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이 게시글은 2023년 9월 23일 토요일에 치른 연세대학교 2024학년도 수시모집 논술전형 자연계열 수학 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 예상소요시간은 수학(60점) 4문항에 90분, 과학(40점)은 물, 화, 생, 지 택일하여 60분 전체 시험시간 150분 아래는 입학처 통합자료실에 있는 문제지 원본입니다. 다운로드, 출력하셔서 먼저 시험을 치르기를 권장합니다.
2. 2024학년도 연세대학교 대학별고사 선행학습 영향평가 결과보고서 별책(기출문제).pdf
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[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 원점에서 오른쪽으로 출발하여 방향 전환을 정확히 5회 하는 경우에 로봇이 움직이는 방향이 Right → Up → Right → Up → Right → Up과 같으므로, 원점에서 출발한 로봇은 Right 방향으로 3회 직진하고 Up 방향으로 3회 직진하여 점 (21, 21)에 도착합니다. Right 방향 3회의 직진 구간의 길이를 차례대로 x1, x2, x3, Up 방향 3회의 직진 구간의 길이를 차례대로 y1, y2, y3라 두면, x1 + x2 + x3 = 21, y1 + y2 + y3 = 21이고 x1, x2, x3, y1, y2, y3는 모두 자연수. 이를 만족하는 순서쌍 (x1, x2, x3, y1, y2, y3)의 개수가 경로의 수와 같으므로 x1 + x2 + x3 = 21 (x1, x2, x3 ≥ 1) x1' = x1 - 1, x2' = x2 - 1, x3' = x3 - 1로 두면 x1' + x2' + x3' = 18 (x1, x2, x3 ≥ 0)이고, 만족하는 순서쌍 (x1, x2, x3)의 개수는 3개에서 18개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 3H18 = 20C18 = 20C2 = 190. y1 + y2 + y3 = 21 (y1, y2, y3 ≥ 1)을 만족하는 순서쌍 (y1, y2, y3)의 개수도 마찬가지로 190이므로, 결국, 경로의 수는 1902 = 36100 [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 로봇이 음이 아닌 정수점에서만 방향 전환을 하므로 정수점이 아닌 점에서 로봇은 Right 방향 또는 Up 방향으로 직진할 때임을 생각하면, 주황색에서 보듯이 원 위의 점 (x, y)에 대하여 x 또는 y 중 적어도 하나가 정수일 때 로봇(단, 한 점으로 간주)은 원 모양 테두리에 닿게 되고 이때 멈춥니다. 그리고, 아래쪽 파란색은 [문제 1-1] 5회 방향 전환하는 예를 그려 본 것입니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 무한급수와 정적분의 관계에 관한 문제로군요... 핑크색 식의 우변의 극한을 정적분으로 구할 수 있으므로 수열 { lna2n / n - lnan / n - ln2n }은 수렴하고 극한값은 아래와 같습니다. [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 조건 (가), (다)를 먼저 살피면,,, bn은 ancn의 약수가 아니다 ⇒ bn은 (n!)cn의 약수가 아니다 ⇒ bn은 ncn(n-1)cn…2cn의 약수가 아니다. 그런데, bn의 모든 소인수는 n이하이다... (이게 가능하다면) 그렇다면, bn의 어떤 소인수 pn에 대하여 pn의 소인수분해했을 때의 거듭제곱꼴이 pncn보다 큰 경우가 존재하므로 이 pn에 대하여 pncn+1은 bn의 약수입니다. 이를 조건 (나)와 엮으면
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... 1 ≤ i ≤ 20 범위의 자연수 i에 대하여 20쌍을 이루는 두 카드 각각에 적힌 수를 ai, bi라고 하면, 20개의 카드 쌍에서 임의로 한 쌍을 고를 확률이 1/20이므로 따라서 ai, bi의 선택 즉, 20쌍을 만드는 방법과 상관없이 확률변수 X의 평균 E(X)의 값은 0으로 일정. [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... 파란색 총합이 [문제 3-1]에서처럼 계산하면 20쌍을 만드는 방법과 상관없이 항상 일정한 값(2 × (12+22+…+202))을 가지므로 보라색 부분이 최대가 될 때 분산 V(X)의 값은 최대가 됩니다. 보라색 aibi의 총합이 최대가 되기 위해서는 양수는 양수끼리 음수는 음수끼리 짝을 이루어야 하는 것은 당연하고, 20×19, 18×17, …, 2×1과 같이 큰 수에서부터 그 다음 큰 수끼리 짝을 이루어서 곱한 것들의 총합이 최대가 되지 않겠느냐고 생각하면, 녹색 부분에 대한 수리적 증명이 꼭 있어야 겠습니다... 1 ≤ x, y ≤ 18인 임의의 두 자연수 x, y에 대하여 일반성을 잃지 않고, (a1, b1) = (20, 19), (a2, b2) = (x, y)로 20, 19가 짝을 이룰 때와 (a1, b1) = (20, x), (a2, b2) = (19, y)로 짝을 이루지 않을 때를 가지고 각각 10개의 카드 쌍에 적힌 두 수의 곱의 총합을 비교하면 아래에서 보듯이 20과 19가 짝을 이루었을 때 곱의 총합이 더 큽니다. 계속해서, 20과 19가 적힌 두 카드를 제외한 9개의 카드 쌍에 대하여 이와 같은 과정을 반복하면 두 수의 곱의 총합은 18과 17이 쌍을 이룰 때 최대가 되고, 다음 단계에서는16과 15가 쌍을 이룰 때 최대가 되고,,, 따라서 20과 19, 18과 17, …, 2와 1이 짝을 이룰 때 두 수의 곱의 합이 최대. 음의 정수도 마찬가지...
아래는 제시문의 뜻에 맞게 만든 애니메이션입니다. 점 Q의 자취는 점 P를 지나 벡터 v에 평행한 직선 위의 점인데, t ≥ 0이므로 벡터 v와 같은 방향의 반직선. 네 점 P1, P2, P3, P4와 이에 대응하는 네 벡터 v1, v2, v3, v4를 가지고 네 개의 반직선 l1, l2, l3, l4를 각각 파란색, 보라색, 주황색, 녹색으로 그렸습니다. 반직선 벡터 PiQi는 t의 값을 증가시켜 가면서 진하게 그렸구요... 그리고, 제시문 (가)에 의해 생성되는 교점 P를 Pi, j로 표시했습니다. 반직선 li, lj의 교점이 Pi, j. 양의 실수 a에 대하여, 벡터 avi + vj 또는 vi + avj를 점 Pi, j를 시점으로 하는 평행이동한 벡터의 종점이 두 반직선 li, lj의 사이 영역에 존재하므로 결국 점 R 또는 점 S의 자취 또한 두 반직선 li, lj의 사이 영역이 됩니다. 마지막으로 제시문 (나)를 적용한 교점의 한 예에 대하여 새로이 생성된 반직선의 자취 영역을 오른쪽에 흐릿하게 칠해 주었습니다. [문제 4-1]의 풀이 및 해설입니다... 처음 네 반직선 중에서 파란색, 보라색 두 반직선 l1, l2에 대하여 제시문 (가)에 의해서만 생성되는 반직선에 대해서 일단 좁혀서 생각해보는 문제입니다. 반직선들을 직선의 방정식으로 나타내어서 해결해 보겠습니다. 파란색 반직선 l1의 방정식 : y = 4 (x ≤ 6) 보라색 반직선 l2의 방정식 : x = 1 (y ≤ 5) 벡터 av1 + v2 또는 v1 + av2 에 평행한 직선의 기울기 m은 임의의 양수이고, a > 0일 때 두 반직선 l1, l2의 교점 P(1, 4)를 지나 반직선 l1의 아래쪽, l2의 왼쪽에 그려지는 모든 반직선이므로, 이 반직선들의 방정식은 y = m(x - 1) + 4 (m > 0, x < 1). 즉, 점 R 또는 S의 존재 영역은 x < 1, y < 4이므로 새로이 생성되는 반직선 PR 또는 PS는 점 A(2, 2)를 지나지 않습니다. A(2, 2)를 반직선의 방정식에 대입해보면, 2 = m(2 - 1) + 4에서 m < -2이므로 m > 0와 모순. 아래는 대학측 문항 해설에 있는 벡터 내적을 이용한 풀이입니다... 새로이 생성되는 반직선들의 방향을 가리키는 벡터 av1 + v2 또는 v1 + av2에 수직인 벡터는 각각 벡터 PR 또는 벡터 PS와 수직이므로 벡터 PR 또는 벡터 PS와 각 수직벡터의 내적은 0입니다. 벡터 PA와 이들 수직벡터의 내적의 값이 0이 아니면 점 A는 반직선 PR 또는 PS 위의 점이 아니므로 점 A를 지나는 양의 실수 a가 존재하지 않게 됩니다. 벡터 av1 + v2를 성분표시하면 (-a, -1)이므로 한 수직벡터 w를 (1, -a)라 하면 벡터 v1 + av2를 성분표시하면 (-1, -a)이므로 한 수직벡터 w를 (a, -1)이라 두고, 수직벡터 w와 벡터 PA의 내적을 계산하면 (a, -1)·(1, -2) = a + 2 > 0 이상으로부터 점 A는 벡터 PR 또는 벡터 PS 위의 점이 될 수 없으므로 모든 양의 실수 a에 대하여 새로이 생성되는 반직선 PR 또는 PS는 점 A를 지나지 않습니다. [문제 4-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상은 크게 어렵지 않다 하겠는데,,, 이 문항은 나머지 두 반직선 l3, l4를 포함하여 제시문 (가) 뿐만 아니라 제시문 (나)를 통해 계속해서 생성되는 무수히 많은 반직선들이 모두 점 A를 지나지 않음을 보이는 문제라 할 수 있습니다. 문제의 조건을 보다 일반화하여 일반 증명으로 이끌어내는 힘을 평가하는 문제라고 해야겠습니다. 먼저, 네 반직선 l1, l2, l3, l4에 대하여 제시문 (가)에 의해서만 새로이 생성되는 반직선이 점 A를 지나지 않는데 대하여,,, [문제 4-1]의 앞 풀이에서처럼 새로이 생성되는 반직선의 방정식을 작성해서 이들이 점 A를 지나지 않음을 확인할 수도 있겠지만, 대학측 풀이와 같이 수직벡터를 이용해서 증명해 보겠습니다. 평행벡터를 이용해도 되지만, 수직벡터와의 내적이 깔끔... 1이상 4이하의 i, j에 대하여 벡터 avi + vj 또는 vi + avj를 벡터 v, 벡터 v와 수직인 벡터를 벡터 w, 반직선 li, lj의 교점을 P, 벡터 v에 평행하고 교점 P를 시점으로 하는 벡터를 PR이라 두고, 가능한 모든 벡터 v, w에 대하여 수직벡터 w와 벡터 PA의 내적이 0이 아님을 보이면 되겠습니다. [문제 4-1]의 반직선 l1, l2에 대한 경우를 한 번 더 적어본 것인데, 아래 다른 두 반직선의 쌍에 대해서도 벡터 v = (c, d) 일 때 이와 수직인 한 벡터를 w = (-d, c)로 잡도록 하겠습니다. (수식의 색깔은 처음 애니메이션과 같음) 파란색 반직선 l1과 주황색 반직선 l3는 만나지 않습니다. 다음, 네 반직선 l1, l2, l3, l4에 대하여 제시문 (나)의 규칙이 반복적으로 적용될 때 새로이 생성되는 반직선이 점 A를 지나지 않는데 대하여,,, 네 반직선 l1, l2, l3, l4 및 이들로부터 새로이 생성된 반직선들 중 교점을 갖는 임의의 서로 다른 두 반직선을 각각 m1, m2라 하고, m1, m2의 벡터방정식을 아래와 같이 놓았을 때 반직선 R1X1의 방향을 가리키는 벡터 u1 = (c1, d1)에 대하여 한 수직인 벡터를 w1 = (-d1, c1)라 했을 때 [문제 4-1]과 같이 제시문 (가)의 규칙을 따른 ①, ②, ③, ④, ⑤에 의하여 수직벡터 w1과 벡터 R1A의 내적은 0이 아니었을 뿐 아니라 양수였습니다. 반직선 R2X2의 방향을 가리키는 벡터 u2 = (c2, d2)에 대하여 한 수직인 벡터를 w2 = (-d2, c2)라 했을 때 마찬가지로 수직벡터 w2와 벡터 R2A의 내적도 양수... 이제,,, 두 반직선 m1, m2가 점 P에서 만나 새로이 생성된 반직선을 m이라 할 때 반직선 m의 벡터방정식을 아래와 같이 u1, u2를 사용해서 나타낼 수 있고 교점 P가 반직선 m1 위의 점이고 수직벡터 w1와 벡터 R1A의 내적이 양수이므로 교점 P가 반직선 m2 위의 점이고 수직벡터 w2와 벡터 R2A의 내적이 양수이므로, 마찬가지 방식으로 수직벡터 w2와 벡터 PA의 내적도 양수가 됩니다. 그렇다면, 아래에서 보듯이 벡터 PA와 벡터 v의 수직벡터의 내적이 0이 아님을 보임으로써 반직선 m이 점 A를 지나지 않음을 확인할 수 있습니다. 이상으로부터 이상의 로직을 반복적으로 적용해서 새로이 생성된 모든 반직선은 점 A를 지나지 않습니다. 이상입니다... [연세대 수리논술] 연세대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 연세대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 수학 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. 수학의 힘 !!! #수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536)
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이 게시글은 2023년 5월 21일 일요일에 치른 한국수학교육학회가 주최하고 동아일보가 후원하는 제46회(2023년 전기) KMC 예선(한국수학인증시험) 초등 4학년 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 30문항 시험시간 2시간 ※ 다음 문제를 잘 읽고 물음에 답하시오. 1번 ~ 7번은 2점, 8번 ~ 16번은 3점, 17번 ~ 27번은 4점, 28번 ~ 30번은 5점입니다. 따라서 9 × 4 + 2 + 2 + 3 = 36 + 7 = 43 다른 풀이입니다. 1000 - 777 = 223이고 10,000,000 - 1,000 = 9,999,000이므로 10,000,000 - 777 = 9,999,223 가로의 길이는 원 4개 중 3개의 지름의 합에 해당하므로 6 × 3 = 18. 마찬가지로 생각해서 세로의 길이는 원 2개의 지름의 합과 같으므로 12 cm. 따라서 직사각형의 가로와 세로의 길이의 합은 18 + 12 = 30 어떤 수를 □라 하면 □ + 123 = 321 - □ □ + □ = 321 -123 = 198 따라서 □ = 99 40 × 40 = 1600이고 50 × 50 = 2500... ㉡ × ㉡의 일의 자리 숫자가 9이므로 ㉡ = 3 또는 ㉡ = 7 (1) ㉡ = 3인 경우 43 × 43 = 1849 No ! (2) ㉡ = 7인 경우 47 × 47 = 2209 OK ! 따라서 두 자리 수 ㉠㉡ = 47 분자 9부터 59까지 자연수이므로 이 개수는 59 - 9 + 1 = 51. 분자가 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56일 때는 자연수가 되므로 이 7개를 가분수 51개 중에서 빼주어야 자연수가 아닌 가분수... 따라서 구하는 가분수의 개수는 51 - 7 = 44 위쪽 저울이 가리키는 1kg 500g이 책의 무게이고, 아래쪽 저울이 가리키는 4kg은 책과 위쪽 저울의 무게의 합입니다. 책 + 위쪽 저울 = 4kg 1kg 500g + 위쪽 저울 = 4kg 따라서 위쪽 저울의 무게 = 4kg - 1kg 500g = 2kg 500g ㉠ = 2, ㉡ = 500이므로 ㉠ + ㉡ = 502 5 + 5 = 10이고, 3 + 3 = 6입니다. 큰 수 부터 최대 두 개까지 사용해서 17을 만들고, 점점 개수를 줄여 가면서 작은 수를 늘려 잡는 방식으로 조사합니다. 17 = 5 + 5 + 3 + 3 + 1 = 5 + 5 + 3 + 2 + 2 = 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1 = 5 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 + 5 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 5 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 따라서 가능한 방법은 4가지. 게시글 [KMC2023 기출] 제46회 한국수학인증시험(KMC 예선) 초등5 기출문제의 풀이 해설 16번에서는 1, 2, 3, 5를 각각 최대 세 번까지 사용하여 17을 만드는 같은 유형의 문제입니다. 가능한 방법은 13가지인데, 초4와 초5의 조사하는 힘의 차이라고 할 수도 있겠네요... 함께 참조하십시오. 어떤 달의 첫 수요일의 날짜를 □라 두고, 이 달의 수요일의 날짜를 □를 사용해서 차례로 적으면 □ □ + 7 □ + 14 □ + 21 □ + 28 모두 더하면 □ + □ + □ + □ + □ + (7 + 14 + 21 + 28) = □ + □ + □ + □ + □ + 70이 되어 66보다 크므로, 마지막 □ + 28은 제외하고 다시 더해 보면 □ + □ + □ + □ + (7 + 14 + 21) = □ + □ + □ + □ + 42 = 66. □ + □ + □ + □ = 24이므로 □ = 6 이 달의 첫 수요일이 6일이므로 첫 월요일은 4일. 따라서 이 달의 월요일 날짜를 모두 더하면 4 + 11 + 18 + 25 = 58 ㉠㉡㉢ × 3 + ㉣ = 2023 2023 ÷ 3 = 674 … 1이므로 674 × 3 + 1 = 2023 가장 작은 세 자리 수 ㉠㉡㉢을 구하는 문제죠... 674에서 시작해서 1씩 줄여가면서 한 자리 수 ㉣이 존재하는지를 살피면 되겠습니다. 674 × 3 + 1 = 2023 673 × 3 + 4 = 2023 672 × 3 + 7 = 2023 671 × 3 + 10 = 2023 따라서 가장 작은 세 자리 수 ㉠㉡㉢ = 672 오른쪽 다섯 개의 0을 버리고 생각해도 마찬가지이므로 고쳐 적어 보면 10, 15, 25, 40, 65, …, 1000보다 큰 수와 같고, 앞의 두 수를 더해서 다음 수가 얻어지는 규칙이므로 10, 15, 25, 40, 65, 105, 170, 275, 445, 720, 1165 따라서 첫째 수 1,000,000(백만)에서 시작해서 처음으로 1억보다 커지는 수 116,500,000는 11째 수 오답률이 꽤 높군요... 이와 같이 간단히 해서 규칙 찾기를 하지 않았거나 규칙이 5, 10, 15, 20, …씩 늘어나는 것이 아니냐고 잘못 생각한 것이 아니냐고 추측해 봅니다. 앞의 두 수를 더해서 다음 수가 얻어지는 대표적인 규칙으로는 피보나치 수열(⇒ 진산서당 게시글 피보나치 수열과 황금비, 황금분할)이라고 있지요... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 7로 나누어 떨어지는 수와 1이 남는 두 자리 수를 짝을 지어 차례대로 적어 보면. 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64 70, 77, 84, 91, 98 71, 78, 85, 92, 99 따라서 22 + 99 = 121 3031323334353637383940414243444546474849 30, 03, 31, 13, 32, 23, 33, 33, 34, 43, 35, 53, 36, 63, 37, 73, 38, 83, 39, 94, 40, 04, 41, 14, 42, 24, 43, 34, 44, 44, 45, 54, 46, 64, 47, 74, 48, 84, 49 3을 자리 숫자로 하는 두 자리 수는 18 + 2 = 20 2를 자리 숫자로 하는 두 자리 수는 2 + 2 = 4 따라서 20 - 4 = 16 헉ㅠㅠ 저 오답률은 뭘 의미할까요??? 그냥 문제의 뜻에 맞게 30부터 49까지 수를 차례로 이어서 실제로 써놓고, 앞에서부터 두 숫자씩 차례로 다시 한 번 더 쓴 다음,,, 03, 04와 같은 경우는 두 숫자를 적었을 뿐 두 자리 수는 아니므로 제외하고, 3을 자리 숫자로 하는 두 자리 수의 개수와 2를 자리 숫자로 하는 두 자리 수의 개수를 세어 주면 됩니다. 같은 수도 중복해서 적어야 하고, 중복해서 세어야 합니다. 수(number)와 숫자(digit)의 뜻을 구별할 수 있어야 겠습니다. 숫자는 수를 적기 위한 글자이고, 이 숫자로 자리에 위치시켜서 수를 만든 것이지요... 문제의 뜻을 논리정합성을 갖추어서 이해하지 못한 까닭도 있겠다 싶네요... ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤은 4, 5, 6, 7, 8, 9 중에서 5개를 사용해야... ㉠㉡㉢ = ㉣㉤ × 12 + 3과 같고, 세 자리 수 ㉠㉡㉢이 작을 수록 몫 ㉣㉤이 작아지므로 조건을 만족하는 가장 작은 수인 45부터 조사해 보면, ㉠㉡㉢ ÷ 12 = 45 … 3 ⇒ ㉠㉡㉢ = 543 ㉠㉡㉢ ÷ 12 = 46 … 3 ⇒ ㉠㉡㉢ = 555 ㉠㉡㉢ ÷ 12 = 47 … 3 ⇒ ㉠㉡㉢ = 567 ㉠㉡㉢ ÷ 12 = 48 … 3 ⇒ ㉠㉡㉢ = 579 … 따라서 서로 다른 한 자리 수 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤을 만족하는 가장 작은 세 자리 수는 579 자리 숫자가 모두 홀수인 네 자리 수라고 했습니다. 홀수 1, 3, 5, 7, 9 중에서 네 개를 사용해서 자리 숫자의 합이 14가 되도록 해야 겠습니다. 여러 번 사용해도 되고요... 가장 큰 수인 9에서 시작해서 네 개를 더했을 때 합이 14가 되는 네 수 일단 찾아 보아야 겠습니다. 14 = 9 + 5 = 9 + 3 + 1 + 1 14 = 7 + 5 + 1 + 1 = 7 + 3 + 3 + 1 14 = 5 + 5 + 3 + 1 = 5 + 3 + 3 + 3 더 없죠? 이제, 이 다섯 가지 경우 각각에 대해서 네 숫자를 사용해서 만들 수 있는 네 자리 수를 찾아 볼 차례... ① 9, 3, 1, 1로 된 네 자리 수 1이 두 개네요... 1하나를 잠시 2로 생각한 후 9, 3, 1, 2 모두를 사용해서 만들 수 있는 네 자리 수의 개수를 생각하면 □□□□에서 천의 자리 □에 올 수 있는 수가 9, 3, 1, 2 모두 가능하므로 네 가지가 있고, 백의 자리 □에 올 수 있는 수는 천의 자리에 온 수를 제외하면 세 가지가 있고, 십의 자리에 올 수 있는 수는 천의 자리, 백의 자리에 온 두 수를 제외하면 두 가지가 있고, 일의 자리에는 남은 한 수를 적어 주면 되지요... 천의 자리에 온 네 경우 각각에 대해서 백의 자리에 세 가지가 올 수 있고 이를 곱한 4 × 3 = 12 가지 경우 각각에 대하여 십의 자리에 두 가지가 올 수 있으므로 모두 4 × 3 × 2 × 1 = 24 가지가 있게 됩니다. 그런데, 1이 2개 였으므로 1과 2를 서로 바꾼 경우가 원래는 둘 다 1이므로 같은 수죠... 가령, 9123과 9213이 다른 수이지만 2를 1로 바꾸면 9113으로 사실은 같은 수이고, 24가지 경우 모두에 대해서도 마찬가지이므로 결국 24 ÷ 2 =12 (가지). 이상의 원리는 초딩 고학년, 중딩 2학년, 그리고 고딩으로 가면서 이론적으로 체계화되는데, 당장은 이 12가지를 빠짐없이 적을 수 있어야 겠습니다. 적어 볼게요... 1139, 1193, 1319, 1391, 1913, 1931, 3119, 3191, 3911, 9113, 9131, 9311 ② 7, 5, 1, 1로 된 네 자리 수 앞에서 설명한 원리를 적용하면 4 × 3 × 2 × 1 ÷ 2 = 12 빠짐없이 적어 보면 1157, 1175, 1517, 1571, 1715, 1751, 5117, 5171, 5711, 7115, 7151, 7511 ③ 7, 3, 3, 1 이번에는 3이 두 개가 있습니다. ①, ②에서와 마찬가지 방법으로 헤아리면 12개. ④ 5, 5, 3, 1 이번에는 5가 2개. 마찬가지로 12개의 네 자리 수를 만들 수 있고요... ⑤ 5, 3, 3, 3 이번에는 3이 3개입니다. 네 자리 수 □□□□에서 어느 한 개의 □에 5를 적고, 나머지 3개의 □ 모두에 3을 적는다고 생각하면 4가지가 있습니다. 적어 보면, 5333, 3533, 3353, 3335 이상으로부터 12 + 12 + 12 + 12 + 4 = 52 정사각형이 아닌 직사각형 4개로 나누기 ! 파란색 큰 직사각형이 2 × 4꼴인 경우 나머지를 보라색 2개, 주황색 1개로 나누는 한 가지 방법만 가능하며, 파란색 큰 직사각형이 2 × 3꼴인 경우는 오른쪽 위, 아래 두 가지가 있는데, 각각 두 가지 방법으로 보라색과 주황색으로 나머지를 칠할 수 있습니다. (위, 아래 두 경우는 서로 대칭인 모습...) 이상으로부터 빗금친 초록색 부분을 제외한 14개의 정사각형을 정사각형이 아닌 직사각형 4개로 나누는 서로 다른 방법의 수는 1 + 2 × 2 = 5 각 마을의 학생수를 갑, 을, 병, 정으로 두고 문제의 뜻에 맞게 식을 세워 보면 갑 + 을 = 병 … ① 갑 + 정 = 을 … ② 병 × 2 = 정 × 3 … ③ 갑 = 18일 때 갑 + 을 + 병 + 정 = ? 갑 = 18이므로 ①번 식에서 18 + 을 = 병이고, ②번 식에서 18 + 정 = 을이 됩니다. 파란색 식과 보라색 식을 비교해보면 파란색 식에서 을 = 병 - 18과 같으므로 보라색과 비교하면 을 = 병 - 18 = 18 + 정이므로 병 = 36 + 정과 같습니다. 이 주황색 식을 ③번 식과 비교하면 정 + 정 + 정 = 병 + 병 = (36 + 정) + (36 + 정) = 72 + 정 + 정 따라서 정 + 정 + 정 = 72 + 정 + 정이므로 정 = 72가 됩니다. 이를 다시 ③ 식과 비교하면 병 + 병 = 72 × 3 = 216이므로 병 = 108. ①번 식에 의하여 갑 + 을 = 108이므로 갑 + 을 + 병 + 정 = 108 + 108 + 72 = 288 세 자리 수를 ㉠㉡㉢이라고 하면 ㉠㉡㉢ × 7이 세 자리 수이므로 1000보다 작고 가장 큰 세 자리 수를 생각해보면 1000 ÷ 7 = 142 … 6이므로 자리 숫자가 모두 홀수인 세 자리 수 ㉠㉡㉢은 139 보다 클 수는 없습니다. 따라서 ㉠은 1이고 ㉡은 1이거나 3. 이제 조사할 차례... (1) ㉠㉡㉢ = 111 : 111 × 7 = 777이므로 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 모두 짝수가 되어야 하는 조건을 만족하지 않습니다. (2) 113 × 7 = 791 ⇒ No ! (3) 115 × 7 = 805 ⇒ OK ! (4) 117 × 7 = 819 ⇒ No ! (5) 119 × 7 = 833 ⇒ No ! (6) 131 × 7 = 917 ⇒ No ! (7) 133 × 7 = 931 ⇒ No ! (8) 135 × 7 = 945 ⇒ No ! (9) 137 × 7 = 959 ⇒ No ! (10) 139 × 7 = 973 ⇒ No ! 이상으로부터 처음 세 자리 수는 115 정사각형의 크기별로 다르게 표시해 봤습니다. 모두 8개죠... 파란색 4, 보라색 2, 주황색1, 핑크색 1 첫째 세로줄에서 넷째 세로줄까지 그려진 선의 길이가 13cm이고. 5째 세로줄에서 8째 세로줄까지 그려진 선의 길이도 13cm이고 같은 패턴입니다. 이는 9째 세로줄에서 12째 세로줄까지 그려진 선도 마찬가지입니다. 이와 같은 규칙으로 반복되므로,,, … 97째 세로줄에서 100째 세로줄까지 그려진 선도 마찬가지입니다. 100 ÷ 4 = 25이므로 100째 세로줄까지 그려진 선의 길이는 13 × 25 = 325 (cm). 여기서, 99째 가로줄에 그려진 선의 길이와 100째 세로줄에 그려진 선의 길이를 빼주면 됩니다. 이 선의 길이는 3째 가로줄에 그려진 선의 길이 3cm와 4째 세로줄에 그려진 선의 길이 2 cm의 합 5cm와 같으므로,,, 99째 세로줄까지 그려진 선의 길이의 합은 13 × 25 - 5 = 320 99 ÷ 4 = 24 … 3이므로 99째 세로줄까지 그려진 선의 길이인 13 × 24 = 312 (cm)에 왼쪽에서 3째 세로줄까지 그려진 선의 길이 8cm를 더해 주는 방식으로 계산해도 되구요... 13 × 24 + 8 = 320 게시글 [KMC2023 기출] 제46회 한국수학인증시험(KMC 예선) 초등5 기출문제의 풀이 해설 24번 문제가 이와 똑같은 유형의 문제인데, 초등5 문제에서는 『왼쪽에서부터 몇째 세로줄까지 그린 선의 길이의 합이 2023cm입니까?』라고 묻고 있습니다. 『왼쪽에서부터 99째 세로줄까지 그린 선의 길이의 합은 몇 cm입니까?』라는 질문보다는 훨씬 까다롭다고 해야 겠습니다. 함께 참조하십시오. 세 자리 수를 ㉠㉡㉢이라고 하면 ㉠ + ㉡ + ㉢ = 16 … ① ㉡ × 3 = ㉠ + ㉢ … ② ㉠㉡㉢ = ㉢㉡㉠ + 198 … ③ ①과 ②를 비교 관찰하면,16 = ㉠ + ㉡ + ㉢ = (㉠ + ㉢) + ㉡ = (㉡ × 3)+ ㉡이므로 16 = ㉡ + ㉡ + ㉡ + ㉡에서 ㉡ = 4 그렇다면, ①에 의해 ㉠ + ㉢ = 12. 이제, 핑크색 ㉡ = 4와 ㉠ + ㉢ = 12를 식 ③과 함께 살피면 ㉠ > ㉢이므로 아래 세 경우로 나누어서 조사해 볼 수 있습니다. 따라서 조건을 만족시키는 세 자리 수 = 745 (1) 2를 여러 번 거듭하여 곱하면 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 (2) 3을 거듭하여 여러 번 곱하면 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187 (3) 4를 거듭하여 여러 번 곱하면 4, 16, 64, 256, 1024 (4) 5를 거듭하여 여러 번 곱하면 5, 25, 125, 625, 3125 (5) 6을 거듭하여 여러 번 곱하면 6, 36, 216, 1296 (6) 7을 거듭하여 여러 번 곱하면 7, 49, 343, 2401 (7) 8의 거듭제곱수 = 8, 64, 4096 (8) 9의 거듭제곱수 = 9, 81, 6561 이상으로부터 1000과의 차가 가장 작은 세 자리 수는 729 (1) 1g 추로 무게가 1g인 물건의 무게를 측정할 수 있고, (2) 1g 추와 2g 물건의 무게의 합이 3g이므로 2g 물건의 무게를 측정할 수 있고, (3) (1)번과 마찬가지 상황이므로 무게가 3g인 물건의 무게를 측정할 수 있고, (4) 1g과 3g 추의 무게의 합이 4g이므로 4g 물건의 무게를 측정할 수 있고, (5) 3g 추와 5g 물건의 무게의 합과 1g과 7g 추의 무게의 합이 같으므로 5g 물건의 무게 측정 가능. (6) 1g 추와 6g 물건의 무게의 합이 7g이므로 6g 물건의 무게 측정 가능. (7) (1)번과 마찬가지 상황이므로 무게가 7g인 물건의 무게를 측정할 수 있고, (8) 1g과 7g 추의 무게의 합이 8g이므로 8g 물건의 무게를 측정할 수 있고, (9) 1g 추와 9g 물건의 무게의 합이 3g과 7g 추의 무게의 합과 같으므로 9g 물건의 무게 측정 가능. (10) 3g과 7g 추의 무게의 합이 10g이므로 10g 물건의 무게를 측정할 수 있고, (11) 1g, 3g, 7g 추의 무게의 합이 11g이므로 11g 물건의 무게를 측정할 수 있고, (12) 무게 12g 이상의 물건은 세 추의 무게의 합 11g보다 크므로 더 이상 측정 가능한 물건은 없음. 따라서 측정할 수 있는 물건의 무게는 모두 11가지. 두 수가 같을 때를 생각해보면 16 × 16 = 256, 17 × 17 = 289, 18 × 18 = 324이므로 곱하는 두 수 중 작은 수가 17보다 클 수 없음을 알 수 있습니다. 작은 수가 10부터 16까지이므로 (작은 수) × (큰 수)의 백의 자리 수가 2가 되는 두 수를 찾아서 적어 보면, 10 × 29, 10 × 28, …, 10 × 20까지 10개가 가능하고, 11 × 27, 10 × 26, …, 11 × 19까지 9개가 가능하고, 12 × 24, 12 × 23, …, 12 × 17까지 8개가 가능하고, 13 × 23, 13 × 22, …, 13 × 16까지 8개가 가능하고, 14 × 21, 14 × 20, …, 14 × 15까지 7개가 가능하고, 15 × 19, 15 × 18 …, 15 × 16까지 4개가 가능하고, 16 × 18, 16 × 17로 2개가 가능하므로 알맞은 식의 개수는 10 + 9 + 8 + 8 + 7 + 4 + 2 = 48 크기가 서로 다른 둔각의 개수??? 아래와 같이 파란색, 주황색, 보라색, 녹색 직사각형(정사각형 포함) 안을 가득 채우게 각을 만들면 중복없이, 빠짐없이 헤아릴 수 있지요... 파란색 1 + 2 = 3, 주황색 1, 보라색 2, 녹색 2이므로 모두 8개. 경계가 없이 삼각형 1개로 된 삼각형. 경계가 1개 있는 삼각형. 삼각형 2개로 되어 있거나 삼각형 1개, 사각형 1개로 되어 있는 삼각형 경계가 2개가 있는 삼각형. 삼각형 또는 사각형 3개로 된 삼각형 삼각형 또는 사각형 4개로 된 삼각형 삼각형 또는 사각형 6개로 된 삼각형 파란색 7개, 보라색 10개, 녹색 6개, 주황색 5개, 핑크색 2개이고, 더 없으므로 모두 더하면 7 + 10 + 6 + 5 + 2 = 30 이상입니다. 수학의 힘 ! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |
이 게시글은 2022년 11월 17일 목요일에 치른 2023학년도 대학수학능력시험 수학 오답률 TOP 10 확통선택 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 아래는 EBSi 오답률 TOP 10입니다. 확통선택 8개 문항 중에서,,, 2022학년도 수능 4개, 2024학년도 수능 4개가 TOP 10에 올랐고, 2023학년도 수능에서도 4개입니다. 이 포스팅에서는 이 4개 문항에 대해서만 풀이 및 해설합니다. 공통문항은 [오답률 탑10-공통] 2023학년도 대학수능 수학 공통문항 기출문제의 풀이 해설에서 다룹니다. 링크한 게시글에서는 타 선택문항의 풀이 및 최근년도 수능 기출 등 여러 기출문제의 풀이해설집에 대해 안내하고 있으니 참조하십시오. 오답률 1위(97.4%) 29번 문제의 풀이 및 해설입니다... (… 사건 A …)일 때, (… 사건 B…)일 확률은? 조건부확률 P(B|A)죠... 처음 상태... 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = (홀수) 짝수 카드를 뒤집을 때는 홀짝성이 바뀌지 않지만 홀수 카드를 뒤집을 때는 홀짝성이 바뀌므로, 3회 시행 후 합이 짝수가 되기 위해서는 홀수 카드를 홀수회 뒤집어야 합니다. ① 홀수 카드만 3회 뒤집은 경우 3회의 시행에서 주사위의 눈의 수가 모두 1, 3, 5만 나온 경우이므로 이 확률은 (3/6)3 = 1/8이고, 3회 모두 홀수이면서 1의 눈이 한 번만 나올 확률은 3C1(1/6)1(2/6)2 = 1/18. ② 홀수 카드 1회, 짝수 카드 2회 뒤집은 경우 3회의 시행에서 주사위의 눈의 수가 1, 3, 5가 한 번, 2, 4, 6이 두 번 나온 경우이므로 이 확률은 3C1(3/6)1(3/6)2 = 3/8이고, 이 중에서 1의 눈이 한 번만 나올 확률은 3C1(1/6)1(3/6)2 = 1/8. 모든 수의 합이 짝수인 사건을 A, 주사위의 1의 눈이 한 번만 나오는 사건을 B라고 하면, ①, ②가 서로 배반이므로 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A) = 1/8 + 3/8 = 1/2. 사건 A∩B가 일어날 확률은 ① 경우에 1/18, ② 경우에 1/8이고 마찬가지로 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A∩B) = 1/18 + 1/8 = 13/72 따라서 오답률 2위(96.5%) 30번 문제의 풀이 및 해설입니다... x = 1일 때 f(x) ≤ x를 만족시키는 함숫값 f(1) = 1뿐이고, x = 10일 때 f(x) ≥ x를 만족시키는 함숫값 f(10) = 10뿐입니다. f(1) = 1, f(10) = 10으로 결정되고,,, 위 애니메이션은 조건 (다)를 만족시키는 네 가지 경우를 보여주고 있습니다. ① f(6) = 10, f(5) = 4 ② f(6) = 9, f(5) = 3 ③ f(6) = 8, f(5) = 2 ④ f(6) = 7, f(5) = 1 각 경우에 대해서 보라색 조건에 의해 1부터 f(5)까지의 값을 가지는 f(2), f(3), f(4)와 파란색 조건에 의해 f(6)부터 10까지의 값을 가지는 f(5), f(6), f(7)을 결정해 주면 됩니다. 아래에서 (f(7), f(8), f(9))는 f(6)에서 시작하여 자신과 같은 값 이상을 만족하면서 점차 커지는 순서로 적어 주면 되고, (f(4), f(3), f(2))는 f(5)에서 시작하여 자신과 같은 값 이하를 만족하면서 점차 작아지는 순서로 적어 주면 됩니다. 대칭이죠... ① f(6) = 10, f(5) = 4 f(6) = 10일 때 (f(7), f(8), f(9)) = (10, 10, 10)으로 1개뿐이고, f(5) = 4일 때 (f(4), f(3), f(2)) = (4, 3, 2), (4, 3, 1), (4, 2, 2), (4, 2, 1), (4, 1, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 1)으로 14개이므로 1 × 14 = 14 ② f(6) = 9, f(5) = 3 f(6) = 9일 때 (f(7), f(8), f(9)) = (9, 9, 9), (9, 9, 10), (9, 10, 10), (10, 10, 10)으로 4개이고, f(5) = 3일 때 (f(4), f(3), f(2)) = (3, 3, 2), (3, 3, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 1, 1)으로 9개이므로 4 × 9 = 36 ③ f(6) = 8, f(5) = 2 f(6) = 8일 때 (f(7), f(8), f(9)) = (8, 8, 9), (8, 8, 10), (8, 9, 9), (8, 9, 10), (8, 10, 10), (9, 9, 9), (9, 9, 10), (9, 10, 10), (10, 10, 10)으로 9개, f(5) = 2일 때 (f(4), f(3), f(2)) = (2, 2, 2), (2, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 1)으로 4개이므로 9 × 4 = 36 ④ f(6) = 7, f(5) = 1 f(6) = 7일 때 (f(7), f(8), f(9)) = (7, 8, 9), (7, 8, 10), (7, 9, 9), (7, 9, 10), (7, 10, 10), (8, 8, 9), (8, 8, 10), (8, 9, 9), (8, 9, 10), (8, 10, 10), (9, 9, 9), (9, 9, 10), (9, 10, 10), (10, 10, 10)으로 14개. f(5) = 1일 때 (f(4), f(3), f(2)) = (1, 1, 1)으로 1개. 14 × 1 = 14 따라서 모든 함수의 개수는 ① + ② + ③ + ④ = 14 + 36 + 36 + 14 = 100 오답률 9위(62.5%) 27번 문제의 풀이 및 해설입니다... 표본평균을 이용하여 구한 모평균 m의 신뢰도 95%의 신뢰구간을 확률로 적어 보면 모평균 m의 신뢰구간이 [746.1, 755.9]이므로 95%의 신뢰도로 표본16개를 임의추출하여 모표준편차가 10임을 알아 내었습니다. 다음, 같은 방법으로 표본의 크기가 n일 때 99%의 신뢰도로 모평균의 신뢰구간 [a, b]를 확률로 적어 보면 따라서 표본 크기 n의 최솟값은 74이고 정답은 오지선다형 ②번 오답률 10위(54.6%) 28번 문제의 풀이 및 해설입니다... 정답은 오지선다형 ④번 이상입니다... 2023년 3월 23일 목요일에 치른 고3 학평 기출문제의 풀이 및 해설은 아래 게시글을 참조하십시오. [오답률 탑10-공통] 2023년 3월 고3 학평(서울) 수학 기출문제의 풀이 및 해설 그리고, 최근년도 학평, 모평, 수능에서 오답률 TOP 10에 든 확률과 통계 선택 문항들에 대한 풀이와 해설은 아래 게시글을 참조하십시오. [오답률 탑10-확통] 2024학년도 대학수능 확통선택 기출문제의 풀이 및 해설 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |