|
|
이 게시글은 2022년 11월 27일 일요일에 치른 한양대학교 2023학년도 논술전형 자연계열(오후1) 논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 2문제 시험시간 90분 아래는 당일 시험지 원본입니다.
2023학년도 자연계열 논술(오후1) 문제.pdf
파일 다운로드
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 다른 풀이입니다... 위 풀이처럼 곧바로 적분하지 않고 정적분으로 정의된 함수의 미분법으로 미분하면, 또 다른 풀이입니다... 먼저 치환적분한 후 미분하는 방식,,, 재치가 돋보이는 풀이입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... 위 마지막 풀이에서 f(x)를 구해보면 [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다... 준식의 양변을 먼저 미분해도 대동소이. 여기서 우리의 목표는 아래 부등식을 증명하는 것 !!! 고쳐 적어 보면 이 상태로 핑크색을 바로 부분적분하는 것보다는 sin(2πx) + 2πxcos(2πx)가 앞에서 xsin(2πx)를 미분한 부분임을 상기하여 적분하는 것이 나을 것이고,,, 계속해서 부분적분하더라도 뱅글뱅글이겠지요? 이 상태로 cos(2πx) ≤ 1을 적용하면 이상으로 목표부등식은 증명된 것이지요... g(x)를 얻은 후 핑크색을 부분적분하기 이전에 sin(2πx) + 2πxcos(2πx)의 최댓값 1 + 2πx를 미리 적용하는 것이 차라리 훨 간편할 것입니다... ※ 덧붙이는 글 ※ [문제 1-1], [문제 1-2], [문제 1-3]의 계속되는 부분적분에서 아래는 공식처럼 기억해두는 것이 좋습니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 다른 풀이입니다... 위 그림에서 ∠BPH = θ로 두면, 이후 과정은 똑같겠고요... [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... n + 1이 적힌 공을 X, Y, Z 세 바구니에 각 한 개씩 추가로 집어 넣었을 때 새로이 생긴 (x, y, z) 순서쌍의 개수가 An+1 - An입니다. 그렇다면, 세 변의 길이 x, y, z 중 적어도 한 변의 길이가 n + 1이 될 때입니다. ① 세 변의 길이 모두 n + 1인 경우 ② 두 변의 길이만 n + 1인 경우 ③ 한 변의 길이만 n + 1인 경우 ①은 (x, y, z) = (n + 1, n + 1, n + 1)로 정삼각형 한 개만 가능하고, ② 두 변의 길이만 n + 1인 경우 x = y = n + 1이고 z ≤ n이라고 하면 z = 1, 2, …, n일 때 모두가 이등변삼각형이 되므로 n가지이고, y = z = n + 1이고 x ≤ n인 경우와 z = x = n + 1이고 y ≤ n인 경우도 마찬가지이므로 모두 3n 가지... ③ 한 변의 길이만 n + 1인 경우 x = n + 1이고 y ≤ n, z ≤ n인 경우 가장 긴 변 x가 다른 두 변의 합 y + z보다 작아야 하므로 n + 1 < y + z (y ≤ n, z ≤ n) y = 1일 때 만족하는 z가 없으며 y = 2일 때 n - 1 < z ≤ n ⇒ 1개 y = 3일 때 n - 2 < z ≤ n ⇒ 2개 … y = n일 때 1 < z ≤ n ⇒ n - 1개 에서, 모두 더하면 n(n - 1) / 2개이고, y = n + 1이고 z ≤ n, x ≤ n인 경우와 z = n + 1이고 x ≤ n, y ≤ n인 경우도 마찬가지이므로 모두 3 × n(n - 1) / 2 개 이상, ①, ②, ③ 경우를 모두 더하면 [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... 『주어진 f(x)가 x > 1보다 큰 범위에서 1.9보다 작은 최솟값을 갖는다』는 사실을 이용하라고 했습니다. 1.9보다 작은 최솟값을 가질 때의 x값을 α라고 하면 α > 1이고, 이 α에 대해서 아래 보라색 부등식이 성립합니다. 이 부분이 핵심! 이후는 별거 없습니다. 편의상 n = 3m으로 두고, 보라색 부등식의 양변을 3m 제곱한 후 이항정리를 적용하고 녹색 부분을 참조하여 식변형하면, 길기는 하지만 별다른 어려움없이 핑크색에 도달할 수 있습니다. 3m = n ⇒ m = n/3이죠... 이상입니다... [한양대 수리논술] 한양대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 한양대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536)
공감
이 글에 공감한 블로거 열고 닫기
댓글
쓰기
이 글에 댓글 단 블로거 열고 닫기
|
이 게시글은 2022년 11월 19일 토요일에 치른 건국대학교 2023학년도 수시모집 KU논술우수자전형 자연계열 A 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 2023학년도부터 과학논술이 폐지되면서 수학 문항수가 2문제에서 5문제로 늘었습니다. 수학 5문제 시험시간 100분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023건국대논술문제지_자연계A.pdf
파일 다운로드
기울기 t = 1일 때가 원점을 지나는 파란색 직선 XY가 두 원의 공통현이 될 때인데, 이때 X = Y = A'이 되면서 선분 XY의 길이 = 0으로 최소... 선분 XY의 길이가 최대가 될 때는 공통현에 수직이 될 때가 아니냐고 직관할 수도 있고 이때 기울기 t = -1.
위 그림에서 빗금친 부채꼴의 넓이에서 이등변삼각형 OAB의 넓이를 뺀 활꼴의 넓이가 두 원 내부의 공통 부분의 넓이 A(x)의 절반입니다. 중심 사이의 거리는 파란색 선분의 길이. 중심각 OAB의 절반만을 중심각 θ로 두면, 부채꼴의 넓이에서 직각삼각형의 넓이를 뺀 부분의 네 배가 A(x)이고, 앞에서와는 달리 계산이 덜 헷갈리는 잇점이 있네요... ㅎ
위 풀이는 『두 직선이 이루는 예각의 크기』 개념으로 해결한 것인데, 수리논술 단골 메뉴 중의 하나이죠... 게시글 [경북대 수리논술] 2019학년도 경북대학교 자연계열 I 논술(AAT) 기출해설에 관련 기출을 모두 모아 두었으니 함께 참조하십시오. 이 블로그에서 검색하셔도 되고... 대학측 예시답안을 참조한 풀이... C(3, c)는 외접원의 중심입니다...
재미있는 문제로군요... ㅎ (★)식에서는 ∠SPH = θ = π/2일 때 tanθ는 정의되지 않습니다. (★)식을 변형해보면 tanθ = tant - 1 / 4cost로서 두 값이 거의 같으며 t = 0일 때 tanθ = -1/4로 θ는 제4사분면의 각이고 이후 t(t < π로 가정)가 증가하면 θ도 증가하므로 미분이 가능하다면 dθ/dt > 0이지요... 위 풀이의 ①에서 θ = 0일 때 dθ/dt = 1에서 시작해서 이 증가폭에 대한 변화율이 점차 커질 듯합니다. θ = π/2일 때 t = π/2이므로 이때 θ와 t 모두에 대하여 sin 값은 1이고 코사인 값은 0이죠... 이 0/0꼴을 피하기 위해서 (★)식에서 cosθ / cost를 얻어서 대입해보면 아래와 같이 처리할 수도 있겠습니다... 이상으로부터,,, θ = 0일 때 변화율은 1, θ = π/2일 때 변화율은 4/3
f(123) = 12 + 1 + 0 + ··· f(1230) = 123 + 12 + 1 + 0 + ··· 10f(123) = 120 + 10 + 0 + ··· f(1230) - 10f(123) = 3 + 2 + 1로 123의 자릿수의 합이 됩니다. 일반적으로 함수 g(n)은 자연수 n의 자릿수의 합이 되는데, 먼저 이를 증명하면 g(n) = 8이고, 1 ≤ n ≤ 6200을 만족하는 자연수 n의 개수는 ? 0부터 9999까지의 정수를 a4a3a2a1 (0 ≤ ai ≤ 9)로 적고 자리수의 총합 a1 + a2 + a3 + a8 = 8이라 두면, 이를 만족하는 정수 a4a3a2a1의 개수는 4개에서 8개를 뽑는 중복조합의 수 4H8 = 11C8 = 11C3 = 165와 같습니다... 이 중에서 g(n) = 8, 1 ≤ n ≤ 6200을 만족하지 않는 0부터 9999까지의 정수 a4a3a2a1을 제외해주면, a4 = 8일 때 g(n) = 8인 정수는 8000 1개 뿐이고 8000 > 6200이므로 제외. a1 = 7일 때 g(n) = 8인 정수는 7100, 7010, 7001 이렇게 3개도 6200보다 크므로 제외. a1 = 6일 때 g(n) = 8인 정수는 6200, 6020, 6002, 6110, 6101, 6011 모두 6200이하이므로 OK! a1 = 5이하이고 g(n) = 8인 정수는 모두 6200이하의 자연수이므로 OK! 이상에서 165 - (1 + 3) = 161 참고로 함수 f(n)의 값은 자연수 n!를 적었을 때 일의 자리 0부터 연속하는 0의 개수가 됩니다. f(123) = 13에서 123! = A × 1013 n!에 포함된 소수 p의 최대지수를 구할 때 f(n)과 같이 가우스 기호를 연속 적용하게 되는데,,, 이에 대해서는 게시글 [KMO2016기출] 30회 중등부 2차 4번 정수 문항 풀이 및 해설에 있는 n팩토리얼의 소인수분해, 르장드르의 공식을 참조하십시오. 이상입니다... [건국대 수리논술] 건국대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 건국대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. (준비중) 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
오늘 포스팅은 2022년 11월 25일 금요일에 치른 연세대학교 미래캠퍼스 2023학년도 논술우수자전형 창의인재 의예과 논술고사 수학 2문항 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 전체 시험시간 120분 수학2문제, 과학 물화생 중 택1
[문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... 이상입니다... [연세대 수리논술] 연세대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 연세대학교 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 영역별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |