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이 게시글은 2022년 11월 20일 일요일에 치른 성균관대학교 2023학년도 논술우수자전형 자연2교시 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 100분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2023학년도 성균관대 논술_자연계(2교시) 문제.pdf
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2023학년도 성균관대 논술_자연계(2교시) 해설,예시답안.pdf
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[문제 1-i]의 풀이 및 해설입니다... 세 변의 길이를 a - d, a, a + d라고 하면 ① d = 0일 때 1 ≤ a ≤ 100에서 정삼각형의 개수 100 ② d ≥ 1일 때 a - d ≥ 1, a + d ≤ 100에서 1 + d ≤ a ≤ 100 - d이고 삼각부등식에 의하여 a + d < a + (a - d)에서 a > 2d이고, 2d ≥ 1 + d이므로 2d + 1 ≤ a ≤ 100 - d 100 - d ≤ 2d + 1이므로 d ≤ 33 각 d에 대하여 핑크색 부등식을 만족하는 자연수 a의 개수 (100 - d) - (2d + 1) + 1 = 100 - 3d만큼씩 등차수열을 이루는 삼각형이 존재하므로 ①, ②에 의하여 100 + 1617 = 1717 [문제 1-ii]의 풀이 및 해설입니다... 세 변의 길이를 a, b, c라 할 때, 일반성을 잃지 않고 a ≤ b ≤ c로 둘 수 있고, 세 항이 등비수열을 이루면 1이상의 공비 r에 대해 b = ar, c = ar2이 성립합니다. 삼각부등식에 의하여 a + ar > ar2이므로 r2 - r - 1 < 0에서 1 ≤ r < (1 + √5) / 2 ① r = 1일 때 1 ≤ a ≤ 100에서 정삼각형의 개수 100 ② 1 < r < (1 + √5) / 2 = 1.618…일 때 자연수 a에 대하여 ar도 자연수이므로 r = q/p (2 ≤ p < q, p, q는 서로소)로 두면 ar2 = aq2/p2도 자연수이므로 a는 p2의 배수. 자연수 Q에 대하여 a = p2Q로 두면 a < ar < ar2 ⇒ p2Q < pqQ < q2Q ≤ 100에서 2 ≤ p < q ≤ 10이어야. r = q/p < (1 + √5) / 2 = 1.618…로부터 만족하는 (p, q)의 순서쌍을 모두 구하면, (p, q) = (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (9, 10)이고, 각 순서쌍별로 가능한 Q의 개수를 구하면 (p, q) = (2, 3): 9Q ≤ 100에서 11개 (p, q) = (3, 4): 16Q ≤ 100에서 6개 (p, q) = (4, 5): 25Q ≤ 100에서 4개 (p, q) = (5, 6): 36Q ≤ 100에서 2개 (p, q) = (5, 7): 49Q ≤ 100에서 2개 (p, q) = (5, 8): 64Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (6, 7): 49Q ≤ 100에서 2개 (p, q) = (7, 8): 64Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (7, 9): 81Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (7, 10): 100Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (8, 9): 81Q ≤ 100에서 1개 (p, q) = (9, 10): 100Q ≤ 100에서 1개 이들의 합 = 33 따라서 ①, ②에 의하여 100 + 33 = 133 [문제 1-iii]의 풀이 및 해설입니다... 집합 M의 원소 (a, b, c)에 대하여 a, b, c 순서로 등차수열을 이루므로 2b = a + c. a, b, c를 일렬로 나열했을 때 등비수열이 존재하기 위해서는 b2 = ac, a2 = bc, c2 = ab 중 어느 하나를 만족시켜야 합니다. ① b2 = ac인 경우 4b2 = 4ac ⇒ (a + c)2 = 4ac ⇒ (a - c)2 = 0 ⇒ a = c 따라서 a = b = c이고 이를 만족하는 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 200 ② a2 = bc인 경우 a2 = (2b - c)2 = bc ⇒ 4b2 -5bc + c2 = (4b - c)(b - c) = 0 ⇒ 4b = c or b = c b = c인 경우 a = b = c이므로 ①에서 조사되었고, 4b = c인 경우 a : b : c = -2b : b : 4b = -2 : 1 : 4이므로 1부터 25까지의 b에 대해 a = -2b, c = 4b가 가능하고, -1부터 -25까지의 b에 대해서도 마찬가지이므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 2 × 25 = 50 ③ c2 = ab인 경우 ②와 마찬가지 방식으로 처리하면 c2 = (2b- a)2 = ab ⇒ 4b = a or b = a에서 4b = a인 경우 a : b : c = 4b : b : -2b = 4 : 1 : -2에서 마찬가지로 50개. ①, ②, ③에 의하여 조건 (가), (나)를 만족하는 집합 M의 원소의 개수는 200 + 50 + 50 = 300
[문제 2-i]의 풀이 및 해설입니다... 삼각함수의 성질로 아래와 같이 cos(x + nπ/2)를 고쳐 적을 수 있고 0 < x < π/4일 때 √2/2 < cosx < 1, 0 < sinx < √2/2이므로 이 값이 1/4을 만족하는 경우는 n = 4k+3일 때 뿐임. [문제 2-ii]의 풀이 및 해설입니다... [문제 2-i]의 보라색 식에 의해 cos(x + mπ/2)와 cos(x + nπ/2)는 각각 ±cosx, ±sinx 중의 하나와 같으므로 cos(x + nπ/2) = t로 두면 cos2(x + mπ/2)의 값은 cos2x 또는 sin2x이므로 t2이거나 1 - t2 중의 하나가 됩니다. ← 제시문 (2) cos2x + sin2x = 1 ① cos2(x + mπ/2) = t2인 경우 23이하의 자연수 n에 대하여 n = 4k를 만족하는 n의 개수는 5 23이하의 자연수 m에 대하여 m = 4k' 또는 4k' + 2를 만족하는 m의 개수는 5 + 6 = 11 따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 5 × 11 = 55 ② cos2(x + mπ/2) = 1 - t2인 경우 23이하의 자연수 n에 대하여 n = 4k + 1 또는 4k + 3을 만족하는 n의 개수는 6 + 6 = 12 23이하의 자연수 m에 대하여 m = 4k' 또는 4k' + 2를 만족하는 m의 개수는 5 + 6 = 11 따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 12 × 11 = 132 ①, ②에 의해 55 + 132 = 187 [문제 2-iii]의 풀이 및 해설입니다... cos(x + nπ/2) = t로 두면, 준 방정식의 해 x에 대응하는 t의 값은 -1 ≤ t ≤ 1 범위에서 사차함수 y = f(t)의 그래프의 x절편이고, 그래프의 개형을 그려서 t의 범위를 추적하면 ∴ [2023/4] = 505
[문제 3-i]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-ii]의 풀이 및 해설입니다... ① 경우 △OPP' = tf(t)/2, △OQQ' = (t+h)f(t+h)/2에서 p(h) = | tf(t)/2 + r - (t+h)f(t+h)/2| ② 경우 △OPP' = -tf(t)/2, △OQQ' = -(t+h)f(t+h)/2에서 p(h) = | -(t+h)f(t+h)/2 + r + tf(t)/2 |로 두 식은 같습니다. 정리해서, h → 0+일 때 p(h)/h의 극한 A(t)를 구해보면 파란색 부분은 도함수의 정의에 의하여 극한이 f'(t)가 되고 보라색 부분은 f(x)의 한 부정적분을 F(x)로 두면 아래에서 보듯이 마찬가지로 도함수의 정의에 의하여 F'(t) = f(t)가 됩니다. 이상은 f(x)가 음수일 때도 마찬가지... [문제 3-iii]의 풀이 및 해설입니다... 핑크색 α + 2β = 0은 삼차함수의 성질이기도 하지요... 이제, 제시문 2의 마지막 조건 (라)로부터 a, α, β에 관한 식을 하나 더 얻으면, 파란색 삼차함수 g(t)와 보라색 A(t)가 확정됩니다. 세 핑크색을 연립하면 β = 1, a = 4, α = -2 [문제 3-iv]의 풀이 및 해설입니다... [문제 3-iii]의 근과 계수의 관계 ①에 의하여 b = 24 주어진 적분식이 [문제 3-i]이죠. 대입해서 c의 값을 확정하면 ∴ a = 4, b = 24, c = -36, d = 32 이상입니다... [성균관대 수리논술] 성균관대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 성균관대학교 자연계열 수리논술 및 모의논술 기출문제에 대한 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536)
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이 게시글은 동국대학교 2024학년도 논술우수자전형 자연계열 모의논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 수학 3문제 시험시간 90분 아래는 당일 시험지 원본입니다. 다운로드, 인쇄하셔서 먼저 시험을 치른 후 해설을 참조하시기를 권장합니다.
2-1.2023년(2024학년도대비)온라인모의논술문제(자연).pdf
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2-2.2023년(2024학년도대비)온라인모의논술해설(자연).pdf
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윷가락의 배(평평한 면)와 등(둥근 면)이 나타날 확률이 각각 둥근 면과 평평한 면의 겉면적에 비례한다고 하였습니다. 둥근 면의 겉면적은 1cm × (2π-θ) × 10cm이고, 평평한 면의 겉면적은 dcm × 10cm이므로 배와 등이 나타날 확률의 비는 (2π-θ) : d 한편, 1000번의 시행에서 도, 개, 걸, 윷, 모의 결과가 나온 빈도 표로부터, 4000(4 × 1000)개의 윷가락을 던졌을 때 둥근 면과 평평한 면이 나온 횟수의 비를 살펴 보면 배(평평한 면)의 개수 = 110×1 + 311×2 + 384×3 + 179×4 + 16×0 = 2600에서 배(평평한 면)와 등(둥근면)이 나온 횟수의 비가 2600 : 1400 = 13 : 7이므로 통계적 확률의 비 = 13/20 : 7/20 = 13 : 7. 4000번의 시행이 충분히 크므로 제시문 (다)에 의하여 배와 등이 나올 확률의 비 = (2π-θ) : d = 13 : 7 따라서 현 AB의 길이 d는
이상입니다... [동국대 수리논술] 동국대학교 수리논술/모의논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 동국대학교 논술우수자전형 수리논술 및 모의논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. (준비중) 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |
이 게시글은 2022년 10월 8일 토요일에 치른 홍익대학교 2023학년도 수시모집(1차) 자연계열(오전) 논술고사 기출문제의 풀이 및 해설입니다. 수학3문제 시험시간 120분
종이접기로 포물선을 그리는 문제로군요. ㅎ [문제 1-1]의 풀이 및 해설입니다... 모든 점 H에 대하여 파란색 직선을 접는 선으로 해서 점 H가 중심점 O에 오도록 접었을 때, 주황색 삼각형 OPH가 이등변삼각형이 되는 까닭을 논술해 주어야 겠습니다... 초점(원점 O)에서 준선 y = -1까지의 거리가 1이므로 초점 거리 p = 1/2이고 꼭짓점의 좌표가 (0, -1/2). 따라서 핑크색 포물선의 방정식은 x2 = 4p(y + p)에 p = 1/2을 적용하면 x2 = 2(y + 1/2) [문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다... [문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다...
[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다... 각각의 비트가 바뀔 확률 p가 0.1일 때, 3-반복 코드 수신기의 최종결정비트가 송신기가 보낸 비트와 달라서 최종 결정 오류가 발생할 확률은? 3-반복 코드 : ○ ○ ○ 송신기가 보낸 값 ○는 셋 모두 1이거나 0입니다. 1을 보냈다고 했을 때 111 셋 중에서 최종 결정 오류인 경우는 000, 001, 010, 100을 수신했을 때이고 이 확률은 p3 + 3p2(1-p) = 3p2 - 2p3 = p2(3 - 2p) = 0.028 0을 보냈다고 했을 때도 마찬가지로 생각해서 0.028이므로 최종 결정 오류가 발생할 확률은 0.028. 3개의 비트 중 어느 한 비트가 바뀔 확률은 각각이 p = 0.1로 서로 독립적이고, 세 비트 중 2 비트 이상이 바뀌면 최종 결정 오류가 발생하므로 바뀐 비트의 개수를 확률변수 X로 두면 독립시행의 확률에 의하여 [문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다... p = 0.2인 독립시행을 3번 반복시행했을 때 바뀐 비트의 개수를 확률변수 Y로 두면 Y ≥ 2일 때 최종 결정 오류가 발생하므로 위 독립시행의 확률에서 p = 0.2일 때임. 따라서 소수 둘째 자리에서 반올림하면 3.7배 [문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다... p = 0.2인 독립시행을 m번 반복시행했을 때 바뀐 비트의 개수를 확률변수 K로 두면 K ≥ [(m+1)/2] (m은 홀수)일 때 최종 결정 오류가 발생하고, 이 확률이 0.028보다 작게 되는 m의 최솟값을 구하는 문제... p = 0.2이고 m = 3일 때 [문제 2-2]에서 0.104였고 0.028의 3.7배였습니다. m이 커질수록 최종 결정 오류가 발생할 확률은 점차 낮아지겠는데,,, 저 가우스 기호로 인해 일반적으로 처리하기가 좀 그러네요... m =7일 때를 한 번 계산해 볼까요 계속해서 m = 9일 때를 계산하면 따라서 m의 최솟값은 9
[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다... 분모가 n인 실수 c 중에서 c보다 크지 않은 가장 큰 유리수를 가우스 기호를 이용해서 적는 문제...
분모가 자연수 n이고 c보다 크지 않은 가장 큰 유리수를 m/n (m은 정수)이라 두면, nc보다 크지 않은 가장 큰 정수 m = [nc]이고, 이 정수 m이 분모가 자연수 n이고 c보다 크지 않은 가장 큰 유리수 m/n의 m에 해당하므로 문제의 답은 [nc] / n [문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다... 제시문 (나)에서 그래프와 만나는 정사각형 영역의 정의가 조금 애매하지만, [문제 3-1]에서 분모가 자연수 n이고 c보다 크지 않은 가장 큰 유리수를 가우스 기호로 표현하는 점에 착안하면, n(b - a)개의 각 소구간별로 주어진 f(x)의 최솟값 mk와 최댓값 Mk에 해당하는 정사각형의 밑변을 가우스 기호로 표현함으로써 1/n × 1/n 크기의 정사각형의 개수를 헤아릴 수 있게 됩니다. [문제 3-3]의 풀이 및 해설입니다... 닫힌구간 [0, 3]을 3n개의 소구간으로 나누어서 소구간별로 최솟값 mk와 최댓값 Mk를 n과 k의 식으로 나타낸 후 [문제 3-2]에서처럼 가우스 기호를 사용해서 소구간별로 정사각형의 개수를 구할 수 있으면 됩니다. [문제 3-2]의 식으로 s(n)과 t(n)을 구하면 [문제 3-4]의 풀이 및 해설입니다... 구간 [0, 3]에서 y = f(x)의 정적분이 x축 위쪽, y = f(x) 그래프의 아래쪽 넓이이고, 이는 삼각형의 넓이와 사다리꼴의 넓이의 합에 해당하므로 S = 1/2 × 1 × 2 + 1/2 × 2 × (2+1) = 1 + 3 = 4. t(n)/n2의 극한과 같습니다. t(n)이 y = f(x)와 만나지 않으면서 그래프의 아래쪽, x축의 위쪽에 있는 정사각형의 개수이고 정사각형 하나의 넓이가 1/n2이므로 t(n)/n2 = t(n) × 1/n2 의 극한이 그래프와 x축 사이의 넓이와 같게 되는 것이지요... 점과 직선 사이의 거리 공식으로 y = f(x)의 길이를 구해 보면 (0, 0)과 (1, 2)를 잇는 선분의 길이 = √5 (1, 2)와 (3, 1)을 잇는 선분의 길이 = √5 이 합 2√5 가 s(n)/n의 극한 6과는 차이가 많이 나네요... 이상입니다... [홍익대 수리논술] 홍익대학교 수리논술 기출문제 풀이·해설 모음집 최근년도 홍익대학교 논술전형 수리논술 기출문제의 풀이와 해설을 모두 모았습니다. 주제별, 단원별 분류와 문제의 특징도 요약함으로써 쉽게 접근, 참고할 수 있도록 했습니다. (준비중) 수학의 힘 ! #수지수학학원# 진산서당(☎031-276-5536) |