 당연히 상품을 받지 못했으며, 4번 ~ 7번 학생이 상품을 받았는지의 여부는 알 수 없는 상황이죠... 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받은 경우는 7번 조끼를 입은 학생은 당연히 상품을 받았고, 1번 ~ 5번 학생이 상품을 받았는지 여부는 알 수 없는 상황입니다... 이상, 문제의 뜻과 규칙을 살펴 보았습니다... 풀이 방향을 잡아 내기가 무척이나 까다로운 문제다 싶습니다. 상품을 받지 못하는 경우는 운동장으로 통하는 7개의 출구 중 어느 한 출구로 나오는 경우입니다. 어느 한 출구로 모두가 나올 수도 있고, 몇 개의 출구로 나누어서 나올 수도 있지만 어느 출구이든 출구로 나온 횟수만큼의 학생이 상품을 받지 못하게 됩니다. 출구로 나온 횟수가 7일 때는 아무도 상품을 받지 못한 경우이고 6일 때는 7번 조끼를 입은 학생만이 상품을 받은 경우가 되고, 5일 때는 6번, 7번이 상품을 받은 경우가 되고,,, 누군가가 어느 한 출구로 나오게 되면 그 다음 순번의 학생은 그 출구 다음 방까지는 선택없이 가게 되므로, 출구로 나온 횟수가 7일 확률은 출구 또는 다음 방을 선택하는 확률이 1/2인 7번의 시행에서 7회 모두가 출구를 선택한 경우이므로 (1/2)7이고, 출구로 나온 횟수가 6일 확률은 제시문 (바)에 의하여 7C6(1/2)6(1/2)1. 이 두 확률의 합이 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못할 확률이 되므로 여사건의 확률에 의하여 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받을 확률은 출구로 나온 횟수가 0 ~ 5인 경우의 확률마다 6번 조끼를 입은 학생이 각 경우에 상품을 받을 확률이 되므로, 당연히 이들 모두를 더해 주어도 되겠고요... 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하는 경우... 출구로 나온 횟수가 5일 때는 6, 7번만이 상품을 받은 경우가 되고,,, 출구로 나온 횟수가 4일 때는 5, 6, 7번만이, 출구로 나온 횟수가 3일 때는 4, 5, 6, 7번 학생만이 상품을 받은 경우이고, 출구로 나온 횟수가 0, 1, 2일 때는 각 확률만큼 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받게 되므로, 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받고, 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하게 되는 경우는 출구로 나온 횟수가 3, 4, 5일 때가 됩니다. 조건부확률로 마무리하면, 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받는 사건을 A라 하고, 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하는 사건을 B라고 하면 P(A ∩ B)를 마찬가지로 독립시행의 확률을 얻을 수 있으므로 [논제 III-2]의 풀이 및 해설입니다... n = 400일 때, 상품을 받지 못한 학생 수를 확률변수 XA라고 하면 이 확률변수의 값만큼 운동장으로 통하는 출구를 선택하였고, 이 횟수는 n = 400, p = 1/2인 독립시행에서 출구를 선택한 횟수와 같으므로 XA ~ B(400, 1/2)이고, n이 충분히 크므로 XA ~ N(400×1/2, 400×1/2×1/2) n = 72일 때 상품을 받지 못한 학생 수를 확률변수 XB라고 하면 마찬가지 까닭으로 XB ~ N(72×1/2, 72×1/2×1/2) P(A) = P(XA ≥ 190), P(B) = P(XB < k)이고, 이때 P(A) ≤ P(B)를 만족하는 자연수 k의 최댓값을 구하기 위해서 확률변수 Z로 표준화하여 이 부등식을 살피면 되겠습니다. 따라서 자연수 k의 최댓값은 31 이상입니다... [경희대 수리논술] 경희대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 경희대학교 자연계열/의약계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |