|
|
이 게시글은 최근년도 성균관대학교 신입생 수시모집 논술우수전형 자연계열 기출문제의 풀이·해설 모음집입니다. ① 최근 순으로 기출문제 풀이/해설 링크 ② 해당년도 문제에 대한 요약 [이 부분은 편집중]
수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
공감
이 글에 공감한 블로거 열고 닫기
댓글
1
이 글에 댓글 단 블로거 열고 닫기
|
이 게시글은 2023년 11월 19일 일요일에 치른 성균관대학교 2024학년도 수시모집 논술우수전형 자연1교시 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 100분
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... y = g(x) 위의 점 Q와 y = h(x) 위의 점 R에 대하여 선분 QR의 길이가 최소이고, 함수 g(x)와 h(x)가 미분가능하다고 하였으므로, [문제 1-1]에 의하여 y = h(x) 위의 점 R에서 접선에 수직인 법선이 점 Q를 지나며, 같은 까닭으로 [문제 1-1]에 의하여 y = g(x) 위의 점 Q에서 접선에 수직인 법선이 점 R을 지나므로. 점 Q에서 y = g(x)에 접하는 접선과 점 R에서 y = h(x)에 접하는 접선은 모두 직선 QR에 수직이 됩니다. [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... 곡선 위의 네 점 A, B, C, D에 대하여 세 선분 AB, BC, CD의 길이의 합이 최소가 되기 위해서는 일단은 아래 애니메이션의 초록색 직선에서와 같이 점 A의 y = x에 대한 대칭점 A'와 점 D의 y = 0에 대한 대칭점 D'를 직선으로 연결했을 때 이 직선이 y = x와 만나는 점이 B, y = 0과 만나는 점이 C여야 합니다. 두 초록색 이등변삼각형에서 대칭성의 원리를 생각하면 직선일 때 최소가 됨을 알 수 있겠고,,, 점 D의 x좌표 c와 점 A의 y좌표 b의 차가 6이라고 주어진 것이 계산을 줄여 주는 힌트죠... 위에서와 같이 처리해서 쉽게 A, D의 좌표를 얻을 수 있으니까요... ①' b - c = 6일 때도 따져 보면 ②와 연립했을 때 c = 3, b = 9에서 선분 A'D'의 길이가 위 그림과는 다르게 멀리 떨어져 있을 뿐만 아니라 두 접선과 수직도 아닌 상황입니다... 따라서 이 경우는 아님... 주어진 두 좌표의 차이 6을 먼저 고려하지 않고, [문제 1-2]의 결과를 우선적으로 적용해서 A, D의 좌표를 구하는 방향으로 밀고 나가 보면, [문제 1-2]에 의해 두 법선이 일치하므로 파란색 식에 c = 7을 대입하면 성립하고, 이때 b = 1이므로 c - b = 6 즉, 점 D의 x좌표와 점 A의 y좌표의 차 6을 만족합니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 사다리꼴의 넓이를 계산하면,,, 여러가지 방법이 있겠습니다만, 아래는 닮음비 1:5를 가지고 밑변비, 넓이비로 해결했습니다. 세 점 P, B, C의 좌표와 선분 PM의 길이 1로부터 삼각형 PBC의 넓이 1/2을 얻은 후 이 넓이를 s로 두면, 닮음비 1:5가 밑변비 1:5가 되므로 이웃한 삼각형의 넓이비가 1:5가 되지요... 굳이 방정식을 풀어서 A, D의 좌표를 구할 필요는 없습니다. 정답은 18 참고로,,, 사다리꼴의 두 밑변의 중점 M1, M2를 연결한 선분이 대칭축과 평행한 데 대해서는 게시글 [이차곡선] 포물선의 성질 모음 - 수지수학학원 진산서당의 성질 (9)번을 참조하십시오. [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-1]의 연장선상에서 이상의 논의가 논술되어야 겠고요... 계속해서 이상으로부터 아래 그림과 같은 상황이고,,, 반지름의 길이가 4일 때, 세 정수 a, b, c를 구해야... 이제 조사할 차례... 0 < a < b이고, (b - a)2이 홀수이므로 b - a = 1일 때 a + b = 31 홀수 OK b - a = 3일 때 a + b = 27 홀수 OK b - a = 5일 때 a + b = 19 홀수 OK b - a = 7일 때 a + b = 14 짝수 No 파란색 사다리꼴 ABCD의 넓이 S = (√a + √b)(b - a)이므로 [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 파란색 등변사다리꼴... [문제 2-2]에서 y = x2과 서로 다른 네 점에서 만날 때의 그 등변사다리꼴입니다... 계산 처리도 비슷하고요... 보라색 원의 반지름의 길이가 10일 때, 이차방정식 ★의 두 근 X1, X2가 교점의 y 좌표인 X1 = x22 = x32 = m과 X2 = x12 = x42 = n인데, n - m = 20입니다. 차가 20인 두 자연수의 (m, n)의 순서쌍은 무수히 많습니다. 이들 모든 순서쌍 (m, n)에 대해서 반지름의 길이가 10인 보라색 원이 존재할까요? 그렇지 않겠죠? 이차방정식 ★의 서로 다른 두 근이 실근이어야 함을 생각해서 판별식 D > 0 조건을 걸어서 m + n ≤ 200을 찾을 줄 알아야 겠습니다. n - m = 20 ⇒ n = m + 20을 부등식에 대입하면 m + (m + 20) ≤ 200에서 m ≤ 90을 얻습니다. 따라서 양의 정수의 순서쌍 (m, n) = (1, 21), (2, 22), (3, 23), (4, 24), (5, 25), …, (90, 110)에서 90개의 순서쌍을 얻게 되겠는데,,, 제시문 3의 단서 조항에서 xk(k = 1, 2, 3, 4)는 정수가 아니라고 하였습니다. √m, √n 모두 정수가 아니므로 m과 n은 완전제곱수가 아니어야 합니다. 위 (m, n)의 순서쌍 중에서 (1, 21), (4, 24), (5, 25), … 등은 제외되어야 하는 것이지요. 모두 적어 보면, (12, 21), (22, 24), (32, 29), …, (92, 101) 아홉개와 (5, 52), (16, 62), (29, 72), (44, 82), (61, 92), (80, 102) 여섯개가 있습니다. 이들 중 겹치는 것은 (16, 62) 1개... 따라서 정답은 90 - (9 + 6 - 1) = 90 - 14 = 76 단, xk(k = 1, 2, 3, 4)는 정수가 아니다... 성대 논술은 이런 부분을 놓치지 말고 꼼꼼히 읽어서 반영해 주어야 합니다... 까딱하다가는 우습게 점수를 까먹습니다. 제시문 2에서는 교점의 y좌표가 모두 정수가 아니라고 했습니다. x, y 좌표가 정수가 아니다가 아니고 y좌표가 모두 정수가 아니다... [문제 1-3]에서는 점 D의 x좌표와 점 A의 y좌표의 차가 6이다... 이런 것들 조심해서 다루어야 겠습니다.
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... B2 + 4AC = 100, B > C B2 = 100 - 4AC = 4(25 - AC) B = 2m으로 두면 25 - AC = m2 ⇒ AC = (5 - m)(5 + m)이고, B > C에서 2m > C ① m = 1일 때 AC = 24, C < 2 ② m = 2일 때 AC = 21, C < 4 ③ m = 3일 때 AC = 16, C < 6 ④ m = 4일 때 AC = 9, C < 8 f(x) = -Ax2 + Bx + C f(x) = 0 ⇒ f(x) = -A(x - α)(x - β) = 0 [문제 3-1]의 결과 두 근의 곱 αβ = - r2 = -C/A에서 C = Ar2이므로 AC = A2r2 = (Ar)2으로 완전제곱수입니다. 위에서 ③, ④ 경우만 이를 만족하고 있습니다. ③ 경우에 (A, B, C) = (8, 6, 2), (16, 6, 1)일 때는 C = Ar2이 충족되지 않으므로 불가이고, (A, B, C) = (4, 6, 4)일 때 C = Ar2에서 r = 1 ④ 경우에 (A, B, C) = (3, 8, 3)이고, C = Ar2에서 r = 1 (A, B, C) = (4, 6, 4), (3, 8, 3)인 경우에 대해서 두 근 α, β를 얻은 후 r = 1이므로 [문제 3-1]의 결과로부터 q를 확정하고 q2 + 4pr은 완전제곱수에서 p를 확정하면 되겠습니다. ③' -4x2 + 6x + 4 = 0에서 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) = 0 ⇒ α = -1/2, β = 2 ⇒ αβ = -1에서 r = 1 OK이고, α + β = 3/2 = -1/q + q에서 자연수 q = 2 ⇒ q2 + 4pr = 4 + 4p = 4(1 + p) = 완전제곱수 ⇒ 최소의 자연수 p = 3 ④' -3x2 + 8x + 3 = 0에서 3x2 - 8x - 3 = (3x + 1)(x - 3) = 0 ⇒ α = -1/3, β = 3 ⇒ αβ = -1에서 r = 1 OK이고, α + β = 8/3 = -1/q + q에서 자연수 q = 3 ⇒ q2 + 4pr = 9 + 4p = 완전제곱수 ⇒ 최소의 자연수 p = 4 이상으로부터 (A, B, C) = (4, 6, 4)일 때 (p, q, r) = (3, 2, 1) (A, B, C) = (3, 8, 3)일 때 (p, q, r) = (4, 3, 1) [문제 3-3]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [성균관대 수리논술] 성균관대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 성균관대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |
이 게시글은 2023년 5월 10일 수요일에 치른 경기도교육청이 주관한 2023년 4월 고3 전국연합학력평가 수학 오답률 TOP 10 확통선택 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 문이과 통합 이후 공통문항이 1번부터 22번까지이고, 확률과 통계, 미적분, 기하와 벡터 각 8개 문항은 23번부터 30번까지로 선택으로 치르고 있습니다. 이 포스팅에서는 오답률 TOP 10에 오른 확통선택 3개 문항과 오답률이 50%가 넘은 24번까지 4개 문항에 대해서만 풀이 및 해설하고 있으며, 공통문항과 타 선택과목의 풀이에 대해서는 아래 게시글을 참조하십시오. 오답률 1위(97.3%) 30번 문제의 풀이 및 해설입니다... ① a의 개수가 3일 때 ② a의 개수가 4일 때 ③ a의 개수가 5일 때 ① a의 개수가 3일 때 ㉠ b 4개일 때 bb(aaa)bb 1가지뿐이고, c 4개일 때도 마찬가지. ㉡ b 3개, c 1개일 때 (aaa), b, b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 (aaa), (bbb), c를 일렬로 나열하는 경우의 수를 빼면 5!/3! - 3! = 14이고, b 1개, c 3개일 때도 마찬가지. ㉢ b 2개, c 2개일 때 (aaa), b, b, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수 = 5! / 2!2! = 30. 따라서 1 × 2 + 14 × 2 + 30 = 60 ② a의 개수가 4일 때 ㉠ b 3개일 때 (aaa), a, b, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 (a1aaa), (bbb) 또는 (aaaa2), (bbb)를 일렬로 나열하는 경우의 수를 빼면 5!/3! - 2 × 2! = 16이고, c 3개일 때도 마찬가지. ㉡ b 2개, c 1개일 때 (aaa), a, b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 (a1aaa), b, b, c 또는 (aaaa2), b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수를 빼면 5!/2! - 2 × 4!/2! = 36이고, b 1개, c 2개일 때도 마찬가지. 따라서 16 × 2 + 36 × 2 = 104 ③ a의 개수가 5일 때 ㉠ b 2개일 때 (baaab), a, a를 일렬로 나열하는 경우의 수 3, (baaa)에서 b의 왼쪽에 a, a, b를 일렬로 나열하는 경우의 수 3, (aaab)에서 b의 오른쪽에 a, a, b를 일렬로 나열하는 경우의 수 3이므로 3 + 3 + 3 = 9이고, c 2개일 때도 마찬가지. ㉡ b 1개, c 1개일 때 (baaac), a, a를 일렬로 나열하되 b, c는 바꿀 수 있는 경우의 수 = 3!/2! × 2! = 6. 따라서 9 × 2 + 6 = 24 이상으로부터 ① + ② + ③ = 60 + 104 + 24 = 188 오답률 3위(93.3%) 29번 문제의 풀이 및 해설입니다... ① f(4) = 3일 때 ② f(4) = 4일 때 ③ f(4) = 5일 때 ① f(4) = 3일 때 f(1) = f(2) = f(3) = 1이고, 2f(4) = 6 = f(5) + f(6) + f(7) + f(8)에서 6 = 3 + 1 + 1 + 1, 6 = 2 + 2 + 1 + 1가 가능하므로 3, 1, 1, 1을 일렬로 나열해서 순서대로 f(5), f(6), f(7), f(8)에 할당하는 방법의 수 = 4!/3! = 4이고, 2, 2, 1, 1을 일렬로 나열해서 마찬가지로 할당하는 방법의 수 = 4! / 2!2! = 6. 따라서 1 × (4 + 6) = 10 ② f(4) = 4일 때 4 = 2 + 1 + 1만 가능하므로 f(1), f(2), f(3)을 결정짓는 방법의 수는 위에서와 같이 생각해서 3가지. 2f(4) = 8 = f(5) + f(6) + f(7) + f(8)에서 8 = 5 + 1 + 1 + 1 = 4 + 2 + 1 + 1 = 3 + 3 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2가 가능하고, 마찬가지로 할당하는 방법의 수는 각각 4!/3!, 4!/2!, 4! / 2!2! , 4!/2!, 1이므로, 3 × (4 + 12 + 6 + 12 + 1) = 105 ③ f(4) = 5일 때 5 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1이 가능하므로 f(1), f(2), f(3)을 결정짓는 방법의 수 = 3 + 3 = 6. 2f(4) = 10 = f(5) + f(6) + f(7) + f(8)에서 10 = 5 + 3 + 1 + 1 = 5 + 2 + 2 + 1 = 4 + 4 + 1 + 1 = 4 + 3 + 2 + 1 = 4 + 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 + 1 = 3 + 3 + 2 + 2가 가능하고, 마찬가지로 할당하는 방법의 수는 각각 4!/2!, 4!/2!, 4!/ 2!2!, 4!, 4!/3!, 4!/3!, 4!/ 2!2!이므로, 6 × (12 + 12 + 6 + 24 + 4 + 4 + 6 ) = 408 이상으로부터 ① + ② + ③ = 10 + 105 + 408 = 523 합이 주어질 때는 중복조합을 이용한 풀이가 좋습니다. 함숫값 f(1), f(2), …, f(8)을 변수 x1, x2, …, x8이라 두면 ① f(4) = 3일 때 ⇔ x1 + x2 + x3 = 3일 때 (x1, x2, x3) = (1, 1, 1) 한 가지만 가능하고, x5 + x6 + x7 + x8 = 6을 만족하는 자연수 해의 순서쌍 (x5, x6, x7, x8)의 개수는 x5' + x6' + x7' + x8' = 6 - 4 = 2를 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍의 개수와 같고 이는 서로 다른 4개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 4H2 = 5C2 = 10. 따라서 1 × 10 = 10 ② f(4) = 4일 때 ⇔ x1 + x2 + x3 = 4일 때 x1 + x2 + x3 = 4를 만족하는 자연수 해의 개수는 x1' + x2' + x3' = 1을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 3H1 = 3C1 = 3이고, x5 + x6 + x7 + x8 = 8을 만족하는 자연수 해의 개수는 x5' + x6' + x7' + x8' = 8 - 4 = 4를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 4H4 = 7C4 = 35. 따라서 3 × 35 = 105 ③ f(4) = 5일 때 ⇔ x1 + x2 + x3 = 5일 때 x1 + x2 + x3 = 5를 만족하는 자연수 해의 개수는 x1' + x2' + x3' = 2를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 3H2 = 4C2 = 6이고, x5 + x6 + x7 + x8 = 10을 만족하는 자연수 해의 개수는 x5' + x6' + x7' + x8' = 10 - 4 = 6을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같은데, 가장 큰 자연수가 5여야 하므로 xk = 6, 7, 8, 9, 10이 하나라도 존재하는 경우는 제외해 주어야 합니다. 10 = 6 + 2 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 + 1이므로 4H6 - (4!/2! + 4) = 9C3 - (12 + 4) = 68 따라서 6 × 68 = 408 이상으로부터 ① + ② + ③ = 10 + 105 + 408 = 523 오답률 6위(74.4%) 28번 문제의 풀이 및 해설입니다... 짝수 2, 2, 2, 4 홀수 1, 1, 3, 3 7장을 뽑아서 일렬로 나열할 때 홀수끼리 이웃하지 않으면 됩니다. ① 짝수 4장, 홀수 3장일 때 ② 짝수 3장, 홀수 4장일 때 ① 짝수 4장, 홀수 3장일 때 ∨■∨■∨■∨■∨ 짝수 2, 2, 2, 4를 먼저 일렬로 나열해서 ■ 자리에 놓았다 치면, 사이와 양끝 ∨ 자리 중에 세 곳을 택하여 홀수 1, 1, 3 또는 1, 3, 3을 나열해주면 됩니다. 2, 2, 2, 4를 나열하는 경우의 수 = 4!/3! ∨ 자리 세 곳을 택하는 경우의 수 = 5C3 1, 1, 3을 나열하는 경우의 수 = 3!/2! 1, 3, 3을 나열하는 경우의 수 = 3!/2! 따라서 4 × 10 × (3 + 3) = 240 ② 짝수 3장, 홀수 4장일 때 ∨■∨■∨■∨ 짝수 2, 2, 2 또는 2, 2, 4를 먼저 일렬로 나열해서 ■ 자리에 놓은 후, 사이와 양끝 ∨ 자리 네 곳 모두에 홀수 1, 1, 3, 3을 나열해주면 됩니다. (1 + 3!/2!) × (4! / 2!2!) = 24 홀수 1, 1, 3, 3을 먼저 나열한 후 사이 세 곳에 짝수 2, 2, 2 또는 2, 2, 4를 나열해 주어도 됩니다. 이상으로부터 ① + ② = 240 + 24 = 264이고 정답은 오지선다형 ①번 오답률 12위(54.5%) 24번 문제의 풀이 및 해설입니다... 모두 더하면 192. 정답은 오지선다형 ⑤번 다른 풀이, 덧붙이는 생각입니다... 앞 풀이는 0부터 5까지 n에 대하여,,, 집합 A에 n개, 집합 B에 5 - n개를 넣는 경우의 수를 모두 구해서 더한 것입니다. 다른 생각을 해봅니다. 일단 집합 A 또는 B에 넣을 5개를 택합니다. 6C5 = 6. 이제 이 다섯 개를 A, B에 나누어 넣어야겠는데,,, 중복순열을 발상(發想)하는 것이 늘 어렵습니다... A, B 각각에 몇 개씩 넣지?라고 생각하면 A + B = 5이므로 A, B 2개에서 중복 허용해서 5개를 택하는 중복조합의 수 2H5 = 6C5 = 6가지의 경우가 있겠는데, 이때는 A에 어느 수가 B에 어느 수가 들어 갔는지는 구분되지 않습니다. 이 구분을 감안한 것이 중복순열입니다. A, B 2개에서 중복 허용해서 5개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는 ? BBBBB ⇒ 5C0 ABBBB ⇒ 5C1 AABBB ⇒ 5C2 AAABB ⇒ 5C3 AAAAB ⇒ 5C4 AAAAA ⇒ 5C5 중복조합의 수인 6가지 경우 각각에 대해서 일렬로 나열하는 경우의 수를 모두 적어 보면 이와 같고 모두 더하면 32이므로 6 × 32 = 192로 앞풀이의 결과와 같습니다. 이때 32가 바로 이항계수의 성질인 5C0 + 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 25이기도 하지만 서로 다른 2개에서 5개를 택하는 중복순열의 수 2Π5 = 25입니다. X = { 1, 2, 3, 4, 5 }, Y = { A, B }일 때 X에서 Y로 가는 함수 f의 개수가 A, B에서 중복 허용해서 5개를 택하여 일렬로 나열한 그 순서로 1, 2, 3, 4, 5의 함숫값으로 할당하는 경우의 수와 같으므로 25이죠... 1의 함숫값으로 가능한 경우가 5가지, 2의 함숫값으로 가능한 경우도 5가지, … 모두가 각각 5가지이므로 곱의 법칙에 의하여 25이다라고 생각하는 것이 훨씬 쉽습니다. 그만큼 발상이 좀 불편한 것이지요... 이상입니다. 수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |