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이 게시글은 2023년 5월 21일 일요일에 치른 한국수학교육학회가 주최하고 동아일보가 후원하는 제46회(2023년 전기) KMC 예선(한국수학인증시험) 초등 5학년 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 30문항 시험시간 2시간 문제 1번부터 30번까지 모두를 수록하다보니 엄청 긴 포스팅이 되었습니다. 각 문항별로 정답률을 표시해 두었으니, 필요한 문제를 찾아서 살펴 보는 것도 좋을 것입니다. ※ 다음 문제를 잘 읽고 물음에 답하시오. 1번 ~ 7번은 2점, 8번 ~ 16번은 3점, 17번 ~ 27번은 4점, 28번 ~ 30번은 5점입니다. 4의 배수인 두 자리 수 = 12, 16, …, 96. 2개의 합이 최소인 것은 12 + 16 = 28 △와 □ 사이의 대응 관계, 즉 규칙... 2 = ㄱ × 1 - ㄴ 5 = ㄱ × 2 - ㄴ 에서, 변변 빼보면 ㄱ = 3, 대입해보면 ㄴ = 1, 확인해보면 두 식 모두 성립합니다. 나머지 △와 □의 짝에서 확인해보면 8 = 3 × 3 - 1 11 = 3 × 4 - 1 이상으로부터 정답은 ㄱ × ㄴ= 3 × 1 = 3 변변 빼본다, 대입한다 등은 중등수학 방정식, 특히 중2 연립방정식의 풀이에서 사용하는 용어이기는 한데,,, 단순히 이 수 저 수를 △와 □에 적용해서 조사하는 것이 밋밋하여 한 걸음 더 내딛어 본 것입니다. 대응관계와 규칙 개념은 중등수학에서는 함수지요. ㅎ 2.3보다 크고 3.2보다 작은 소수 두 자리 수 ㉠.㉡㉢에서 ㉠, ㉡, ㉢은 서로 다른 한 자리 자연수 2.3㉢ : ㉢은 1부터 9까지에서 2, 3 제외 2.4㉢ : ㉢은 1부터 9까지에서 2, 4 제외 … 2.9㉢ : ㉢은 1부터 9까지에서 2, 9 제외 3.0㉢ : 0이 자연수가 아니므로 없음. 3.1㉢ : ㉢은 1부터 9까지에서 3, 1 제외 파란색 부분에서 각 줄마다 7개씩이고, 3부터 9까지 7줄이므로 7 × 7 = 49 보라색 한 줄에서 마찬가지로 7개의 한 자리 자연수가 있으므로 모두 49 + 7 = 56 두 가분수의 합이 2보다 큰 덧셈식... 가분수이므로 ㉠에 올 수 있는 가장 작은 한 자리 자연수는 5이죠... ㉡은 ㉠보다 크다고 했구요... ㉠이 5일 때 ㉡에 올 수 있는 한 자리 자연수를 적어 보면, 6, 7, 8, 9 이런 식으로 모두 적어 보면, (㉠, ㉡) = (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (7, 8), (7, 9), (8, 9) 녹색, 주황색, 하늘색, 초록색 순서로 각각 4개, 3개, 2개, 1개이고 따라서 조건을 만족하는 가능한 덧셈식의 개수는 4 + 3 + 2 + 1 = 10 백의 자리 숫자가 1인 세 자리 수 중에서 20의 배수를 차례대로 적어보면 100, 120, 140, 160, 180 이 중에서 15의 배수인 수를 살펴 보면, 120과 180이 각각 5의 배수이면서 3의 배수이므로 15의 배수죠... 따라서 구하는 값은 100 + 140 + 160 = 400 7의 배수의 개수 = [199/7] - [100/7] = 28 - 14 = 14 9의 배수의 개수 = [199/9] - [100/9] = 22 - 11 = 11 63의 배수의 개수 = [199/63] - [100/63] = 3 - 1 = 2 따라서 14 + 11 - 2 = 23 따로 조사하지 않고 가우스 기호를 사용해서 깔끔하게 적어 보았습니다. [199/7]의 의미는 1부터 200보다 1 작은 수인 199까지 7의 배수인 자연수의 개수이고, [100/7]은 1부터 100까지 자연수 중에서 7의 배수의 개수이므로 이를 빼면 100보다 크고 200보다 작은 수 중에서 7의 배수의 개수를 얻을 수 있게 됩니다. 199/7 = 28.4…에서 가우스 기호는 소수부분을 버리고 정수부분만을 취한 값입니다. 이런 식으로 7의 배수의 개수와 9의 배수의 개수를 얻은 다음, 최소공배수 63의 배수 2개는 한 번만 세어야 하므로 한 번은 빼주어야 겠고요... (1)에서 삼각형의 세 각의 크기의 합이 180°이므로 ㉠ = 180, ㉡ = 720. (2)에서 표시된 안쪽의 각 4개의 크기의 합이 360°이므로 ㉢ = 360. 따라서 ㉣도 360. 이상으로부터 ㉡과 ㉣의 차는 360 따라서 이등변삼각형의 밑각 ㄱㄹㅂ의 크기가 (180° - 26°) ÷ 2 = 77°이므로 각 ㅂㄹㄷ의 크기는 13° ㉡과 ㉣은 7보다 작은 수이고, 2와 3은 될 수 없으므로 ㉡과 ㉣에 들어 갈 수 있는 수는 1, 4, 5, 6. 2 + ㉡ = ㉣이 될 때를 생각하면, (i) ㉡ = 1일 때 ㉣ = 3이어야 하므로 불가. (ii) ㉡ = 4일 때 ㉣ = 6으로 가능. (iii) ㉡ = 5일 때 ㉣ = 7이 되므로 불가. (iv) ㉡ = 6일 때는 2 + ㉡ = 8이 되므로 ㉣ = 1이 될 수 있군요... 가능한 경우인 (ii)와 (iv)에 대하여 이제 더 세세히 살펴 보아야 겠는데,,, ㉠ ~ ㉣에는 2, 3, 7이 아닌 한 자리 수만이 올 수 있고, 모두 서로 달라야 한다는 점을 꼭 기억하면서 ㉠에 올 수 있는 수에서 시작하여 차례대로 조사해 보겠습니다. (ii) ㉡ = 4, ㉣ = 6일 때 ㉠ + 3 = ㉢을 만족해야 하고, ㉠ = 1일 때 ㉢ = 4인데 ㉡과 같으므로 불가 ㉠ = 2 또는 ㉠ = 3은 제외되는 수 ⇒ 불가 ㉠ = 4 = ㉡이므로 불가 ㉠ = 5일 때 ㉢ = 8로 OK! 검산 겸해서 식을 적어 보면 ㉠ = 6 = ㉣이므로 불가 ㉠이 6보다 클 때는 ㉢이 10 이상이 되므로 불가. (iv) ㉡ = 6, ㉣ = 1일 때 ㉠ + 3 + 1 = ㉢을 만족해야 하고, ㉠ = 1 = ㉣이므로 불가 ㉠ = 2 또는 ㉠ = 3은 제외되는 수 ⇒ 불가 ㉠ = 4일 때 ㉢ = 8로 OK! 검산 겸해서 식을 적어 보면 ㉠ = 5일 때 ㉢ = 9로 OK! 검산 겸해서 식을 적어 보면 ㉠이 6일 때 ㉡과 같으므로 안될 뿐만 아니라 ㉠이 6 이상이면 ㉢이 10 이상이 되므로 조사 끝! 이상으로부터 조건을 만족하는 서로 다른 식은 모두 3개. 2023의 약수를 찾아 봅니다. 2023이 홀수임을 생각하면 약수도 홀수이고, 3이나 5로 나누어 보면 나누어 떨어지지 않지만 7로 나누면 나누어 떨어집니다 2023 ÷ 7 = 289이고, 289는 17의 제곱수입니다. 즉, 289 = 17 × 17. 그렇다면, 2023은 17로 나누어도 나누어 떨어지죠. 따라서 2023 = 7 × 17 × 17에서 7 × 17 = 119이므로 구하는 세 자리 수 ㉠㉡㉢은 119. 15각형에는 15개의 꼭짓점이 있으므로 한 꼭짓점에서 그릴 수 있는 대각선의 개수는 12가 됩니다. (∵ 이웃 두 꼭짓점과 자기 자신은 제외) 꼭짓점 15개마다 12개씩의 대각선을 그릴 수 있으므로 15 × 12 = 180에서 모두 180개의 대각선을 이와 같이 그릴 수 있지만, 곰곰히 생각해보면 이웃하지 않은 어느 두 꼭짓점을 연결하는 대각선은 하나 뿐인데 2번씩 세어졌으므로 2로 나누어야 합니다. 따라서 15각형의 대각선의 개수는 180 ÷ 2 = 90 공식을 만들어 볼까요? n각형의 대각선의 개수 = (n - 3) × n ÷ 2 n = 4일 때 사각형의 대각선의 개수 = (4 - 3) × 4 ÷ 2 = 2이고, n = 5일 때 오각형의 대각선의 개수 = (5 - 3) × 5 ÷ 2 = 5이고, n = 6일 때 육각형의 대각선의 개수 = (6 - 3) × 6 ÷ 2 = 9로써, 문제에서 제시한 예와 일치하지요... n = 3일 때 즉, 삼각형의 경우 n - 3 = 0이므로 대각선의 개수 = 0. 2000년부터 2099년까지 어느 연도도 자리 숫자 네 개를 더한 값이 1이 되는 경우는 없습니다. 따라서 1월 달은 연도의 자리 숫자 네 개를 더한 값과 같은 달이 될 수 없습니다. 이와 같이 달을 기준으로 자리 숫자 네 개의 합과 같은 연도를 찾아 보면, ① 1월 : 네 수의 합이 1인 연도는 없음. ② 2월 : 2000년 1개가 있고, ③ 3월 : 2001, 2010, 2개가 있고, ④ 4월 : 2002, 2011, 2020으로 3개. ⑤ 5월 : 2003, 2012, 2021, 2030으로 4개. 이와 같이 2000부터 2099까지 작은 수부터 큰 수 순서로 계속해서 쭈욱 적어 보면, ⑥ 6월 : 2004, 2013, 2022, 2031, 2040으로 5개. ⑦ 7월 : 2005, 2014, 2023, 2032, 2041, 2050 6개. ⑧ 8월 7개, ⑨ 9월 8개, ⑩ 10월 9개 이겠죠? 10월을 확인해보면 2008, 2017, 2026, 2035, 2044, 2053, 2062, 2071, 2080 ⑪ 11월은 10개? 2009, 2018, 2027, 2036, 2045, 2054, 2063, 2072, 2081, 2090으로 OK ! ⑫ 12월 11개? 2019, 2028, 2037, 2046, 2055, 2064, 2073, 2082, 2091로 9개 뿐입니다... 이상 ① ~ ⑫로부터 연도의 자리 숫자 네 개를 더한 값이 그 해의 어느 달이 되는 연도의 개수는 1 + 2 + … + 10 + 9 = 55 + 9 = 64 규칙 찾기 ! 분모를 관찰하면, 2, 3, 5, 8, 12, 17, … 에서 각각 1, 2, 3, 4, 5, …를 더한 것이 다음 항의 분모이고, 분자를 관찰하면, 1, 5, 9, 13, 17, 21, … 에서 항상 4를 더한 것이 다음 항의 분자가 되고 있습니다. 그렇다면, 20째에 있는 분수의 분모와 분자의 합은 ? (i) 먼저, 조건 4의 배수에 대하여,,, □00, □04, □08, □12, □16, □20, □24, □28. □32, □36, … □80, □84, □88, □92, □96 100 = 4 × 25에서 4의 배수임을 생각하면 오른쪽 끝 두 자리의 수가 4의 배수이면 4의 배수가 됩니다. 따라서 위에서 보듯이 일의 자리 수로 가능한 숫자는 0, 4, 8, 2, 6 다섯 개이고 이들이 반복됩니다. (ii) 다음, 조건 3의 배수에 대하여,,, 이웃하는 자리 숫자 두 개의 합이 모두 3의 배수라고 했습니다. 4의 배수 조건 (i)을 충족하는 세 자리 수 중에서, 일단은 오른쪽 두 숫자의 합이 3의 배수가 되는 경우를 먼저 살펴 보면 5개의 일의 자리 숫자에 따라 아래와 같고 ① 일의 자리 숫자가 0일 때 오른쪽 두 숫자의 합이 3의 배수가 되는 경우는 □00, □20, □40, □60, □80 중에서 □60 뿐이고, ② 일의 자리 숫자가 4일 때 오른쪽 두 숫자의 합이 3의 배수가 되는 경우는 □04, □24, □44, □64, □84 중에서 □24, □84 두 경우가 있고, ③ 일의 자리 숫자가 8일 때 오른쪽 두 숫자의 합이 3의 배수가 되는 경우는 □08, □28, □48, □68, □88 중에서 □48 뿐이며, ④ 일의 자리 숫자가 2일 때 오른쪽 두 숫자의 합이 3의 배수가 되는 경우는 □12, □32, □52, □72, □92 중에서 □12, □72 두 경우가 있고, ⑤ 일의 자리 숫자가 6일 때 오른쪽 두 숫자의 합이 3의 배수가 되는 경우는 □16, □36, □56, □76, □96 중에서 □36, □96 세 경우가 있습니다. (iii) 다음, 조건 3의 배수를 모두 만족... 그리고, 각 자리 숫자가 모두 다른 수 확정 ! 위 (ii)의 ①, ②, ③, ④, ⑤ 다섯 가지 경우별로 왼쪽 두 숫자의 합도 3의 배수가 되는 경우를 적어 보면, ① □60 경우 360, 660, 960이 가능하고, 각 자리 숫자가 모두 달라야 하므로 360, 960 OK ! ② □24, □84 경우 124, 424, 724, 184, 484, 784 중에서 각 자리 숫자가 모두 다른 수 124, 724, 184, 784 OK ! ③ □48 경우 248, 548, 848 중에서 248, 548 OK ! ④ □12, □72 경우 212, 512, 812, 272, 572, 872 중에서 512, 812, 572, 872 OK ! ⑤ □36, □96 경우 336,636, 936, 396, 696, 996 중에서 936, 396 OK ! 이상으로부터, 조건을 만족하는 세 자리 수의 개수는 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 14 4의 배수의 일의 자리 숫자를 기준으로 다섯 가지 경우로 나누어서 조사하기로 풀이 방향을 잡았다면 위에서 보듯이 크게 헷갈리지도 않을 뿐만 아니라 계산량도 없는,,, 그래서 크게 어렵지는 않는 문제다 싶은데 정답률이 낮은게 의외네요... 아래 애니메이션은 4의 배수이면서 오른쪽 두 수의 합, 왼쪽 두 수의 합이 3의 배수가 되는 수들을 ①, ②, ③, ④, ⑤ 다섯 경우별로 색깔을 칠해서 보여 주고 있습니다. 4의 배수는 물론이거니와 이들 수들의 분포를 살펴 볼 수 있습니다. 5 + 5 + 5 = 15입니다. 2가 더 있어야 17. 따라서 17 = 5 + 5 + 5 + 2 = 5 + 5 + 5 + 1 + 1 5를 세 번 사용한 경우에 합이 17이 되는 경우가 이와 같이 두 가지가 있습니다. 가장 큰 수 5를 두 번 사용한 경우, 한 번 사용한 경우, 한 번도 사용하지 않는 경우로 나누어서 조사해 보면,,, 5를 두 번 사용한 경우 5 + 5 = 10 남은 수 7이 되기 위해서 다음 큰 수인 4를 한 번만 사용해야 겠습니다. 17 = 5 + 5 + 4 + 3 = 5 + 5 + 4 + 2 + 1 = 5 + 5 + 4 + 1 + 1 + 1 어이쿠 ㅠㅠ 자연수 5, 3, 2, 1만 사용하라고 했네요... 따라서 위 세 경우는 제외 ! 남은 수 7이 되기 위해서 다음 큰 수인 3을 두 번, 한 번 사용할 수 있습니다. 17 = 5 + 5 + 3 + 3 + 1 17 = 5 + 5 + 3 + 2 + 2 = 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1 = 5 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 이와 같이 큰 수에서 시작해서 1 작은 수를 최대로 많이 사용하는 방향으로 (분할을) 조사하면 중복을 피할 수 있는 장점이 있지요... 마지막은 1이 네 번 사용되었으므로 불가 ⇒ 회색 처리 하였습니다. 다음 순서는 2를 최대 3번에서 시작해서 두 번, 한 번 이렇게 줄여갈 차례죠? 17 = 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 1 17 = 5 + 5 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 17 = 5 + 5 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 17 = 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 5를 한 번 사용한 경우 17 = 5 + 4 + 4 + 4 ⇒ 이건 제외죠 ! 17 = 5 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 = 5 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 17 = 5 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 = 5 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 17 = 5 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 5를 사용하지 않는 경우 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 최대 3번까지만 사용해야 하므로 더이상 분할이 안되네요... 끝! 5를 사용한 횟수별로 핑크색 개수를 헤아려서 모두 더하면 2 + (3 + 2) + 5 + 1 = 13 아래 애니메이션에서 종이에 검은색 원과 이 원의 중심을 한 꼭짓점으로 하는 파란색 정삼각형 한 개를 그렸을 때, 파란색 정삼각형의 크기에 따라 경계선에 의해 나누어지는 영역의 개수를 관찰해 보았습니다. 교점이 1개씩 늘어 날 때마다 나누어지는 영역의 개수도 1개씩 늘어나고 있음을 관찰할 수 있습니다... 교점이 하나 늘어 나면 그 교점까지 생기는 경계선에 의해 영역이 둘로 뽀개지기 때문이죠. 정삼각형 두 개를 그렸을 때 나누어지는 영역의 개수가 최대가 되는 경우는 교점이 가장 많은 위 3번 보라색 경우에 대하여 정삼각형 하나를 더 그렸을 때일 것입니다. 위 그림과 같이 원과 각각의 정삼각형이 4번씩 만나고, 두 정삼각형은 꼭짓점을 포함하여 4번 만날 때 교점의 개수가 최대이므로 최대 교점의 개수는 12. 따라서 영역의 최대 개수는 14. [문제 15]에서도 다루었지만, 100 = 4 × 25에서 4의 배수임을 생각하면 오른쪽 끝 두 자리의 수가 4의 배수이면 4의 배수가 됩니다. 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 에서 보듯이 일의 자리 수가 0, 4, 8, 2, 6 다섯 개가 반복되는 동안 십의 자리 수는 짝수 세 개 홀수 2개... ②, ③, ④를 만족하는 오른쪽 끝 두 자리의 수를 차례대로 모두 적어 보면 □□12, □□20, □□24, □□32, □□64 으로 다섯 개 뿐입니다. 이 다섯 개의 각 경우별로 ②, ③을 만족하는 네 자리 수를 살펴 보면, (1) □□12 경우 각 자리의 숫자가 모두 다르고, 이웃하는 자리 숫자의 차가 3보다 작게 되도록 □ 2개를 채우면,,, 4312, 5312 ⇒ 2개 (2) □□20 경우 1320, 3120, 3420, 4320, 5320, 5420, 6420 ⇒ 7개. (3) □□24 경우 1024, 1324, 3124, 5324 ⇒ 4개. (4) □□32 경우 4532, 5432, 6432, 6532, 7532 ⇒ 5개. (5) □□64 경우 3564, 5764, 7564, 7864, 8764, 9764, 9864 ⇒ 7개. 이상으로부터, 조건을 만족하는 네 자리 수의 개수는 2 + 7 + 4 + 5 + 7 = 25 3 + 2 + 1 + 2 = 8 ※ 폰의 경우에 GIF 형식의 이미지를 보여줄 때 부자연스런 문제가 있을 수 있습니다. 지금 이 버그를 수정 중이라고 하였고, PC에서는 정상입니다. [문제 14]와는 달리 『가분수』만을 규칙에 따라 나열한 것입니다. 분모가 2일 때 가분수 3/2만을 적었고, 분모가 3일 때 가분수 4/3, 5/3만을 적었습니다. 분모가 4일 때 4/4와 8/4 사이의 가분수만을 적었습니다. 1보다 크고 2보다 작은 가분수만을 적은 것이지요. 분모가 5일 때 6/5부터 9/5까지... 정리하면 분모가 2일 때 3/2 ⇒ 1개 분모가 3일 때 4/3, 5/3 ⇒ 2개 분모가 4일 때 5/4, 6/4, 7/4 ⇒ 3개 분모가 5일 때 6/5, 7/5, 8/5, 9/5 ⇒ 4개 분모가 6일 때는 7부터 11까지 11 - 7 + 1 = 5개 분모가 7일 때는 8부터 13까지 13 - 8 + 1 = 6개 …… 2023번째 분수는 ??? [문제 14]에서 1부터 19까지 모든 자연수를 더한 합을 구할 때 처음과 끝 두 수를 짝짓는 방식으로 꼬리잡기를 하여 (1 + 19) × 19 / 2와 같이 계산해서 얻었는데,,, 이를 일반화해서 아래 핑크색 공식으로 기억하고 있는 것도 좋을 것입니다. 1부터 n개의 자연수를 더하고 있고 둘씩 짝을 지었으므로 1+n이 n/2 쌍 존재한다고 기억하면 될 것입니다. n이 짝수인 경우는 명백히 n/2쌍이 맞지만, n이 홀수인 경우는 가운데 하나가 외톨이 수가 되므로 위 핑크색 공식에 문제가 있다고 생각할 수 있는데,,, 아래와 같이 합을 S로 두고 역순서로 한 번 더 적어서 변변 더해서 공식을 증명하는 것이 좋을 것입니다. 자~~~ 계속해서... 1 + 2 + 3 + … + n ≤ 2023 n(n + 1) / 2 ≤ 2023 ⇔ n(n + 1) ≤ 4046 이 식을 만족하는 가장 큰 자연수 n을 찾아 보아야 겠습니다. n = 100 : 100 × 101 > 10000 n = 50 : 50 × 51 = 2550 n = 60 : 60 × 61 = 3660 분모가 2일 때 1개, 분모가 3일 때 2개, …, 분모가 61일 때 60개이고 1부터 60까지 자연수의 합이 1830이므로, 처음 3/2부터 세었을 때 가분수 121/61이 1830번째 가분수라는 것이죠... 분모가 62일 때 61개 ⇒ 1891개 분모가 63일 때 62개 ⇒ 1953개 분모가 64일 때 63개 ⇒ 2016개 따라서 2017번째 분수가 66/65이므로 2023번째 분수는 72/65 ∴ ㉠ + ㉡ = 65 + 72 = 137 12와 곱하는 세 자리 수를 ㉠㉡㉢이라 하면 곱의 값의 일의 자리 숫자가 2이므로 ㉢ = 1 또는 ㉢ = 6이 됩니다. 또한 12 × ㉡이 세 자리 수이므로 가능한 경우는 12 × 9 = 108뿐입니다. 따라서 ㉡ = 9. (1) ㉢ = 1인 경우 (2) ㉢ = 6인 경우 이상으로부터 12와 곱하는 세 자리 수 ㉠㉡㉢ = 596 계산한 값이 크려면 가능한 한 큰 수끼리 먼저 곱한 후, 남은 두 칸을 다른 기호로 채워야 합니다. 8 × 4 □ 2 □ 1= 8 × 4 + 2 - 1= 33 8 × 4 □ 2 □ 1= 8 × 4 + 2 ÷ 1= 32 + 2 = 34가 되므로 가장 큰 값은 34. 계산 한 값이 작으려면 ÷와 -를 모두 사용해야 겠습니다. 8 × 4 □ 2 □ 1= 8 ÷ 4 - 2 + 1= 1 8 × 4 □ 2 □ 1= 8 ÷ 4 - 2 × 1= 2 - 2 = 0이 되므로 가장 작은 값은 0 따라서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차 = 34 - 0 = 34. 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35이므로 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤의 값이 35보다 클 수는 없습니다. ㉠㉡ + ㉢ - ㉣×㉤ = 1을 만족하면서 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤의 값이 최대일 때, 가장 큰 세 자리 수 ㉠㉡㉢을 구하기 위해서는 ㉣과 ㉤이 가능한 한 가장 큰 경우부터 조사해 보아야 겠습니다. (1) ㉣과 ㉤이 8, 9인 경우 혼합계산식으로부터 ㉠㉡ + ㉢ = ㉣×㉤ + 1 = 72 + 1 = 73. 이제 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7중 서로 다른 세 수를 사용해서 ㉠㉡ + ㉢ = 73을 만족하면서 ㉠ + ㉡ + ㉢ 의 값이 최대일 때 가장 큰 세 자리 수 ㉠㉡㉢을 구하면 됩니다. ㉠㉡ = 73 - ㉢이므로 ㉠㉡ = 72이고 ㉢ = 1, ㉠㉡ = 71이고 ㉢ = 2인 경우가 있고, 이때 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤ = 27이고 가장 큰 ㉠㉡㉢ = 721 (2) ㉣과 ㉤이 7, 9인 경우 혼합계산식으로부터 ㉠㉡ + ㉢ = ㉣×㉤ + 1 = 63 + 1 = 64. 이제 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8중 서로 다른 세 수를 사용해서 ㉠㉡ + ㉢ = 64을 만족하면서 ㉠ + ㉡ + ㉢ 의 값이 최대일 때 가장 큰 세 자리 수 ㉠㉡㉢을 구해 보면, ㉠㉡ = 64 - ㉢이므로 ㉠㉡ = 63이고 ㉢ = 1, ㉠㉡ = 58이고 ㉢ = 6 등에서, ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤ = 5 + 8 + 6 + 7 + 9 = 35일 때 합이 최대이고 이때 ㉠㉡㉢ = 586. (3) ㉣과 ㉤이 7, 8인 경우 혼합계산식으로부터 ㉠㉡ + ㉢ = ㉣×㉤ + 1 = 56 + 1 = 57. 5, 6, 9중 서로 다른 세 수를 사용해서 ㉠㉡ + ㉢ = 57을 만족해야 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤ = 35로 (2)와 같은 최댓값 35가 되는데 이는 가능하지 않죠... (4) ㉣과 ㉤이 그 외의 수인 경우 어느 경우도 (3)에서와 마찬가지로 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤의 값이 35보다 클 수는 없으므로 이상으로부터 (2)의 경우가 최대이고 구하는 최대 세 자리 수는 586 첫째 세로줄에서 넷째 세로줄까지 그려진 선의 길이가 13cm이고, 5째 세로줄에서 8째 세로줄까지 그려진 선의 길이가 13cm이고 같은 패턴입니다. 9째 세로줄에서 12째 세로줄까지 그려진 선도 마찬가지이고 이와 같은 규칙으로 반복되므로 2023 ÷ 13 = 155 … 8, 155 × 4 = 620임을 생각하면, 왼쪽에서 620째 세로줄까지 그린 선의 길이의 합 = (620 ÷ 4) × 13 = 155 × 13 = 2015. 왼쪽 첫 번째 세로줄에 그린 선의 길이 = 1 왼쪽 두 번째 세로줄까지 그린 선의 길이 = 1 + 3 + 2 = 6 왼쪽 세 번째 세로줄까지 그린 선의 길이 = 6+ 1 + 1 = 8이고 2023 - 2015 = 8이므로, 왼쪽에서부터 (620 + 3)째 세로줄까지 그린 선의 길이의 합 =2015 + 8 = 2023으로 떨어지고,,, 따라서 구하는 값은 620 + 3 = 623 볼록사각형(☞ 수학백과 볼록다각형)의 개수를 헤아리는 문제입니다. 아래 애니메이션에서 파란색, 보라색을 먼저 관찰해 주십시오... 파란색 빗금친 삼각형을 포함한 볼록사각형, 그리고 보라색 빗금친 삼각형을 포함한 볼록사각형에서 뒤집기에 의한 중복을 고려하면, 큰 파란색 정사각형 하나와 나머지 셋은 뒤집어서 같아지므로 하나로 보면 파란색, 보라색은 모두 2개 뿐입니다... 다음,,, 가운데 주황색 사각형들만 남았습니다... 마찬가지로 중복을 고려하면 작은 정사각형에서 마지막 평행사변형까지 해서 주황색 사각형은 모두 6개... 이상으로부터 2 + 6 = 8 아래 애니메이션에서는 정사각형과 직사각형, 그리고 평행사변형, 마름모만을 그린 것입니다. 파란색 정사각형 5개 보라색 정사각형이 아닌 직사각형 4개 주황색 평행사변형(마름모 포함) 7개 더하면 5 + 4 + 7 = 16 다음은 정사각형, 직사각형, 평행사변형이 아닌 사각형으로서 모두 사다리꼴 모양입니다. 파란색 8개 보라색 4개 주황색 4개, 고동색 2개 초록색 4개, 하늘색 4개 더하면 8 + 4 + 6 + 8 = 26 이상으로부터 16 + 26 = 42 아래 애니메이션에서 ㄱ자 모양의 파란색에서 시작하여 시계 반대 방향으로 돌면서 7개의 작은 정사각형으로 이루어진 도형 8개를 모두 파란색으로 그렸습니다. 빗금친 초록색을 제외한 색칠하지 않은 7개의 작은 정사각형으로 이루어진 도형과 파란색 도형으로 전체는 두 조각으로 나뉘어지고 있습니다. 보라색 도형의 개수도 8개인데 초록색 뒤집기 선으로 같은 번호의 파란색 도형을 뒤집어서 얻은 것입니다 그렇다면, 색칠하지 않은 7개의 작은 정사각형으로 이루어진 도형도 마찬가지로 뒤집기로 얻어질 것이고요... 따라서 두 조각으로 나누는 서로 다른 방법은 모두 8 가지. □안에 들어 가는 숫자를 차례대로 적어 보면,,, 위 애니메이션은 홀수에서 시작해서 홀-짝-홀-짝-홀-짝 순서로 조건 (2)를 만족시키도록 차례대로 채워 넣어 본 것인데, 모두 실패입니다. 오른쪽에서 시작한다고 생각하면 짝-홀-짝-홀-짝-홀이 되는데, 홀수에서 시작해서 성공한 경우가 있다면 이를 역순으로 배열하면 짝수에서 시작해서 성공한 경우가 됩니다. 따라서 짝-홀-짝-홀-짝-홀로 배열해도 성공하는 경우는 없습니다. 조건 (1)에서 홀수끼리는 이웃할 수 없다고 하였습니다. 이는 짝수끼리는 이웃해도 괜찮다는 의미이므로,,, 위 애니메이션에서 보듯이 양끝에 홀수가 오게 됩니다. 홀-짝-짝-홀-짝-홀 순서로 조사하고 있는데요... 이 순서로 성공한다면 이를 거꾸로 홀-짝-홀-짝-짝-홀 순서로 배열해도 성공할 것이고, 실패하는 경우도 이는 마찬가지가 됩니다. 마지막 한 줄, 5-2-4-1-6-3의 경우만 성공하고 있습니다. 그렇다면, 이를 역순으로 배열한 3-6-1-4-2-5도 성공하므로 즉, 조건 (1), (2)를 만족하므로 정답은 모두 2가지... 정사사각형 2개가 맞붙어 있는 경우입니다. 파란색은 정삼각형 2개가 변끼리 맞붙어 있는 경우이고 3가지... 보라색은 정삼각형 2개가 변끼리 맞붙지 않은 경우이고 6가지... 아래는 주황색 정사각형 2개가 변끼리 맞붙어 있지 않은 경우입니다. 파란색은 정삼각형 2개가 변끼리 맞붙어 있는 경우이고 3가지... 보라색은 정삼각형 2개가 변끼리 맞붙지 않은 경우이고 3가지... 이상으로부터, (3 + 6) + (3 + 3) = 15 이상입니다... 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536)
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이 게시글은 2022년 11월 20일 일요일에 치른 동국대학교 2023학년도 논술우수자전형 자연계열 논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문항 시험시간 90분 아래 문제는 2025학년도 논술가이드북에서 인용하였습니다.
[문제 1-(1), (2)]의 풀이 및 해설... 그림의 초록색 부분에서도 알 수 있지만, 제시문 [나]에 의하여 초점 F에서 출발한 빛은 점 G에서 반사하여 x축에 평행하게 직진하므로 점 P의 y 좌표는 2√2. 초록색 이등변삼각형에서의 대칭성과 빛의 진행 경로에 대해서는 게시글 [이차곡선] 포물선의 성질 모음 - 수지수학학원 진산서당에 있는 성질 (1), (2), (3), (4) 등에서 그 의미와 증명을 상세히 다루고 있으므로 참조하십시오. [문제 1-(3)]의 풀이 및 해설입니다... 위 그림을 보면 점P에서 반사하므로 입사각 α = 반사각 β가 되는 것이겠고... 선분 PG와 x축의 평행에 의해 엇각의 크기가 같으므로 α = γ = π/6이고, 점 P에서 α의 맞꼭지각이 역시 π/6. 평행선에서 동위각의 크기가 같으므로 δ = β + α의 맞꼭지각 = π/6 + π/6 = π/3. 따라서 δ = π/3
[문제 2]의 풀이 및 해설입니다... 제시문 [가]의 ① 기댓값의 정의에 의하여 E(X) 식 우변의 분모, 분자 각각에 △x를 곱한 후 양변에 극한을 잡는다치면, 제시문 [나]의 정적분의 정의(또는 무한급수와 정적분의 관계)와 제시문 [다]의 극한 연산의 기본 성질에 의하여 아래와 같이 핑크색 E(X)의 극한식을 얻을 수 있습니다... 주어진 g(x) 식을 가지고 분모, 분자 각각을 정적분하여 E(X)의 극한값을 구하면 다음, V(X)의 극한값... 제시문 [가]의 ② 분산의 정의로부터 얻은 두 번째 공식 V(X) = E(X2) - (E(X))2을 적용하기 위해서 위에서와 같은 방법으로 E(X2)의 극한값을 먼저 계산하면, 앞에서와 같이 부분적분법으로 x2g(x)를 [0, 1]에서 정적분하여 마무리하면,
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... 위 그림과 수식을 참조해서 규칙을 찾아 일반적으로 정리하면, 물체 M이 x축에 n번째로 충돌한 시각 tn에서 y축 방향으로 튕겨 올라가는 속도를 bn이라 하면 수열 { bn }은 b0 = b, b1 = b/2, b2 = b/4, b3 = b/8, …로써, 공비 1/2인 등비수열이므로 bn = b / 2n. 물체 M이 n번째 포물선을 그리는 동안 걸리는 시간이 tn - tn-1(단, t0 = 0)이고 y축 방향으로 튕겨 올라가는 시점의 출발 속도가 bn-1이므로 t의 구간 [tn-1, tn]에서 물체 M의 위치의 y 성분이 0이상 임을 생각하면, 수열 { tn - tn-1 } 즉, 계차수열(☞ 네이버 수학백과)이 공비 1/2이고 첫째항이 t1 - t0 = 2b/g인 등비수열입니다. 축차대입법(逐次代入法, step by step)으로 일반항 tn을 구하면, 수열 { tn }은 첫째항이 2b/g이고 공비가 1/2인 등비수열임을 알 수 있고... 따라서 n → ∞일 때 시각 tn의 극한은 4b / g가 됩니다. 이 시각 이후로는 더 이상의 충돌은 없다는 의미겠죠? [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-1]의 모든 포물선과 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 문제입니다. t의 구간 [tn-1, tn]에서 물체 M이 그리는 n번째 포물선의 자취 방정식을 구해서 그때의 넓이 An을 계산하면 프랙탈 포물선의 자기 닮음에 의하여 두번째 포물선의 넓이 A2를 구하면 넓이 수열 { An }의 공비를 얻을 수 있으므로,,, 도형의 넓이를 S라 하면 무한등비급수의 합의 공식에 의하여 [문제 3-3]의 풀이 및 해설입니다... t의 구간 [tn-1, tn]에서 물체 M이 그리는 n번째 포물선과 x축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 Vn이라 하면, [문제 3-2]에서와 마찬가지로 프랙탈 포물선의 자기 닮음에 의하여 첫 번째 포물선에 의한 부피 V1과 두 번째 포물선에 의한 부피 V2를 구하면 수열 { Vn }은 첫째항이 V1이고 공비 r = V2 / V1이므로 무한등비급수의 합의 공식으로 문제의 입체도형의 부피 V를 얻을 수 있게 됩니다. 이상입니다... [동국대 수리논술] 동국대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 동국대학교 논술우수자전형 자연계열 수리논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 하였습니다. (준비중) 수학의 힘 ! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |
출처는 부산광역시교육청이 편집·발행한 2010학년도 대학별 수리논술고사 분석 수리논술 나침반 II입니다. [문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다. 시각 t에서 평면도형 F의 넓이 S(t)와 같은 크기를 가지는 파란색 법선벡터를 n = (a, b, c)라고 하면, 또, 시각 t에서 도형 F를 xy, yz, zx 평면에 각각 정사영한 도형의 넓이 A(t), B(t), C(t)와 같은 크기를 가지는 빨간색 법선벡터를 각각 n1, n2, n3라 하면 파란색 법선벡터 n과 z축(n1), x축(n2), y축(n3)의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 θ1, θ2, θ3라고 하면, 파란색 법선벡터 n의 방향코사인이 아래와 같으므로
따라서 정사영의 넓이 A(t) = S(t)cosθ1 = c, 마찬가지로 B(t) = a, C(t) = c. 이상으로부터 삼차원 피타고라스의 정리와 같은 꼴이 되는군요... 다른 풀이입니다... 평면도형 F가 xy, yz, zx 평면과 이루는 각을 각각 α, β, γ라 하면 A(t) = S(t)cosα, B(t) = S(t)cosβ, C(t) = S(t)cosγ이고, 방향코사인의 제곱의 합 cos2α + cos2β + cos2γ = 1이므로 이 식에 대입하면 위 빨간색 관계식과 같은 결과를 얻게 됩니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 시각 t(0 ≤ t ≤ 1)에서 xy 평면으로의 정사영의 넓이 A(t) = 0, zx평면으로의 정사영의 넓이 C(t) = 0이면 평면도형 F는 yz평면에 평행합니다. 그렇다면, 평면도형 F가 움직이면서 만드는 입체도형의 시각 t에서 넓이 S(t)는 B(t)와 같고, x축에 수직인 평면으로 자른 입체도형의 단면적이므로 t = 0에서 t = 1까지 평면도형 F가 만든 입체도형의 부피를 V라 하면 부피 V는 단면적 B(t)를 x에 대해서 적분하면 됩니다. 점 P(f(t), g(t), 0)가 시각 t에서 항상 단면 F 위의 점이고, x = f(t)가 증가함수이므로 입체도형의 단면들이 서로 겹치지 않고 도함수 f'(t)가 연속함수이므로 다른 풀이입니다... 그림과 같이 (f(0), f(1))을 n등분하여 각 분점을 xk = f(k/n) (k = 0, 1, 2, …, n)이라 하면 입체도형의 부피 V는 위 그림과 같이 밑면의 넓이가 B(t)이고 높이가 xk+1 - xk인 원판 꼴 모양의 부피의 합과 유사하고, 구간을 점점 잘게 자를수록 구하려는 입체의 부피 V에 근사하므로 함수 f(t)가 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 아래를 만족하는 k*/n가 존재하므로 이 식을 위 리만합의 극한식에 대입해서 무한급수와 정적분의 관계 개념으로 정리해주면 앞 풀이와 같은 결과를 얻게 됩니다. [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다. 시각 t(1 ≤ t ≤ 2)에서 변하지 않고 일정한 평면도형 F의 넓이 S(t) = S라 두면, [문제 1-1]에 의해 S2 = A(t)2 + B(t)2 + C(t)2이고, G(t) = A(t) + B(t) + C(t)이므로 곱셈공식 (A(t) + B(t) + C(t))2 = A(t)2 + B(t)2 + C(t)2 + 2(A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t))에 의하여 (A(t) + B(t) + C(t))2 ≥ A(t)2 + B(t)2 + C(t)2에서 G(t)2 ≥ S2을 얻을 수 있습니다. A(t) ≥ 0, B(t) ≥ 0, C(t)≥ 0에서 2(A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t)) ≥ 0이기 때문. 따라서 G(t)의 최솟값 m = S이고, 등호는 A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t) = 0일 때 즉, 정사영의 넓이 A(t), B(t), C(t) 중 2개가 0일 때 성립하고 이때는 도형 F가 [문제 1-2]에서 살펴 보았듯이 xy, yz, zx 평면 중 어느 한 평면에 평행할 때입니다. 다음, 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 (A(t) + B(t) + C(t))2 ≤ (12 + 12 + 12)(A(t)2 + B(t)2 + C(t)2) (등호는 A(t) = B(t) = C(t)일 때)이므로 G(t)2 ≤ 3S2에서 G(t)의 최댓값 M = √3S 따라서 m = S, M = √3S에서 M = √3m 또한, 시각 t(1 ≤ t ≤ 2)에서 도형 F가 S ≤ G(t) ≤ √3S를 만족하면서 움직이지만, 파란색 또는 보라색 부등식의 등호가 성립하는 상황에서 알고 있는 G(t)로부터 평면도형 F의 고정된 넓이 S를 얻을 수 있게 되지요... 다른 풀이입니다... 이해하기 편하게 A(t) = x, B(t) = y, C(t) = z로 두면, [문제 1-1]에 의해 x2 + y2 + z2 = S2(일정)이고 x + y + z = G(t)에서 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0이므로 (x, y, z)의 존재 영역은 파란색에 의해 반지름의 길이가 S이고 중심이 원점인 구면 중 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0인 영역이고, 보라색에 의해 x, y, z 세 절편이 모두 G(t)인 평면이 됩니다. 시각 t(1 ≤ t ≤ 2)에서 G(t)가 바뀜에 따라 아래 그림에서 보듯이 G(t)의 최솟값은 보라색 평면의 x, y, z 세 절편이 모두 S가 될 때이고, G(t)의 최댓값은 보라색 평면이 파란색 구에 접할 때입니다. 점과 평면 사이의 거리 공식에 의해 원점 O에서 보라색 평면까지의 거리가 반지름 S이므로 따라서 S ≤ G(t) ≤ √3S이고, 최솟값 m = S, 최댓값 M = √3S에서 M = √3m 또한, G(t) = S일 때가 A(t) + B(t) + C(t) = G(t)이고 [문제 1-1]에서 A(t)2 + B(t)2 + C(t)2 = S2이므로 곱셈공식 (A(t) + B(t) + C(t))2 = A(t)2 + B(t)2 + C(t)2 + 2(A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t))에 의해 A(t)B(t) + B(t)C(t) + C(t)A(t) = 0 즉, 정사영의 넓이 A(t), B(t), C(t) 중 2개가 0일 때 성립합니다. 이때 도형 F가 [문제 1-2]에서 살펴 보았듯이 xy, yz, zx 평면 중 어느 한 평면에 평행할 때이고 도형 F의 넓이가 S = G(t)가 됨을 알 수 있고, G(t) = √3S일 때는 도형 F의 넓이 S = G(t) / √3가 되는데, 이때는 A(t) = B(t) = C(t). 이상입니다... [연세대 수리논술] 연세대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 연세대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 수학 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #용인수지수학학원# 진산서당(☏031-276-5536) |