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이 게시글은 최근년도 서울시립대학교 신입생 수시모집 논술전형 자연계열 기출문제의 풀이와 해설 모음집입니다. ① 최근 순으로 기출문제 풀이/해설 링크 ② 해당년도 문제에 대한 요약 (이 부분은 편집중)
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이 게시글은 2023년 11월 24일 금요일에 치른 2024학년도 서울대학교 대학 신입학생 수시모집 일반전형 면접 및 구술고사 수리영역 기출문제의 풀이 및 해설,,, 그 두 번째 포스팅입니다... 
이 문제의 활용 모집단위는 자연과학대학 수리과학부, 통계학과와 사범대학 수학교육과입니다. 
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 시각 t에서 수직선 위의 5 개의 점 Pk (k = 1, 2, …, 5) 의 위치를 xk라 하면 xk = -k + vkt이고, 각 점의 위치를 xy 좌표 평면 위에 (t, xk)로 함께 표시하면 아래와 같습니다. 기울기를 감안해서 몇 개의 교점만을 살펴 보면, t = 1/12에서 P3와 P4가 처음으로 만나서 사라지고, 이어서 t = 3/16에서 P2와 P5가 만나서 사라지므로 사라지지 않고 계속 움직이는 점은 P1 [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 양의 정수 a, b와 규칙 [나]를 함께 생각하면, a로 가능한 값은 1, 2, 3이고, b로 가능한 값은 9, 10, 11, 12, 13, 14입니다. 점 P6과 P7이 만나서 사라지므로 이 두 점은 더 이상 생각할 필요가 없겠고,,, ① t = 1/3에서 점 P2와 P3가 만나서 사라지는 경우 일단 여기서 시작해서 여러 경우에 대한 추론을 하기로... 약간의 계산을 통해 가닥을 잡아 나가야 할 듯요... 이 경우 점 P4와 P5가 만나서 사라져야 하므로 -4 + 8t = -5 + bt ⇒ (b-8)t = 1 ⇒ t = 1 / b-8. -1 + at = -5 + bt ⇒ (b-a)t = 4 ⇒ t = 4 / b-a. 1 / b-8 < 4 / b-a ⇒ 3b > 32 - a a = 1 : b ≥ 11 a = 2 : b ≥ 11 a = 3 : b ≥ 10 각 a에 대해서 점 P5가 점 P1보다 P4를 더 먼저 만나서 사라지게 되는 b의 범위가 이와 같으므로 점 P1이 사라지지 않게 되는 순서쌍 (a, b)는
(2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 10), (3, 11), (3, 12), (3, 13), (3, 14) a = 1인 경우는 t = 1/3에서 점 P1도 함께 만나서 사라지게 되므로 제외... ② t < 1/3에서 점 P4와 P5가 만나서 사라지는 경우 t < 1/3에서 점 P2, P3, P4 중에서 점 P5가 가장 먼저 만나게 되는 점이 P4이므로 1 / b-8 < 1/3 ⇒ b > 11 이때는 점 P2와 P3가 만나서 사라져야 하는데, 이 경우가 ①에서 이미 체크한 b = 12, 13, 14인 경우로군요... [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 이웃하는 두 점이 만나서 사라질 때 xk = xk+1 (k ≤ 49) 범위의 경우 -k + (k2 + d)t = -(k+1) + ((k+1)2 + d)t에서 t = 1 / 2k+1이므로 k가 클 수록 먼저 만나서 사라집니다. xk = xk+1 (k ≥ 51) 범위의 경우 -k + (k2 + d + 9)t = -(k+1) + ((k+1)2 + d + 9)t에서 t = 1 / 2k+1이므로 마찬가지 상황입니다. x50 = x51인 경우를 살펴 보면 -50 + (502 + d)t = -51 + (512 + d + 9)t에서 t = 1/110으로써 k = 49일 때 1/99보다 작으므로 P49와 P50이 짝이 되지 못하고 P50과 P51이 짝이 되어 먼저 사라집니다. x49 = x52인 경우를 살펴 보아야 겠죠? -49 + (492 + d)t = -52 + (522 + d + 9)t에서 t = 1/104으로써 아래 k = 51일 때 1/103보다 작으므로 P51과 P52가 짝이 되지 못하고 P49와 P52가 짝이 되어서 먼저 사라집니다. k = 51일 때 1/103 k = 52일 때 1/105 k = 53일 때 1/107 k = 54일 때 1/109 k = 55일 때 1/111 k = 1부터 99까지 이웃하는 두 점이 만나는 시각을 모두 적어 보면, 1/3 > 1/5 > … > 1/98 > 1/110 < 1/104 > 1/107 > … > 1/109 > 1/111 > … > 1/198. 그렇다면,,, 제일 처음으로 만나서 사라지는 점은 P99와 P100이고, 그 다음 두 점은 P97과 P98, 이런 식으로 P95와 P96, …, P53과 P54까지 먼저 사라지는군요... 이때 시각이 t = 1/107. 도중에 P50과 P51이 t = 1/110에서 사라지겠군요... 따라서 시각 t = 1/106에서 사라지지 않고 남아있는 점이 P1, P2, P3, …, P48, P49, P52이므로 남아 있는 점의 개수는 50. [문제 2-4]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-3]에서 검토한 바를 정리하면, 두 점이 만나서 사라지는 시각은 양의 정수 d의 값과는 무관하며,,, 사라지는 순서대로 적어 보면 P99와 P100, P97과 P98, …, P55와 P56, P50과 P51, P53과 P54, P49와 P52, P47과 P48, P45와 P46, …, P1과 P2 파란색 50개의 점이 t ≤ 1/107에서 사라졌고, 보라색 50개의 점이 t ≥ 1/104에서 순차적으로 사라지고 있습니다. P53과 P54가 원점을 통과한 뒤 만나서 사라졌다고 가정하고 d의 값을 한 번 살펴 보겠습니다. x53 = -53 + (532 + d + 9) × 1/107 > 0에서 d > 54 × 53 - 9 = 2853 k ≥ 53일 때 일반적으로 xk = -k + (k2 + d + 9) × 1/(2k+1) > 0에서 d > k(k+1) - 9이므로 d ≤ 2853이라면 48개의 점 P53 ~ P100이 원점을 통과하지 못하고 사라지게 되고,,, P47과 P48이 원점을 통과한 뒤 만나서 사라졌다고 가정하고 d의 값을 살펴보면, x47 = -47 + (472 + d) × 1/95 > 0에서 d > 48 × 47 = 2256 k ≤ 47일 때 일반적으로 xk = -k + (k2 + d) × 1/(2k+1) > 0에서 d > k(k+1)이므로 d > 2256이어야 48개의 점 P1 ~ P48이 원점을 통과한 후 사라집니다. P50과 P51의 경우는 d > 60 × 50 = 3000 P49와 P52의 경우는 d > 55 × 49 = 2695 이므로 d > 2695가 되어야 비로소 50개의 점이 원점을 통과한 뒤 사라지게 되네요... 이상으로부터 원점을 통과한 뒤 사라진 점의 개수가 50이 되도록 하는 양의 정수 d의 범위가 2696 ≤ d ≤ 2853이므로 양의 정수 d의 개수는 158 ※ 정답지가 옆에 없는 관계로 이상의 풀이가 맞는지는 아직 확신하지 못하겠네요... ㅎ 이상입니다... [서울대 심층면접] 서울대학교 면접 및 구술고사 수학 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울대학교 일반전형 제시문기반 면접 및 구술고사 수리영역 수학 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 그리고 2012학년도 이전의 심층구술면접, 논구술, 정시논술 등도 덧붙였습니다. 주제별, 영역별, 활용 모집단위별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 구성하였습니다. 
수학의 힘 !!! #용인수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
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이 게시글은 2023년 10월 7일 토요일에 치른 서울시립대학교 2024학년도 수시모집 논술전형 자연계열 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학 4문제 시험시간 120분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2024 논술고사 문제지.pdf
파일 다운로드
2024 논술고사 해설지.pdf
파일 다운로드
인수분해가 안되는 관계로 삼차방정식을 직접적으로 풀 수 없는 상황에서 점 Q의 x 좌표의 근삿값을 추적하는 문제라고 할 수 있습니다. 위에서와 같이 함수 x + 1/x의 특징을 살피지 않더라도 사이값 정리에서 x의 범위를 점차 좁혀 가면 벡터 내적값의 정수부분 k를 얻을 수 있습니다...
[문제 2-a]의 풀이 및 해설입니다... 서울이, 시립이, 대학이가 산 사과와 배의 개수를 각각 x1, x2, y1, y2, z1, z2라고 하면, x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2 = 11이고, 이 부정방정식의 음이 아닌 정수해의 개수가 문제의 경우의 수이므로 서로 다른 6개에서 중복을 허용해서 11개를 택하는 중복조합의 수 6H11 = 16C11 = 16C5 = 4368 [문제 2-b]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-a]에서 x = x1 + x2, y = y1 + y2, z = z1 + z2이고, x ≤ y ≤ z를 만족하는 경우의 수 = ? x + y + z = 11이므로 (i) x = y = z인 경우는 없고, (ii )x = y < z인 경우를 살펴 보면 (x, y, z) = (0, 0, 11), (1, 1, 9), (2, 2, 7), (3, 3, 5)에서 각각의 경우의 수는 x1 + x2 = 0, y1 + y2 = 0, z1 + z2 = 11에서 2H11 = 12C1 = 12. x1 + x2 = 1, y1 + y2 = 1, z1 + z2 = 9에서 2H1 × 2H1 × 2H9 = 2C1 × 2C1 × 10C1 = 40. x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 2, z1 + z2 = 7에서 2H2 × 2H2 × 2H7 = 3C1 × 3C1 × 8C1 = 72. x1 + x2 = 3, y1 + y2 = 3, z1 + z2 = 5에서 2H3 × 2H3 × 2H5 = 4C1 × 4C1 × 6C1 = 96. 일반적으로 2Hx × 2Hy × 2Hz = x+1C1 × y+1C1 × z+1C1 = (x + 1)(y + 1)(z + 1)을 적용하면 되는군요... ,,, 모두 더하면 12 + 40 + 72 + 96 = 220 (iii) x < y = z인 경우를 살펴 보면 (x, y, z) = (1, 5, 5), (3, 4, 4)에서 각각의 경우의 수는 (1 + 1)(5 + 1)(5 + 1) = 72, (3 + 1)(4 + 1)(4 + 1) = 100이므로 모두 172가지. (iv) x < y < z인 경우를 살펴 보면 (ii), (iii)에서처럼 조사해보면, (x, y, z) = (0, 1, 10), (0, 2, 9), (0, 3, 8), …, (2, 3, 6), (2, 4, 5)까지 경우가 너무 많습니다... 여사건으로 살펴 보아야 겠습니다. [문제 2-a]의 4368가지 중에서 위 (ii), (iii)의 모든 (x, y, z) 순서쌍 각각을 일렬로 나열하는 방법이 세 가지씩이고, x = y = z인 경우는 없으므로 x, y, z가 모두 다른 경우의 수는 4368 - (220 + 172) × 3 = 3192. 이 중에서 x < y < z인 경우의 수는 서로 다른 x, y, z를 일렬로 나열하는 경우의 수인 3!으로 나누어 주면 되므로 532가지가 됩니다. 이상, (i), (ii), (iii), (iv)에 의하여 x ≤ y ≤ z를 만족하는 경우의 수는 0 + 220 + 172 + 532 = 924
아래 애니메이션에서 보라색 직선의 식이 y = ax + b 모든 실수 x에 대하여 검은색 꺾은선의 아래쪽으로 오지 않고, 파란색 꺾은선의 위쪽으로 가지 않는 보라색 직선 y = ax + b에서 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수가 자연수 n에 따라 달라지죠... 관찰하면,,, 가능한 기울기 a의 값으로는 -1, 0, 1뿐인 것으로 보입니다. 일반적으로 아래와 같이 이를 수리적으로 보일 수 있습니다. 가능한 정수 a = -1, 0, 1별로 정수 b의 개수를 살펴 보면,,, (i) a = -1인 경우 ∀x, -|x - 2| ≤ -x + b ≤ |x - 2n| + 5 ∀x, x - |x - 2| ≤ b ≤ x + |x - 2n| + 5 x ≥ 2일 때 x - |x - 2| = 2, x < 2일 때 x - |x - 2| = 2x - 2 < 2이므로 b ≥ 2. 우변도 마찬가지 방식으로 살피면, x < 2n일 때 x + |x - 2n| + 5 = 2n + 5, x ≥ 2n일 때 x + |x - 2n| + 5 = 2x - 2n + 5 ≥ 2n + 5이므로 b ≤ 2n + 5. 따라서 2 ≤ b ≤ 2n + 5이므로 정수 b의 개수는 2n + 5 - 2 + 1 = 2n + 4. (ii) a = 0인 경우 ∀x, -|x - 2| ≤ b ≤ |x - 2n| + 5 좌변 -|x - 2|의 최댓값은 0, 우변 |x - 2n| + 5의 최솟값은 5이므로 0 ≤ b ≤ 5에서 정수 b의 개수는 6. (iii) a = 1인 경우 ∀x, -|x - 2| ≤ x + b ≤ |x - 2n| + 5 ∀x, -x - |x - 2| ≤ b ≤ -x + |x - 2n| + 5 x < 2일 때 -x - |x - 2| = -2, x ≥ 2일 때 -x - |x - 2| = -2x + 2에서 -x - |x - 2|의 최댓값이 -2이므로 b ≥ -2 x ≥ 2n일 때 -x + |x - 2n| + 5 = 5 - 2n, x < 2n일 때 -x + |x - 2n| + 5 = -2x + 2n + 5에서 -x + |x - 2n| + 5의 최솟값이 5 - 2n이므로 b ≤ 5 - 2n 따라서 -2 ≤ b ≤ 5 - 2n 5 - 2n < -2일 때 즉, n ≥ 4일 때 정수 b의 개수는 0개. n = 1, 2, 3일 때 정수 b의 개수는 8 - 2n 이상으로부터 n ≥ 4일 때 An = (2n + 4) + 6 + 0 = 2n + 10 n = 1, 2, 3일 때 An = (2n + 4) + 6 + (8 - 2n) = 18
[문제 4-a]의 풀이 및 해설입니다... 파란색 점 P가 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 묻는 문제입니다... 변을 따라 움직이는 점 P가 조금씩 느려지는 모습요. ㅎ 파란색, 보라색, 주황색 세 부분으로 나누어서 극한을 구해주면 되겠네요... 파란색은 삼각함수의 극한의 기본, 보라색은 무한급수와 정적분의 관계, 주황색은 0 이상으로부터 [문제 4-b]의 풀이 및 해설입니다... 움직인 거리의 차... √2보다 조금 작은 속력으로 출발한 파란색 점 P가 계속해서 조금씩 느려지고 있고, 동시 출발하여 일정한 속력으로 돌고 있는 보라색 점 Q가 동시 도착임을 생각하면, Q는 P의 뒤쪽에서 P를 따라 잡는 모습이므로 P가 반 바퀴를 돌 때 Q는 P의 뒤쪽에 위치한다고 유추할 수 있습니다... 속도함수의 적분으로 위치를 얻어서 비교할 수도 있겠지만, 계산 결과로부터 양/음을 판정해 볼 수도 있겠는데, 대학측 답안에서는 이 부분에 대한 아무런 언급이 없음. 위에서와 같이 관계식을 얻은 후, 정리해보면 아래에서 보듯이 파란색, 핑크색 극한은 [문제 4-a]에서 다룬 바와 같으므로 보라색 무한급수만 한 번 더 정적분으로 바꾸어서 마무리해주시면 됩니다. 이상입니다... [시립대 수리논술] 서울시립대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 서울시립대학교 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 
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